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1、第四章随机变量的数字特征第01讲离散型、连续型随机变量的数学期望第一节随机变量的数学期望1.1离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望(定义1)：设离散型随机变量X的分布律为P(X=Xk=Pk,k=l,2,.若级数ZXm绝对收敛，则称级kl数ZXkPk的和为离散型随机变量X的数学期望(简称期望或均值)，记作E(X),即k-lE(X)=SXJV【例题计算题】甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为X,Y,其分布律分别为X:23P0.40.10.5Y123P0.10.60.3试比较甲乙两射手的技术.【思考】X与Y属于什么类型的随机变量？比较甲乙两射手的技术是什么意思？正确答案分析题意，可知是
2、通过求解X与Y的数学期望来比较两位射手的技术(数学期望是随机变量取值的平均值)分别计算X和Y的数学期望，有E(X)=l0.4+20.l30.5=2.1E(Y)=l0.l+20.630.3=2.2由于E(Y)E(X),所以射手乙的技术更好.几种重要的离散型随机变量的数学期望(1)0-1分布分布律：PX=1)=p,PX=O=1p,Opl数学期望：E(X)=lp+0(l-p)=p.(2)二项分布设随机变量XB(n,P),即有分布律为：pli=P(X=k)=Cknpk(l-p)n-k,k=0,1,2.,n,0pl数学期望:E(X)=XR=ck-py-k=Xkipk-pk1uiKen-KyH噂黄%r”p
3、广=噂C缉gp广Ir-*=nPcLtPi(1-pk,=11ppC-p)b=nPUO(3)泊松分布设随机变量X-P(N),则其分布律为：pk=PX=k)=e-iK?,k=0,1,2,数学期望为：E(X)=SXj)LSkAeYJIb-OK!&Z4M=e，=e-V*=eJ=JLS(k-l)i【例题计算题】设随机变量XB(n,0.08),已知E(X)=1.2,求参数n.正确答案X服从二项分布，可知E(X)=np,又题目给出E(X)=1.2,则有np=n0.08=1.2,求得n=1.2/0.08=15.定理1设X为离散型随机变量，分布律为PX=xJ=Pk,k=l,2,.令=g(X),若级数Eg(XIjP
4、k绝对收敛，则=g(X)的数学期望存在，并且有E(Y)=EgQC)=g(xk)pk【例题填空题】设随机变量X的分布律为X-1012P0.10.20.30.4令Y=2X+1,则E(Y)=.正确答案。手写板图示E(Y)=(-1)0.l+l0.2+3O.3+50.4=-0.1+0.2+0.9+2=3【例题填空题】设离散型随机变量X的分布律为X123P0.10.20.7则E(X2)=I正确答案手写板图示E(X2)=l0.l+40.2*0.7=0.1-K).8-.3=7.21.2 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望(定义2)：逡连续型随机变量X的概率密度为f(X),若广义积分匚l(x)Ch
5、-绝对收敛，则称该广义积分的值为该连续型随机变量X的数学期望(简称为期望或均值)，记为E(X),即EGV)=J【例题计算题】.2l.X、csmX.设随机变量X的概率密度为人力=J20,反他求：(1)常数c；(2)E(X).正确答案(1)7(k=ECs2xdx=EC()Ck褥Jc=2.(2)jf(X)=*x(x)dx=j-xsin2xrfrOyFX几种重要的连续型随机变量的数学期望(1)均匀分布设随机变量X服从区间a,b上的均匀分布，概率密度为W = 0的指数分布，概率密度为f 2el 数学期望为)=Jox0,x0,E(X)=Jx*(x)dx=Joxexdx(3)正态分布设随机变量XN(,2),
6、概率密度为-oX -H30/(x)=-riF,yJ2则其数学期望为dr令【例题计算题】设随机变量X的概率密度为、2r,Oxl1.l=0其他；/()=LF求E(X).正确答案J手写板图示(1)E(X)=J；xf(x)dx=J；X-2xdx=2X2dx=2+x3=2y(l-0)_2一3E(X)=4ydxxdx=-Xoxe，Cdx-晨Xerd()=*以XdexfUxMe-x)=xex-j%edx-J-xe-定理2设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),并且随机变量Y=g(X),则当积分绝对收敛时，Y=g(X)的数学期望存在，并且有-V-JOerdx匚以X)Zr(X油E(Y)=EBX)=Cg(x)
