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1、专题八 数学思想方法第 2讲 数形结合思想思 想 方 法 概 述热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题思想方法概述1.数形结合的数学思想：包含数形结合的数学思想：包含“以形助数以形助数”和和“以数辅形以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些质；二是借助于数的精确性和规范严密性来
2、阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质来精确地阐明曲线的几何性质.2.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则等价性原则.在数形结合时，代数性质和几何性质的转换在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要
3、注意其带来的负面效应能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应.(2)双方性原则双方性原则.既要进行几何直观分析，又要进行相应的代既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错.(3)简单性原则简单性原则.不要为了不要为了“数形结合数形结合”而数形结合而数形结合.具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值转化；三要挖掘隐含条件，准确界
4、定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线定二次曲线.3.数形结合思想解决的问题常有以下几种：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围.(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围.(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系大小关系.(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式值问题和证明不等
5、式.(5)构建立体几何模型研究代数问题构建立体几何模型研究代数问题.(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题究最值问题.(7)构建方程模型，求根的个数构建方程模型，求根的个数.(8)研究图形的形状、位置关系、性质等研究图形的形状、位置关系、性质等.4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度训练，
6、以提高解题能力和速度.具体操作时，应注具体操作时，应注意以下几点：意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域准确画出函数图象，注意函数的定义域.(2)用图象法讨论方程用图象法讨论方程(特别是含参数的方程特别是含参数的方程)的解的的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有有时可能先作适当调整，以便于作图时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两，然后作出两个函数的图象，由图求解个函数的图象，由图求解.热点一 利用数形结合思想讨论方程的根 热点二 利用
7、数形结合思想解不等式、求参数范围 热点三 利用数形结合思想解最值问题热点分类突破热点一 利用数形结合思想讨论方程的根解析先作出函数先作出函数f(x)|x2|1的图象，的图象，如图所示，如图所示，当直线当直线g(x)kx与直线与直线AB平行时斜率为平行时斜率为1，当直线当直线g(x)kx过过A点时斜率为点时斜率为 ，故故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，有两个不相等的实根时，k的范围为的范围为(，1).答案B用函数的图象讨论方程用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一的解的个数是一种重要的思想方法，其基
8、本思想是先把方程两边种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数的交点个数即为方程解的个数.思维升华变式训练1解析由由f(4)f(0)，f(2)2，解得解得b4，c2，f(x)作出函数作出函数yf(x)及及yx的函数图象的函数图象如图所示，如图所示，由图可得交点有由图可得交点有3个个.答案C例2(1)已知奇函数已知奇函数f(x)
9、的定义域是的定义域是x|x0，xR，且在且在(0，)上单调递增，若上单调递增，若f(1)0，则满足，则满足xf(x)0的的x的取值范围是的取值范围是_.热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围由图可知由图可知xf(x)0时，只需在时，只需在x0时，时，ln(x1)ax成立成立.比较对数函数与一次函数比较对数函数与一次函数yax的增长速度的增长速度.显然不存在显然不存在a0使使ln(x1)ax在在x0上恒成立上恒成立.12真题感悟34当当a0时，只需在时，只需在x0，且且x1x2a32，x1x2a1，联立可得，联立可得0a0，且且x3x4a32，x3x4a1，联立可得，联立可得a9，综上知，
10、综上知，0a9.答案(0,1)(9，)押题精练1231.方程方程|x22x|a21(a0)的解的个数是的解的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4456解析(数形结合法数形结合法)a0，a211.y|x22x|的图象与的图象与ya21的图象总有两个交点的图象总有两个交点.而而y|x22x|的图象如图，的图象如图，B2.不等式不等式|x3|x1|a23a对任意实数对任意实数x恒成立，恒成立，则实数则实数a的取值范围为的取值范围为()A.(，14，)B.(，25，)C.1,2D.(，12，)押题精练123456押题精练123456画出函数画出函数f(x)的图象，如图，的图象，如图，可以看出函数可
11、以看出函数f(x)的最大值为的最大值为4，故只要故只要a23a4即可，即可，解得解得a1或或a4.正确选项为正确选项为A.答案A3.经过经过P(0，1)作直线作直线l，若直线，若直线l与连接与连接A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线的线段总有公共点，则直线l的斜率的斜率k和倾斜和倾斜角角的取值范围分别为的取值范围分别为_，_.押题精练123456解析如图所示，结合图形：为使如图所示，结合图形：为使l与与线段线段AB总有公共点，总有公共点，则则kPAkkPB，而，而kPB0，kPA0，押题精练123456故故k0时，时，为锐角为锐角.押题精练123456押题精练123456押题精练
12、123456解析由题意知原点由题意知原点O到直线到直线xy20的距离为的距离为|OM|的最小值的最小值.押题精练123456押题精练1234566.设函数设函数f(x)ax33ax，g(x)bx2ln x(a，bR)，已知它们在已知它们在x1处的切线互相平行处的切线互相平行.(1)求求b的值；的值；押题精练123456解函数函数g(x)bx2ln x的定义域为的定义域为(0，)，f(x)3ax23af(1)0，g(x)2bx g(1)2b1，依题意得依题意得2b10，所以，所以b .押题精练123456押题精练123456即即g(x)在在(1，)上单调递增，上单调递增，当当a0时，方程时，方程
13、F(x)a2不可能有四个解；不可能有四个解；当当a0，x(，1)时，时，f(x)0，即即f(x)在在(1,0)上单调递增，上单调递增，所以当所以当x1时，时，f(x)取得极小值取得极小值f(1)2a，押题精练123456又又f(0)0，所以，所以F(x)的图象如图的图象如图(1)所示，所示，从图象可以看出从图象可以看出F(x)a2不可能有四个解不可能有四个解.当当a0，x(，1)时，时，f(x)0，即即f(x)在在(，1)上单调递增，上单调递增，x(1,0)时，时，f(x)0，即即f(x)在在(1,0)上单调递减，上单调递减，所以当所以当x1时，时，f(x)取得极大值取得极大值f(1)2a.押题精练123456又又f(0)0，所以，所以F(x)的图象如图的图象如图(2)所示，所示，
