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1、 闭环控制系统的动态性能，主要由系闭环控制系统的动态性能，主要由系统的闭环极点在统的闭环极点在s平面上的分布所决定。平面上的分布所决定。利用系统的开环零、极点分布图，采用利用系统的开环零、极点分布图，采用图解法来确定系统的闭环特征根随参数图解法来确定系统的闭环特征根随参数变化的运动轨迹变化的运动轨迹-根轨迹。根轨迹。第第4 4章章 根轨迹法根轨迹法内 容 提 要根轨迹的基本条件、幅值方程、相角方程，常规根轨迹绘制的基本规则，广义根轨迹的绘制、根轨迹图分析系统的动态、静态特性。知 识 要 点4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹 设控制系统的开环传递函数为设控制系统的开环传递
2、函数为)2)(1()()(ssKsHsG2,121ppKssKs23)(2KsssD23)(2Ks4121232,1系统开环极点有两个系统开环极点有两个系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为系统的特征方程为系统的特征方程为其特征根为其特征根为0:K时，系统特征根时，系统特征根(闭环极点闭环极点)变化情况如下：变化情况如下：0K2211-2,-1psps25.00 K 25.0K5.121 ss K25.014215.12,1Kjs1.当系统的闭环极点为开环极点；时，闭环极点 为两个互不相等的负实根两个互不相等的负实根时，闭环极点为两个相等的负实根两个相等的负实根时，闭环极点为实部为负的共轭复
3、根实部为负的共轭复根。2.当3.当4.当系统的根轨迹图 由根轨迹图可以直观地分析参数由根轨迹图可以直观地分析参数K变化时系统的各项性能。变化时系统的各项性能。K25.00 K 25.0K K25.0K当从0变化到时，根轨迹均在s平面的左半平面，时，闭环极点为负实根，系统为过阻尼时，闭环极点为重根，系统为临界阻尼状态，闭环极点为实部为负的共轭复根，因此，因此，系统是系统是稳定的。状态，系统的阶跃响应为单调变化。系统的阶跃响应为单调变化。系统为欠阻尼状态，系统的阶跃响应为衰减振荡，且系统的超调量随 值增大而增大，但是调节时间不变。4.1.2 根轨迹的基本条件 对于典型的负反馈控制系统，如图4-3所
4、示，图4-3 反馈控制系统闭环传递函数为)()(1)()(sHsGsGs1)()(0)()(1)(sHsGsHsGsD系统的特征方程为：系统的特征方程为：系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为（4-2）满足式（满足式（4-2）的点，必定是根轨迹上的点，式）的点，必定是根轨迹上的点，式（4-2）称作根轨迹的基本方程（或根轨迹的基本）称作根轨迹的基本方程（或根轨迹的基本条件）。因为条件）。因为s是复变量，所以式（是复变量，所以式（4-2）可以写成）可以写成式（式（4-3）幅值幅值(模值模值)条件条件和式（和式（4-4）相角条件相角条件。1)()(sHsG,2,1,0)12()()(kksHsG（
5、4-3）（4-4）mzzz、21nppp、21K).()().()()()(2121nmpspspszszszsKsHsG当系统的开环传递函数为零、极点表示形式，即式（当系统的开环传递函数为零、极点表示形式，即式（4-5）：（4-5）为系统的开环零点；为系统的开环零点；为系统的开环极点；为系统的开环极点；为系统的根轨迹增益。为系统的根轨迹增益。1)()()()(11niimjjpszsKsHsG根轨迹的根轨迹的幅值条件和相角条件幅值条件和相角条件又可表示为：又可表示为：mjjniizspsK11)()(,2,1)12()()(11kkpszsinijmjK0180假设研究系统的根轨迹增益假设研
