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1、第第5 5章章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析5.1 5.1 李李雅普诺夫稳定性定义雅普诺夫稳定性定义5.25.2 李李雅普诺夫稳定性理论雅普诺夫稳定性理论5.3 5.3 线性系统的线性系统的李李雅普诺夫稳定性雅普诺夫稳定性分析分析5.45.4 非非线性系统的线性系统的李李雅普诺夫稳定性分析雅普诺夫稳定性分析*5.55.5 李李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用雅普诺夫第二法在系统设计中的应用稳定性是稳定性是指系统在平衡状态下指系统在平衡状态下受到扰动后受到扰动后，系统，系统自由运动自由运动的性质的性质。因此，系统的。因此，系统的稳定性是稳定性是相对于系统的相对于系统的平衡状态而平衡状
2、态而言的言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不考虑输入作用。考虑输入作用。1.1.线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统初始条件及外作用无关；初始条件及外作用无关；2.2.非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与系统初始条件及外作用有关；系统初始条件及外作用有关；稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。线性定常系统通常只有线性定常系统通常只有一个平衡点一个平衡点，可
3、将平衡点的稳定性视为，可将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性。其它系统整个系统的稳定性。其它系统平衡点不止一个平衡点不止一个，不同平衡点有，不同平衡点有着不同的稳定性，通常只讨论某一平衡状态的稳定性。着不同的稳定性，通常只讨论某一平衡状态的稳定性。稳定性判别方法稳定性判别方法经典控制理论中：经典控制理论中：线性定常系统的稳定性：线性定常系统的稳定性：代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）；代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）；奈奎斯特判据奈奎斯特判据 ；对数稳定判据等。；对数稳定判据等。非线性定常系统的稳定性：非线性定常系统的稳定性：描述函数法描述函数法：要求系统的线性部分具有良好的滤：要求系统的线
4、性部分具有良好的滤 除谐波的性能；除谐波的性能；相平面法相平面法：仅适合于一阶、二阶非线性系统。：仅适合于一阶、二阶非线性系统。现代控制理论中：现代控制理论中：一般系统一般系统（包括单变量、线性、定常系统，以及（包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、非线性、时变系统）的稳定性：多变量、非线性、时变系统）的稳定性：李雅普李雅普诺夫稳定性理论。诺夫稳定性理论。李雅普诺夫稳定性理论：李雅普诺夫稳定性理论：李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法。两种方法。1.1.间接法：
5、间接法：利用线性系统微分方程的解来判系统的稳利用线性系统微分方程的解来判系统的稳定性，又称定性，又称李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法；2.2.直接法直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，数，然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，又称又称李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般理论一般理论，它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定性时，有效地解决了其它方法所不能解决
6、的问题。该理论比性时，有效地解决了其它方法所不能解决的问题。该理论比经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。5.1 5.1 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义 BIBO稳定性的概念稳定性的概念李雅普诺夫稳定性的物理意义是李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响应是否有界系统响应是否有界。Bounded Input Bounded Output(BIBO)Stable定义：对于一个定义：对于一个初始条件为零初始条件为零的系统，如果在有界的输的系统，如果在有界的输入入u(t)的作用下，所产生的输出的作用下，所产生的输出y(t)也是有界的，则称此系也是有界的，
7、则称此系统是外部稳定的，也即是统是外部稳定的，也即是有界有界输入输入-有界有界输出稳定的。并输出稳定的。并简称为简称为BIBO稳定。稳定。如果输入如果输入 有界，是指有界，是指 uu1K如果输入如果输入 有界，是指有界，是指 yy2K4.6 4.6 有界输入有界输入-有界输出稳定有界输出稳定4.6.1 有界输入有界输入-有界输出稳定有界输出稳定Bounded Input Bounded Output(BIBO)Stable定义：对于初始松弛系统，任何有界输入，其输出也是有界的，称定义：对于初始松弛系统，任何有界输入，其输出也是有界的，称为为BIBO系统。系统。如果输入如果输入 有界，是指有界，
8、是指 uu1K如果输入如果输入 有界，是指有界，是指 yy2Ktttd)()(0uHytKtttttd)()(d)()(001uHuH如果如果tttd)(0H3K于是于是y31KK312KKK 可以取可以取定理定理4-54-5 由方程由方程 描述的线性定常系统。描述的线性定常系统。CxyBuAxx为初始松弛系统。其输出向量的解为为初始松弛系统。其输出向量的解为ttttd)()()(0uHy（11）BIBO稳定的充分必要条件是存在一个常数稳定的充分必要条件是存在一个常数K3，有，有td)(0H3K或者对于或者对于 的每一元素，都有的每一元素，都有)(t Hhijd)(03K其中，其中，a 为一个
