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1、第第4 4章章 控制网平差控制网平差 对于一个实际平差问题，可建立不同形式的函数模型，相应地就有不同的平差方法。测量中常见的控制网平差方法有条件平差和间接平差两种。本章介绍独立三角网条件平差和水准网间接平差的原理和方法第一节 独立三角网条件平差条件平差 根据三角网中起算数据的多少，三角网有根据三角网中起算数据的多少，三角网有独立三角网（网中仅有必要的起算数据）和非独立三角网（网中仅有必要的起算数据）和非独立三角网（网中具有多余的起算数据）之分。独立三角网（网中具有多余的起算数据）之分。三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方法。本节讨论独立三角网按角度进
2、行条件平差法。本节讨论独立三角网按角度进行条件平差时，条件方程式列立、法方程式组成和解算的时，条件方程式列立、法方程式组成和解算的详细步骤和方法。详细步骤和方法。一、典型三角网一、典型三角网1.1.三角锁三角锁 c 1 an bn B1 ci a1 B2 b1 ai bi cn 共有共有n+2个点，个点，其中其中2个为起算点，个为起算点，n个未知点个未知点.起算数据：起算数据：(x1,y1),(x2,y2).观测值：观测值：ai,bi,ci，B22.2.大地四边形大地四边形 共有共有4个点，其个点，其中中2个为起算点，个为起算点，2个未知点。个未知点。起算数据：起算数据：(xA,yA),(xB
3、,yB)观测值：观测值：a1 a4,b1 b4 a3 b3 b2 a4 a2 b4 b1 a1 SABCD3.3.中点多边形中点多边形共有共有n+1个点，个点，其中其中2个为起算点，个为起算点，n-1个个未知点未知点.起算数据：起算数据：(xA,yA),(xO,yO)观测值：观测值：ai ,bi ,ci A a1 EB b1 c1 O a2 c2 ci b2 ai bi C D二、典型三角网的条件方程二、典型三角网的条件方程1.1.三角锁三角锁 c 1 ci an bn B1 B2 a1 b1 ai bi cn 0180 iiicba图形条件nnbbbaaaBBsinsinsinsinsins
4、in212112基线条件代入条件方程得到改正数表达的条件方程代入条件方程得到改正数表达的条件方程 n个图形条件：个图形条件：vai+vbi+vci+wi=0;wi=ai+bi+ci 180 将将ciiibiiiaiiivccvbbvaa其中：其中：ai=ctgctgai;bi=ctgctgbi;”=206265=206265”)sinsin1(12aBbBwB 1 1个基线条件：个基线条件：ai vai bi vbi+wB=0 2、大地四边形，、大地四边形，可以列出可以列出7个图形条件，个图形条件，但是只有但是只有 3 个是相互独个是相互独立的，其余几个可以由立的，其余几个可以由这这 3 个方
5、程推导出来：个方程推导出来：a3 b3 b2 a4 a2 b4 b1 a1018001800180443333222211babababababa用改正数表达：用改正数表达：va1+vb1+va2+vb2+w1=0;w1=a1+b1+a2+b2 180 va2+vb2+va3+vb3+w2=0;w2=a2+b2+a3+b3 180 va3+vb3+va4+vb4+w3=0;w3=a3+b3+a4+b4 180极条件极条件1 1个个:用改正数表达：用改正数表达：ai vai bi vbi+ws=0；)sinsin1(iisabw其中：其中：ai=ctg ai,bi=ctg bi01sinsins