6、究系统的根轨迹增益闭环系统的特征根的轨迹，闭环系统的特征根的轨迹，根轨迹。根轨迹。则称为则称为典型根轨迹或常规根轨迹典型根轨迹或常规根轨迹或或从零变化到无穷远时，从零变化到无穷远时，4.2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则规则规则1 根轨迹的起点与终点根轨迹的起点与终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。0Knppp,21Kmjzsj,2,1,当时，为根轨迹的起点，求得根轨迹的起点为时，为根轨迹的起点，求得根轨迹的起点为，即系统的即系统的开环极点开环极点。时，由根轨迹方程知根轨迹的终点为时，由根轨迹方程知根轨迹的终点为，即系统的即系统的开环零点。
7、开环零点。mn m）（mn-但是，当但是，当时，条根轨迹趋向于开环零点（称为条根轨迹趋向于开环零点（称为有限零点有限零点），还有），还有条根轨迹将趋于无穷远处（称为条根轨迹将趋于无穷远处（称为无限零点无限零点）。mn）（nm-如果出现如果出现的情况，的情况，必有必有条根轨迹的起点在条根轨迹的起点在无穷远处无穷远处。规则规则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支数等于数等于，根轨迹对称于实轴并且连续变化。根轨迹对称于实轴并且连续变化。),max(mn由根轨迹的对称性和连续性，根轨迹只需作出上半部分，由根轨迹的对称性和连续性，根轨迹只需作出上半部分
8、，对称画出另一部分，且根轨迹连续变化。对称画出另一部分，且根轨迹连续变化。aa规则规则3 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 当开环极点数大于开环零点数时，有当开环极点数大于开环零点数时，有n-m条根轨迹条根轨迹趋于无穷远处，无穷远处的渐近线与实轴的交点为趋于无穷远处，无穷远处的渐近线与实轴的交点为 ，渐近线与实轴正方向的夹角渐近线与实轴正方向的夹角(倾角倾角)为为mnzpmjjniia11,2,1,0)12(kmnka)2)(1()()(sssKsHsG2,1,0321ppp0,3mn2,1,0321ppp例例4-1单位负反馈系统的开环传递函数为单位负反馈系统的开环传递函数为系统开环传递函数有三个
9、极点：系统开环传递函数有三个极点：开环无零点，即开环无零点，即系统有三条根轨迹，分别起始于三个开环极点系统有三条根轨迹，分别起始于三个开环极点三条根轨迹趋向于无穷远处，其渐近线与实轴交点坐标为三条根轨迹趋向于无穷远处，其渐近线与实轴交点坐标为-10-30-2-1-011）（）（mnzpmjjniia渐近线与实轴正方向的夹角为渐近线与实轴正方向的夹角为1 0 33)12()12(kkkmnka，三条渐近线如图三条渐近线如图4-4所示。所示。图4-4根轨迹的渐近线规则规则4:实轴上的根轨迹段实轴上的根轨迹区段位于其右实轴上的根轨迹段实轴上的根轨迹区段位于其右边开环零、极点数目总和为边开环零、极点数
10、目总和为奇数奇数的区域。的区域。规则规则5根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点 几条根轨迹在几条根轨迹在s平面上相遇后又分开（或分开后又相遇）的点，平面上相遇后又分开（或分开后又相遇）的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。称为根轨迹的分离点（或会合点）。1.重根法重根法 根轨迹的分离点（或会合点）是系统特征方程的重根，可根轨迹的分离点（或会合点）是系统特征方程的重根，可以采用求重根的方法确定其位置。以采用求重根的方法确定其位置。设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为)()()()(sNsKMsHsG系统的特征方程为系统的特征方程为0)()(sNsKM（4-15）特征方程有重根的条
11、件特征方程有重根的条件0)()(sNsMK（4-16）分离点（或会合点）为重根，必然同时满足方程式（分离点（或会合点）为重根，必然同时满足方程式（4-15）和）和式（式（4-16），联立求解得分离点（或会合点）的），联立求解得分离点（或会合点）的d 0)()()()(sMsNsMsN所对应的所对应的K值为值为 dsMsNK)()(-2极值法极值法 由系统的特征方程式（由系统的特征方程式（4-15）求极值得）求极值得0ddsK即可确定分离点（或会合点）的值即可确定分离点（或会合点）的值d。3零、极点法零、极点法mjjniizdpd1111必须说明必须说明，采用上式确定的是特征方程的重，采用上式确
