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1、第二章 随机变量的概率分布 与数字特征n第一节第一节 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布n第二节第二节 连续型随机变量及其概率分布连续型随机变量及其概率分布n第三节第三节 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n第四节第四节 三种重要分布的渐近关系三种重要分布的渐近关系n第五节第五节 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理一、随机变量的概念一、随机变量的概念 在第一章，我们介绍了随机事件及其概率，可以在第一章，我们介绍了随机事件及其概率，可以看到很多事件都可采取数值标识。如抽检产品时出现看到很多事件都可采取数值标识。如抽检产品时出现的废品个数；掷骰子出现的点数等。的废品个
2、数；掷骰子出现的点数等。对那些非数值标识的事件，实际上也可人为地加以对那些非数值标识的事件，实际上也可人为地加以数值标识。例如，对新生儿的性别，可用数值标识。例如，对新生儿的性别，可用0 0表示女，表示女，1 1表示男；对生化检验的结果，可用表示男；对生化检验的结果，可用0 0表示阴性，表示阴性，1 1表示表示阳性；对生产的产品，可用阳性；对生产的产品，可用2 2表示优质品，表示优质品，1 1表示次品，表示次品，0 0表示废品等。表示废品等。因此，随机试验的结果可用一个变量来表示，这种因此，随机试验的结果可用一个变量来表示，这种随试验结果不同取不同数值的变量称为随试验结果不同取不同数值的变量称
3、为随机变量随机变量。二、离散型随机变量及其概率分布二、离散型随机变量及其概率分布1 1、定义：按一定概率取有限个或可列个值的、定义：按一定概率取有限个或可列个值的随机变量，称为离散型随机变量。随机变量，称为离散型随机变量。设设X所有可能取值为所有可能取值为（i=1,2,)i=1,2,)称为离散型随机变量称为离散型随机变量X的的概率函数概率函数或或分布律分布律。也可用表格来表示（称为概率分布表或分布列）也可用表格来表示（称为概率分布表或分布列）1x2x1p2p2 2、概率函数、概率函数(分布律分布律)12,ix xxiiP XxpX Xipipix性质性质：（：（1）（2）（i=1,2,）0ip
4、 11iip例例 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 （k=1,2,3,4,5),求求:(1)P(X=1或或X=2）(2)15kP Xk13PX解解 （1 1）P(X=1P(X=1或或X=2X=2）=P=P（X=1X=1）+P(X=2)+P(X=2)=1/15+2/15=1/5=1/15+2/15=1/5（2 2）=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)13PX=1/15+2/15+3/15=2/5=1/15+2/15+3/15=2/5三、离散型变量的几种常见分布三、离散型变量的几种常见分布1 1、伯努利概型、伯努利概型试验只有两种可能结果：
5、试验只有两种可能结果：A A 及及 ，把这个试验独立重复把这个试验独立重复n n次，次，就构成了就构成了n n重伯努利试验重伯努利试验，简称，简称伯努利试验伯努利试验。设设P P（A A）=p =1=p =1p=qp=q（其中（其中0p1)0p1)，A P A记记B=n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A出现出现k次次则则定理（伯努利公式）定理（伯努利公式）kkn knP BC p q（k=0,1,n)k=0,1,n)例例1 1 某药治某病的治愈率为某药治某病的治愈率为p p，现用此药治该病，现用此药治该病 5 5例，问治愈例，问治愈3 3例的概率是多少？例的概率是多少？例例2 2 袋中装有