6、insinsinsin2121nnbbbaaa3、中点多边形、中点多边形 在中点多边形中，平差时除了要满足三角在中点多边形中，平差时除了要满足三角形闭合条件外，还必须使中心点处的角度满形闭合条件外，还必须使中心点处的角度满足下列条件：足下列条件：0360ic a1 b1 c1 ci ai bi用改正数表达：用改正数表达：图形条件图形条件n个：个：)sinsin1(iisabwvai+vbi+vci+wi=0;wi=ai+bi+ci 180 (i=1,2,n)圆周角条件圆周角条件1个：个：vci+wo=0；wo=ci-360极条件极条件1个：个：ai vai bi vbi+ws=0第二节第二节
7、条件平差原理条件平差原理 条件方程可以写成矩阵形式：AV+W=0 其中，A 为r n 阶矩阵，称为系数矩阵；V 为n 1列阵，称为改正数向量；W为r 1列阵，称为闭合差向量。条件方程 AV+W=0 中，有 r 个方程，n 个未知数,且 r n，这样的方程组有无穷多组解。然而，根据最小二乘准则，观测量的最或然值应该满足VTPV=min。在 AV+W=0的条件下确定 VTPV 的最小值，这在数学中是求函数=VTPV的条件极值问题。条件平差，实际上条件平差，实际上就是确定条件方程满足就是确定条件方程满足VTPV=min 的的唯一解唯一解。根据计算函数的条件极值的拉格朗日乘数法则组成新函数：=VTPV
8、 2KT（AV+W)其中：K =（k1,k2，kr)T 是拉格朗日乘数，测量平差中称之为联系数向量。显然，只要令对V的一阶导数等于零就可以求出 VTPV 的极值。矩阵求导的两个公式：(1)设C为常数阵，X为列阵，则 dXdYZdXdZYdXZYdTTT)(CdXCXd)(2)设Y、Z 均为列阵，则：一、改正数方程令其等于零，注意到(PV)T=V T P，从而有：V T P=K T A 转置后左乘 P 1 得：V=P 1 ATK (1)该公式表达了改正数 V 与联系数 K 的关系。AKPVPVdVdTTT2)(函数 =VTPV 2 KT(AV+W)对 V 求导：二、法方程式将（1）式代入条件方程
9、 AV+W=0 中得：AP 1 AT K+W=0 （2）这就是条件平差的法方程式。式中，P为观测值的权矩阵，设第 i 个观测值的权为 pi,则npppP.21显然 P 是一个对角阵，其逆存在，且：npppP1.1.1211三、法方程的解 令 N=AP 1 AT （3）则法方程式的形式为 N K+W=0 其中N 称为法方程式系数矩阵，是一个满秩二次型方阵，其逆存在。从而可解出联系数向量：K=N 1 W （4）四、精度评定公式四、精度评定公式 在条件平差中，精度评定包括计算单位权方差和平差值函数的中误差。rPVVrpvvT2其中，其中，r 为条件方程的个数，为条件方程的个数，pvv=VTPV 可可
10、以根据改正数向量以根据改正数向量 V 直接计算直接计算1.1.单位权方差：单位权方差：2.2.平差值的权倒数平差值的权倒数 我们知道，未知量我们知道，未知量 x 的中误差的平方的中误差的平方 mx2 与单位权中误差的平方与单位权中误差的平方 2 成正比，成正比，与该量的权与该量的权 Px 成反比，即：成反比，即：xxpm22 条件平差中，平差值权倒数的计算公条件平差中，平差值权倒数的计算公式为：式为：1111NAPPPTL 因此，对于某个平差值因此，对于某个平差值 ，只要能够，只要能够确定它的权确定它的权 ，根据单位权中误差，根据单位权中误差，就可以计算出该函数的中误差。就可以计算出该函数的中
11、误差。L1LP3.3.平差值函数的权倒数平差值函数的权倒数同样，对于平差值的函数同样，对于平差值的函数，只要能够确，只要能够确定它的权定它的权P，根据单位权中误差，就可以计，根据单位权中误差，就可以计算出该函数的中误差算出该函数的中误差m。pm22设有平差值函数为设有平差值函数为),(21nLLLf TnLLLf21 iiLfP-1=f T P-1 f-(AP-1f)TN-1AP-1f其中：其中：P为观测值的权矩阵；为观测值的权矩阵；A为条件方程系为条件方程系数矩阵；数矩阵；N为法方程系数矩阵；为法方程系数矩阵；f 为列矩阵：为列矩阵：可见，列出平差函数式后，只要求出可见，列出平差函数式后，只
