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1、合肥工业大学误差理论与数据处理第3章 误差的合成与分配合肥工业大学误差理论与数据处理教学目标本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量方案的确定等问题。通过本章的学习，读者应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以及误差的合成和分配。合肥工业大学误差理论与数据处理教学重点和难点n函数系统误差n函数随机误差n函数误差分布的模拟计算n随机误差的合成n未定系统误差和随机误差的合成n误差分配n微小误差取舍准则n最佳测量方案的确定 合肥工业大学误差理论与数据处理第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理间接测量间接测量 函数误差函数误差 间接测得的被测量误差也应是直接
2、测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差函数误差 通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量 第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理一、函数系统误差计算一、函数系统误差计算第一节函数误差间接测量的数学模型 12(,.,)nyf x xx 与被测量有函数关系的各个直接测量值 y 间接测量值12,nx xx求上述函数 y 的全微分，其表达式为：nndxxfdxxfdxxfdy2211合肥工业大学误差理论与数据处理 和 的量纲或单位不相同，则 起到误差单位换算的作用 和 的量纲或单位相同，则 起到误差放大或缩小的作用由 y 的全微分，函数系统误差 的计算公式y1212.n
3、nfffyxxxxxx 为各个输入量在该测量点 处的误差传播系数(1,2,)ifx in12(,)nx xxixyifxixyifx第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理几种简单函数的系统误差几种简单函数的系统误差 1、线性函数1 122.nnya xa xa x1122.nnyaxaxax 12.nyxxx 1ia 2、三角函数形式 12sin,.,nf x xx11cosniiifxx12cos,.,nf x xx11sinniiifxx系统误差公式当 当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和 第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理【例】用弓高弦长法间接
4、测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高 h=50mm，弦长s=500mm。已知，弓高的系统误差 h=-0.1mm,玄长的系统误差 h=-1mm。试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。【解】建立间接测量大工件直径的函数模型 24lDhhD2lh 不考虑测量值的系统误差，可求出在 处的直径测量值 50mmh 500mml 201300mm4lDhh第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理车间工人测量弓高 h、弦长 l 的系统误差 5050.10.1mmh 5004991mml 直径的系统误差:7.4mmffDlhlh 500522 50fllh2222500
5、112444 50flhh 故修正后的测量结果:013007.41292.6mmDDD计算结果：计算结果：误差传递系数为:第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理二、函数随机误差计算二、函数随机误差计算第一节函数误差数学模型数学模型 12(,.,)nyf x xx变量中只有随机误差泰勒展开，并取其一阶项作为近似值函数的一般形式 1122(,)nnyyf xx xxxx121212(,.,)nnnfffyyf x xxxxxxxx得到 1212nnfffyxxxxxx即：可得：合肥工业大学误差理论与数据处理2222222121122nyxxxnijijnijfffffDxxxxx 22222
6、22121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx 函数标准差计算函数标准差计算 或 第i个直接测得量 的标准差 xiix 第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 ij 第i个测量值和第j个测量值之间的协方差 ijijxixjD 第i个直接测得量 对间接量 在该测量点 处的误差传播系数 ifxixy12(,)nx xx第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理22222221212yxxxnnfffxxx2222221212yxxxnnfffxxx或0ijijD相互独立的函数标准差计算相互独立的函数标准差计算若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 iifax令2222
7、221122yxxnxnaaa第一节函数误差则 当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式 2222221122yxxnxnaaa 第i个直接测得量 的极限误差 xiix合肥工业大学误差理论与数据处理三角形式的函数随机误差公式三角形式的函数随机误差公式2222222121cos1xnnxxxfxfxf1）正弦函数形式为:函数随机误差公式为：第一节函数误差nxxxf,sin212）余弦函数形式为:函数随机误差公式为：nxxxf,cos21三角函数标准差计算三角函数标准差计算3）正切函数形式为:函数随机误差公式为：nxxxf,tan2122222221212
8、cosxnnxxxfxfxf4）余弦函数形式为:函数随机误差公式为：nxxxf,cot2122222221212sinxnnxxxfxfxf2222222121sin1xnnxxxfxfxf合肥工业大学误差理论与数据处理【解】【解】【例】【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高 h=50mm，弦长s=500mm。已知，弓高的系统误差 h=-0.1mm,玄长的系统误差 h=-1mm。试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。已知：，0.005mmh0.01mml2222222224()()50.01240.005169 10 mmDlhfflh0.13m