6、白球袋中装有白球2020个和黑球个和黑球1010个，每次抽一个：个，每次抽一个：（1 1）作有放回抽取）作有放回抽取5 5次，求抽到白球次，求抽到白球3 3次的概率；次的概率；（2 2）作无放回抽取）作无放回抽取5 5次，求抽到白球次，求抽到白球3 3次的概率。次的概率。解解 治治5 5例病人，看成做例病人，看成做5 5次独立的试验。每次试验次独立的试验。每次试验只有只有A=A=治愈治愈 和和 =未治愈未治愈 两个结果。且两个结果。且P(A)=pP(A)=p则这个试验是则这个试验是5 5重的伯努利试验重的伯努利试验A设设B=B=治愈治愈3 3例例=A=A出现出现3 3次次 23351P BC
7、pp所以所以解解 （1 1）有放回抽球，可看成每次试验是独立的，）有放回抽球，可看成每次试验是独立的，属于伯努利试验，令属于伯努利试验，令A=A=抽到白球抽到白球 且且P P（A A）=2/3=2/3故故3235210.32933PC （2 2）无放回抽球，说明每次试验间不独立，因此）无放回抽球，说明每次试验间不独立，因此不属伯努利试验，应看成古典概型。不属伯努利试验，应看成古典概型。3220105300.36CCPC无放回抽无放回抽5 5次，可看成一次抽次，可看成一次抽5 5个球，由古个球，由古典公式得典公式得2 2、二项分布、二项分布（1 1）若随机变量）若随机变量X X的概率函数为的概率
8、函数为kkn knP XkC p q（k=0,1,n)，q=1-p;,XB k n p(2)(2)性质性质则称则称X X服从二项分布服从二项分布,记为记为001nnkkn knkkP XkC p q 由于各概率函数值由于各概率函数值 正好是二项式正好是二项式 展开式中的对应各项展开式中的对应各项,故名二项分布。故名二项分布。kkn knC p qnpq0kkn knP XkC p q例例3 3 设设 ，求，求P P（X=4X=4）,P(2X6)P(2X0.5p0.5时，不能直接查表时，不能直接查表但可以转化为其对立事件的概率计算。但可以转化为其对立事件的概率计算。设设X X代表代表A A出现次
9、数，出现次数，Y Y代表代表 出现次数，则出现次数，则X+Y=nX+Y=n且且()P XkP Ynk()P XkP Ynk1221()P kXkP nkYnk,1YB npA例例4 XB4 XB（1010，0.7)0.7)，求，求(7)P X 解解 7314P XP YP Y 1 0.350390.64961（3 3）二项分布的最可能值：使）二项分布的最可能值：使P P（X=k)X=k)取最大值取最大值 的的k k值。即值。即n n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A A最可能最可能 出现的次数。出现的次数。结论：若结论：若(n+1)p(n+1)p为整数，则为整数，则0(1)knp(1)1n
10、p和和若若(n+1)p(n+1)p为非整数，则为非整数，则0(1)knp例例5 5 有有10%10%的人对某药有肠道反应，为考察此药的人对某药有肠道反应，为考察此药的质量，现随机选的质量，现随机选5 5人服用此药，试求：人服用此药，试求：（1 1）其中）其中k(k=0,1,5)k(k=0,1,5)个人有反应的概率；个人有反应的概率；（2 2）不多于）不多于2 2人有反应的概率；人有反应的概率；（3 3）有人有反应的概率。）有人有反应的概率。解：随机选解：随机选5 5人服药，各人间对药物的反应具有独立人服药，各人间对药物的反应具有独立性，且每人服药后有反应的概率均为视为性，且每人服药后有反应的概
11、率均为视为0.10.1，这相当，这相当于做于做5 5次独立重复试验，即次独立重复试验，即p=0.1,n=5p=0.1,n=5的伯努利试验。的伯努利试验。因而反应的人数因而反应的人数XBXB（5 5，0.1)0.1)（1 1）k k个人有反应的概率为个人有反应的概率为550.10.9kkkP XkC(k=0,1,5)(k=0,1,5)概率分布表如下概率分布表如下 X 0 1 2 3 4 5 P(X=k)0.59049 0.32805 0.07290 0.00810 0.00045 0.00001(2)(2)不多于不多于2 2人有反应的概率为人有反应的概率为202kP XP Xk=0.9045+0