12、定的是特征方程的重根点，对分离点（或会合点）来说，根点，对分离点（或会合点）来说，它只是它只是必要条件而非充分条件必要条件而非充分条件，也就是说它的解不，也就是说它的解不一定是分离点（或会合点），是否是分离点一定是分离点（或会合点），是否是分离点（或会合点）还要看其它规则。（或会合点）还要看其它规则。例例4-2 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为221)()()(2sssKsHsG分离点（或会合点）的确定分离点（或会合点）的确定 02022-1)(2222ssssss）（）（，01s02122-1021KsssKs，2-2s2122-222ssssK2-2s01s解得：，对应的对
13、应的对应的对应的所以所以在根轨迹段上是分离点；而在根轨迹段上是分离点；而不在根轨迹段上，则舍弃。不在根轨迹段上，则舍弃。系统的根轨迹图1）实轴上两个相邻的开环极点之间为根轨迹段则实轴上两个相邻的开环极点之间为根轨迹段则一定有分离点；一定有分离点；2）实轴上两个相邻的开环零点之间为根轨迹段则实轴上两个相邻的开环零点之间为根轨迹段则一定有会合点；一定有会合点；3）实轴上一个开环零点和一个开环极点之间为根实轴上一个开环零点和一个开环极点之间为根轨迹段则或一定既有分离点又有会合点，或既没有轨迹段则或一定既有分离点又有会合点，或既没有分离点又没有会合点。分离点又没有会合点。当然，分离点（会合点）可以是实
14、数，也可以是当然，分离点（会合点）可以是实数，也可以是复数，两个相邻的开环复极点（或零点）之间可能复数，两个相邻的开环复极点（或零点）之间可能有分离点（或会合点）。有分离点（或会合点）。规则规则6 根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角 根轨迹从开环极点出发时的切线与正实轴的夹角，根轨迹从开环极点出发时的切线与正实轴的夹角，称为根轨迹的起始角；根轨迹进入开环零点时切线称为根轨迹的起始角；根轨迹进入开环零点时切线与正实轴的夹角，称为根轨迹的终止角。与正实轴的夹角，称为根轨迹的终止角。nilllimjjipppzpki11)()()12(niijmjllljzpzzzkj11)()()12(
15、lk/)12(l规则规则7 根轨迹上分离点（会合点）的分离角（会合角）根轨迹上分离点（会合点）的分离角（会合角）在分离点处（会合点）根轨迹离开（进入）实轴的相在分离点处（会合点）根轨迹离开（进入）实轴的相角为角为规则规则8根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点为趋向或离开实轴的根轨迹的分支数。为趋向或离开实轴的根轨迹的分支数。方法一：令方法一：令 js 代入特征方程得代入特征方程得 0)()(1Im0)()(1RejHjGjHjG联立求解得到临界增益 及虚轴交点及虚轴交点 K方法二：由劳斯稳定判据的临界稳定状态求取。方法二：由劳斯稳定判据的临界稳定状态求取。例例4-4已知系统的开环传递函数为已知
16、系统的开环传递函数为)2(1)()()(sssKsHsG系统的特征方程为系统的特征方程为 023)2(1)()(23KsssKssssD方法一 020302)(3)()(3223KKjjjjD6,20,0KK方法二：列劳斯表为方法二：列劳斯表为KsKsKss012336321系统稳定条件为系统稳定条件为 060KK系统临界增益系统临界增益 K=6由辅助方程由辅助方程 063)(2 ssP2s所以根轨迹与虚轴的交点为所以根轨迹与虚轴的交点为 2s6K规则规则9 根之和根之和 当系统的开环传递函数分母和分子的次数满足当系统的开环传递函数分母和分子的次数满足 时，则系统开环极点之和总是等于系统闭环特征根时，则系统开环极点之和总是等于系统闭环特征根 2 mnniciniipp11规则规则10 根之积根之积 根据特征方程根和系数的关系，得根据特征方程根和系数的关系，得)()(111mjjniinicizKpp第1章 引 论 例：系统的开环传递函数为例：系统的开环传递函数为)54ss)(4s(sK)s(H)s(G2j2p,4p,0p4,321开环极点为开环极点为渐近线于实轴的交点为渐近线于实轴的交