12、要求出f 列阵列阵的各元素的各元素 即可由上式计算函数的权倒数。即可由上式计算函数的权倒数。则平差值函数的权倒数公式为则平差值函数的权倒数公式为五、五、条件平差的一般过程条件平差的一般过程（1）列出条件方程）列出条件方程VLLAV+W=0 （2）组成法方程系数矩）组成法方程系数矩阵阵 N=AP 1 AT（3）解法方程得到联系数）解法方程得到联系数 K=N 1 W（4）计算改正数）计算改正数 V=P 1 ATK（5）计算平差值）计算平差值 （6）精度评定（计算单位权方差、观测值中误）精度评定（计算单位权方差、观测值中误差、平差值函数的中误差等）差、平差值函数的中误差等）【例3-1】某一级小三角网
13、如图，知A点坐标为(500.000，500.000)，AB边坐标方位角=321236”，长度S=872.562m，三角网角度观测值如下表，计算各点坐标。第三节 独立三角网条件平差算例 B b1 a2 S c1 c2 D c3 a1 b2 b3 a3A C1.1.列条件方程列条件方程 本题应列出本题应列出5 5个条件方程。其中个条件方程。其中3 3个图形条件，个图形条件，1 1个圆周角条件，个圆周角条件，1 1个极条件。个极条件。【解】：角度观测值 三角形 a b c 闭合差 1 30 52 39.2 1.67 42 16 41.2 1.10 106 50 40.6 180 00 01.0 +1
14、.0 2 33 40 54.8 1.50 20 58 26.4 2.61 125 20 37.2 179 59 58.4-1.6 3 23 45 12.5 2.27 28 26 07.9 1.85 127 48 39.0 179 59 59.4-0.6 sin 0.1146431 0.1146615 359 59 56.8 2.2.闭合差检核闭合差检核 一级小三角网测角中误差应不大于5”3.1732 mw限3.1732 mwO限5.462mws限图形条件闭合差检核：|wi|max=1.6”w限 圆周角条件闭合差检核：wO=-3.2”wO限 极条件闭合差检核：限siiswabw1.33)sins
15、in1(3.3.列立条件方程列立条件方程 条件方程的矩阵形式为：条件方程的矩阵形式为：AV+W=0,本例中：本例中：.85.127.2.61.250.1.10.167.11.1.1.111.111.111AW=(1.0 -1.6 -0.6 -3.2 -33.1)TV=(va1 vb1 vc1 va2 vb2 vc2 va3 vb3 vc3)T4.4.组成法方程组成法方程 法方程的组成与解算可以利用Matlab软件。打开Matlab，进入命令编辑器后，先输入常数矩阵A和W，再进行矩阵运算，得到法方程式，解法方程式得到联系数向量K和改正数向量V。注意：本例中所有观测值都是等精度角度观测注意：本例中
16、所有观测值都是等精度角度观测值，所以法方程中权矩阵为单位阵。值，所以法方程中权矩阵为单位阵。先输入先输入2个常个常数矩阵数矩阵A,W再点击workspace按钮，对这两个矩阵进行修改常数矩阵的输入组成法方程系数矩阵5.解算联系数和改正数Matlab中，函数必须使中，函数必须使用小写字母用小写字母6.6.精度评定精度评定直接在直接在MATLAB中计算中计算PVV：45.353972.59rpvvmm10”说明该三角网角度观测达到精度要求。说明该三角网角度观测达到精度要求。？PVV=V*VPVV =59.3972据此计算测角中误差：据此计算测角中误差：7.7.计算观测量的平差值计算观测量的平差值8.8.平差值闭合差检核平差值闭合差检核 图形条件：00.0206265)114651163.0114651162.01()sinsin1(iisabww1=1180=-0.01”w2=2180=+0.01”w3 =3180=0.00”圆周角条件：wo =c360=0.00”极条件：9.9.推算三角网各边长度推算三角网各边长度从已知边AB起，应用正弦定理依次计算。三角形 角 角度平差值 边 边长（m