9、非负的实数，而系统的脉冲响应函数为为一个非负的实数，而系统的脉冲响应函数为例例4-8 线性定常系统方程为线性定常系统方程为uaxxcxy atcthe)(分析系统是否分析系统是否BIBO稳定。稳定。解解001dd)(00aaacecha可见，只有当可见，只有当 时，才有有限值时，才有有限值 存在，系统才是存在，系统才是BIBO稳定稳定的。的。3K0a4.6.2 BIBO稳定与平衡状态稳定性之间的关系稳定与平衡状态稳定性之间的关系对于线性定常系统对于线性定常系统CxyBuAxx（12）平衡状态平衡状态 的渐近稳定性由的渐近稳定性由A 的特征值决定。而的特征值决定。而BIBO的稳定性的稳定性是由传
10、递函数的极点决定的。是由传递函数的极点决定的。0ex0ex0ex)(sG 的所有极点都是的所有极点都是A 的特征值，但的特征值，但 A 的特征值并不一定都是的特征值并不一定都是 的极点。可能存在零极点对消。所以，的极点。可能存在零极点对消。所以，处的渐近稳定就包含处的渐近稳定就包含了了BIBO稳定，而稳定，而BIBO稳定却可能不是稳定却可能不是 处的渐近稳定。处的渐近稳定。)(sG那么在什么条件下，那么在什么条件下，BIBO稳定才有平衡状态稳定才有平衡状态 渐近稳定呢？渐近稳定呢？结论是：如果（结论是：如果（12）式所描述的线性定常系统是）式所描述的线性定常系统是BIBO稳定，且系稳定，且系统
11、是既能控又能观测的，则系统在统是既能控又能观测的，则系统在 处是渐近稳定的。处是渐近稳定的。0ex0ex1.平衡状态的定义平衡状态的定义 设系统状态方程为：设系统状态方程为：若对所有若对所有t，状态，状态 x 满足满足 ，则称该状态，则称该状态x为平衡状为平衡状态，记为态，记为xe。故有下式成立：。故有下式成立：由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。,nxf x txR0 x 0,efx t 2.2.平衡状态的求法平衡状态的求法 由定义，平衡状态将包含在由定义，平衡状态将包含在 这样一个代数方这样一个代数方程组中。程组中。对于对于线性定常系
12、统线性定常系统 ，其平衡状态为，其平衡状态为 xe e 应满足应满足代数方程代数方程 。0,f x t xAx0Ax 只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。5.1.1 5.1.1 平衡状态平衡状态李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态平衡状态而言而言。对于对于非线性系统非线性系统，方程，方程 的解可能有多个，的解可能有多个，视系统方程而定。视系统方程而定。0,f x t 如：如：3221211xxxxxx0032211xxxx0)1(02221xxx0)1)(1(02221xxxx该系统存在三个平衡状态：该系统存在三个平衡
13、状态：10,10,00321eeexxx范数的定义：范数的定义：n 维状态空间中，向量维状态空间中，向量 x 的长度称为向的长度称为向量量 x 的范数，用的范数，用 表示，则：表示，则：5.5.2 5.5.2 范数的概念范数的概念x1222212Tnxxxxx x向量的距离向量的距离:长度长度 称为向量称为向量x与与xe e的距离，写的距离，写为为：exx2211eenenxxxxxx若能使系统从任意初态若能使系统从任意初态x0出发的解出发的解 在在t t0的过的过程中，都位于以程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径为球心、任意规定的半径的闭球域的闭球域S()内，即：内，即：定义定义：对于系
14、统对于系统 ，设系统初始状态位于以平，设系统初始状态位于以平 衡状态衡状态 xe 为球心、为球心、为半径的闭球域为半径的闭球域 S()内，即内，即,xfx t000,exxttt 00,x t xt000,()ex t x txtt5.1.3 5.1.3 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义1 1李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态 xe 在在李雅普诺夫意义下李雅普诺夫意义下是是稳定稳定的。的。几何意义几何意义 按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，
15、但只要不超的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出出S()，则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系，则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系统的稳定性定义有差异。统的稳定性定义有差异。LyapunovLyapunov意意义下稳定义下稳定 2渐进稳定性（经典理论稳定性）渐进稳定性（经典理论稳定性）00lim;,etx t x tx定义：定义：如果系统的平衡状态如果系统的平衡状态xe不仅有李雅普诺夫意义下的不仅有李雅普诺夫意义下的稳定性，且对于任意小量稳定性，且对于任意小量0，总有，总有这时，从这时，从S()出发的轨迹不仅不会超出出发的轨迹不仅不会超出S()，且当，且当t时收
16、敛于时收敛于xe，可见，可见经典控制理论中的稳定性经典控制理论中的稳定性定义与定义与渐进渐进稳定性稳定性对应。对应。则称平衡状态则称平衡状态xe是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。当当t0与与 t、无关时，则称无关时，则称xe=0为一致渐进稳定。为一致渐进稳定。几几何何意意义：义：渐进稳定渐进稳定 定义：定义：当初始状态扩展到整个状态空间，当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡状态且平衡状态xe均具有渐进稳定性均具有渐进稳定性，称这种平衡状态，称这种平衡状态xe是大范围渐进稳定是大范围渐进稳定的。此时，的。此时，S()。当。当t时，由状态空间中任时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于意一点出发的轨迹都收敛于xe。3.大范围渐进稳定性大范围渐进稳定性 对于严格的线性系统，如果它是渐进稳定的，必定对于严格的线性系统，如果它是渐进稳定的，必定是大范围渐进稳定的是大范围渐进稳定的。这是因为线性系统的稳定性与初这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其稳定性始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐进稳