7、A(X班注意：若已求得随机变量Y的概率密度f(y),则Ea)=匚必。如重要结论：一般地，若圆的直径的测量值X服从区间a,b上的均匀分布，则其面积的数学期望为E(三)=E(/)=匚了/小可亨.&=?廿+J)可参考教材P124的例9.【例题计算题】X,Oxl,设随机变量X的概率密度为/()=2-x,Kx2,10,其他求EIIX-E(X)Q【思考】如何处理绝对值的问题？正确答案JKg=匚MX班=fxx+J：H2-x)dr=+卜-#)：=1矶IXFX)I/IX-叫=ClX-IIxdruiX-II(2r)dx=Ca-X)XdX.f(x-l)(27)=M(4L5)Tr三iI三1JT尸1E(y)=fj%=S
8、(f=SiWtr(416)j7)M尸】【例题计算题】已知二维随机变量(X,Y)的分布律为XY12310.10.20.120.30.10.2求E(X)、E(Y).正确答案手写板图示E(X)=l0.4+20.6=1.6E(Y)=lO.4+2O.3+3O.3=1.9(2)如果(X,Y)为二维连续型Ia机变量，其概率密度为f(X,为，fx(x),f(y)分别为X、Y的边缘概率密度，则(4X7)(4X8)E(X)=匚Ma)(IX=J匚x(/y)kME(Ir)=MG)的=匚匚yf(y)dxdy.【例题计算题】设二维随机变量(X,丫)的概率密度为/(,y)=5, 其他求E(X).正确答案手写板图示E(X)=
9、J二XfX(x)dxfx(x)=J：f(x，y)dy/%e(X)dyOWXWl=to其他_2x/；=e-E)d-(y-5)OWXWl=lo其他2xe-g|；=OWXSlto其他OOWXWI其他E (X)定理4设g(x,y)为连续函数，对于二维随机变量(X,Y)的函数g(X,Y),.若(X,Y)为二维离散型随机变量，级数Z20jj)为绝对收敛，则JT,n=Xg(xi,yPpr(4.1.9)Ul1(2)若(X,Y)为二维连续型随机变量，且积分JYJrg(K,y)(x,j)dxdy绝对收敛，则te(X,r)=匚匚虱XJ)/(XJ)dxd(4.1.10)【例题计算题】设二维随机变量(X, Y)的概率密
10、度为 八W)=Ia其他求：(1)常数c；(2)E(X+Y)；(3)E(XY).正确答案Q)J二匚/(声由=fJ：CTk妙=4C=L+(2*(X+K)=匚匚(x+y(&加曲=W尺峥由廿也Z中翔+丝卜L(3)E(M=匚仁(xy)(x,y)dxdy=1%)；d=为:产Xf：加)=。1.4 数学期望的性质性质1设C是常数，则E(C)=C.性质2设X是随机变机，C是常是，则E(CX)=CE(X).性质3设X,Y均为随机变机，则E(X+Y)=E(X)+E(Y).性质4设X、Y为相互独立的随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y).推广：当多个随机变机X,X2,.，Xn,1)22相互独立时，E(X】Xa.XB
11、)=E(Xi)E(X2)E(Xn).【例题单选题】设随机变量X服从参数为1/2的指数分布，则E(2X-1)=().A.OB.1C.3D.4正确答案C答案解析参数为人的指数分布为连续型分布，其概率密度为/(x)=c00,其“jl.x0数学期望为l,因而E(2X-1)=E(2X)-1=2E(X)-1=2X21=3,故选C.第03讲方差、协方差与相关系数第二节方差2. 1方差的概念定义3设X为随机变量，如果EX-E(X)2存在，则称之为随机变量X的方差，记作D(X),也就是D(X)=EX-E(X)2,而称、衣5为标准差.D(X)反映了X取值的波动性大小.离散型随机变量的方差箝=I%-E(醐；(421
12、)血-(fPj(424)-当X为连续型随机变量时，有。=匚(x)dx-U二V(X)(Lj.(4.2.5)【例题计算题】lxv-lrO.设随机变量X的概率密度为/(x)-1x,0xl.0.其他.求D(X).正确答案EGn=匚切(x)dr=x(l+工声+x)dx(+Kr-)t0注意这里应用了奇偶函数的性质一一在区间1,1上，f(X)是偶函数，而Xf(X)是奇函数，因而有EqO=Uv()(k=fN()也=。由于E(X2)=J3x2(x)dx=2(l+x)dr+l2(l-x)dx1=%所以D(X)=E(X2)-E(X)2=16.注意：连续型随机变量方差的计算，一般要结合其自身的性质，如L(x)dr=l,可参考教材Pl30例19.2.2 常见随机变量的方差