9、mD有修正后的测量结果 01292.6mmDDD0.13mmD第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理相关系数对函数误差的影响相关系数对函数误差的影响 2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响 2222221122yxxnxnaaa1122yxxnxnaaa0ij1ij 函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系 函数随机误差公式ij当相关系数 时当相关系数 时2 2、相关系数估计相关系数估计第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理相关系数的确定相关系数的确定可判断 的情形 0i
10、j 断定 与 两分量之间没有相互依赖关系的影响 ixjx 当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然 与 属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量 ixjx 与 虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关 ixjx第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理可判断 或 的情形 断定 与 两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系 ixjx当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然 与 属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关 ixjx1ij 1ij 第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数
11、据处理第一节函数误差nnn31cos其中，4321nnnnnn2n3n4n1022()()(,)()()ikijkjkijikijkjkkxxxxx xxxxx 根据 的多组测量的对应值 ，按如下统计公式计算相关系数(,)ijx x,ikjkxx 、分别为 、的算术平均值 ixjxikxjkx合肥工业大学误差理论与数据处理第二节随机误差的合成 任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素作用的结果。误差合成就是在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确地表述这些误差的综合影响。标准差合成 极限误差合成解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成的方法，其中还要考
12、虑到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响 随机误差的合成形式包括：合肥工业大学误差理论与数据处理一、标准差合成一、标准差合成合成标准差表达式合成标准差表达式:211()2qqiiijijijiijaa a q个单项随机误差，标准差 12,q 误差传播系数 12,qa aav 由间接测量的显函数模型求得 v 根据实际经验给出 v 知道影响测量结果的误差因素 而不知道每个 和 iiiyaiaiiiafx 第二节随机误差的合成合肥工业大学误差理论与数据处理当误差传播系数 、且各相关系数均可视为0的情形 第二节随机误差的合成若各个误差互不相关，即相关系数 21()qiiia21qii0ij1ia
13、则合成标准差 用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算出总的标准差 视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分量 合肥工业大学误差理论与数据处理二、极限误差合成二、极限误差合成 单项极限误差单项极限误差:1,2,.,iiikiq 单项随机误差的标准差 单项极限误差的置信系数 合成极限误差合成极限误差:kiik 合成标准差 合成极限误差的置信系数 k第二节随机误差的合成合成极限误差计算公式合成极限误差计算公式211()2qqjiiiijijiijiijaka akk k 合肥工
14、业大学误差理论与数据处理 根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成 各个置信系数 、不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关 ikk 对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同 对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同 第二节随机误差的合成ij 为第i个和第j个误差项之间的相关系数，可根据前一节的方法确定。应用极限误差合成公式时，应注意：应用极限误差合成公式时，应注意：合肥工业大学误差理论与数据处理211()2qqiiijijijiijaa a 21qii0ij1ia 当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项
15、误差的数目q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布12qkkkk合成极限误差：合成极限误差：若和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式 第二节随机误差的合成时：此时合肥工业大学误差理论与数据处理第三节系统误差合成一、已定系统误差的合成一、已定系统误差的合成系统误差的分类：系统误差的分类：1）已定系统误差2）未定系统误差定义定义：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差表示符号：表示符号：合成方法合成方法：按照代数和法进行合成按照代数和法进行合成riiiai 为第i个系统误差，ai为其传递系数
16、系统误差可以在测量过程中消除，也可在合成后在测量结果中消除合肥工业大学误差理论与数据处理二、未定系统误差的合成二、未定系统误差的合成第三节系统误差合成（一）（一）未定系统误差的特征及其评定未定系统误差的特征及其评定定义定义：误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范围 e 的系统误差特征特征：1）在测量条件不变时为一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而单项系统误差在重复测量中不具有低偿性2）随机性。当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某极限范围内具有随机性，且服从一定的概论分布，具有随机误差的特性。表示符号：表示符号：极限误差：极限误差：e 标准差：标准差：u合肥工业大学误差理论与数据处理1、标准差合成、标准差合成第三节系统误差合成（一）（一）未定系统误差的合成未定系统误差的合成 未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，他们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的合成，完全可以采用随机误差的合成公式，这就给测量结果的处理带来很大方便。同随机