12、.32805+0.0729=0.9045+0.32805+0.0729=0.99144=0.99144(3)(3)有人有反应的概率为有人有反应的概率为(1)1(0)1 0.590490.40951P XP X 3 3、泊松分布、泊松分布(稀有事件模型稀有事件模型);XP k 在很多实际问题中，在很多实际问题中，n n重伯努利试验中的重伯努利试验中的n n往往往往很大，很大，p p很小，则试验结果很小，则试验结果A A出现的次数出现的次数X X，可看成，可看成泊松分布。泊松分布。正是因为结果正是因为结果A A在在n n次试验中出现的次数非常少，次试验中出现的次数非常少，故故A A可看作稀有事件。
13、可看作稀有事件。!kP Xkek（k=0,1,2.)k=0,1,2.)其中参数其中参数0（1 1）概率函数）概率函数（2 2）性质）性质 01!kkek 服从泊松分布的随机变量在实际中是很多的，服从泊松分布的随机变量在实际中是很多的，例如三胞胎出生次数，癌症发病人数，放射的粒子例如三胞胎出生次数，癌症发病人数，放射的粒子个数，特大洪水发生的年数，抽检大量产品中出现个数，特大洪水发生的年数，抽检大量产品中出现次品的件数，等等。次品的件数，等等。（3 3）泊松定理）泊松定理 在在n n重伯努利试验中，事件重伯努利试验中，事件A A在一次试验中出现的概率为在一次试验中出现的概率为p p。若。若 ，n
14、pnp也较小，则令也较小，则令 =np=np有有 （k=0,1,2,)k=0,1,2,)lim;,!knB k n pekn 从定理也可看出，事件从定理也可看出，事件A A发生的次数发生的次数X X若服从参数若服从参数为为 的泊松分布，则的泊松分布，则 表示表示A A在大量试验中发生的在大量试验中发生的平均次数。平均次数。例例6 6 已知某厂生产的针剂的废品率为已知某厂生产的针剂的废品率为0.010.01，400400支支针剂中，废品至少有针剂中，废品至少有5 5支以上的概率是多少？支以上的概率是多少？解：设解：设400400支针剂中废品数为支针剂中废品数为X X，检查，检查400400支针剂
15、看支针剂看成做成做400400次独立重复试验，即次独立重复试验，即n=400;n=400;每次试验结果每次试验结果为废品或正品，抽到废品的概率即为废品或正品，抽到废品的概率即p=0.01p=0.01则则XBXB（400400，0.010.01），可近似看成泊松分布），可近似看成泊松分布400 0.014np440451414!kkP XP Xe 01444441(.)0.371160!1!4!e 例例7 7 某人在一次试验中遇到危险的概率是某人在一次试验中遇到危险的概率是1%1%，如果他在一年里每天都要独立重复做一次这样的如果他在一年里每天都要独立重复做一次这样的试验，那么他在一年中至少遇到一
16、次危险的概率试验，那么他在一年中至少遇到一次危险的概率是多少？是多少？解：此人做的试验可看成伯努利试验解：此人做的试验可看成伯努利试验,n=365,n=365,每次每次试验遇到危险的概率试验遇到危险的概率p=0.01p=0.01设他在一年中遇到危险的次数为设他在一年中遇到危险的次数为X X，则，则XB(365,0.01)XB(365,0.01)因为因为n n很大，很大，p p较小，可近似看成泊松分布较小，可近似看成泊松分布365 0.013.65np03.653.6511010.970!P XP Xe 4 4、两点分布（、两点分布（0 01 1分布）分布）1kkP Xkp q（k=0,1)X Xpipi0 10 1p 1p 1p=qp=q可以看出，两点分布即为二项可以看出，两点分布即为二项分布中分布中n=1n=1的特殊情况。的特殊情况。例例8 8 一批产品共一批产品共100100件，其中有件，其中有9595件正品，件正品，5 5件废品，件废品，从中任取一件，观察产品质量从中任取一件，观察产品质量.若其结果用随机变量若其结果用随机变量X X来描述，求来描述，求X X的概率函数。的概率函数
