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1、第第6章章 测量误差及数据处理的基本知识测量误差及数据处理的基本知识n6.1 概述概述n 6.2 测量误差的种类测量误差的种类n 6.3 偶然误差的特性及其概率密度函数偶然误差的特性及其概率密度函数n 6.4 衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标n 6.5 误差传播定律误差传播定律n 6.6 同精度直接观测平差同精度直接观测平差n 6.7 不同精度直接观测平差不同精度直接观测平差n 6.8 最小二乘法原理及其应用最小二乘法原理及其应用6.1 测量误差概述测量误差概述测量误差及其来源测量误差及其来源测量误差（真误差测量误差（真误差=观测值-真值）测量误差的表现形式测量误差的表现形式Xl ji
2、ijllXl（观测值与真值之差）（观测值与观测值之差）测量误差的来源测量误差的来源（1）仪器误差：仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）人为误差：人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界条件的影响：外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等温度变化、风、大气折光等6.2 测量误差的种类测量误差的种类n测量误差分为：测量误差分为：粗差粗差、系统误差系统误差和和偶然误差偶然误差n1.粗差粗差(错误错误)超限的误差超限的误差n2.系统误差系统误差 误差出现的大小、符号相同，或按误差出现的大小、符号相同，或按n 规律性变化，
3、具有规律性变化，具有积累性积累性。n例：例：误差误差 处理方法处理方法n 钢尺尺长误差钢尺尺长误差 ld 计算改正计算改正n 钢尺温度误差钢尺温度误差 lt 计算改正计算改正 n 水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差I 操作时抵消操作时抵消(前后视等距前后视等距)n 经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差C 操作时抵消操作时抵消(盘左盘右取平均盘左盘右取平均)n n系统误差可以消除或减弱系统误差可以消除或减弱。n (计算改正、观测方法、仪器检校计算改正、观测方法、仪器检校)n3.偶然误差偶然误差误差出现的大小、符号各不相同，误差出现的大小、符号各不相同，n 表面看无规律性。表面看无规律性。n 例：估读数
4、、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，n 导致观测值产生误差导致观测值产生误差 。n4.几个概念几个概念:准确度 (测量成果与真值的差异）精（密）度（观测值之间的离散程度）最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）测量平差（求解最或是值并评定精度）6.3 偶然误差的特性偶然误差的特性n举例举例:n 在某测区，等精度观测了在某测区，等精度观测了358个三角形的内个三角形的内n 角之和，得到角之和，得到358个三角形闭合差个三角形闭合差 i(偶然误偶然误n 差，也即真误差差，也即真误差)，然后对三角形闭合差，然后对三角形闭合差 i n 进行分析。进行分析。n 分
5、析结果表明，分析结果表明，当观测次数很多时，偶然当观测次数很多时，偶然n 误差的出现，呈现出统计学上的规律性误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而而n 且，观测次数越多，规律性越明显。且，观测次数越多，规律性越明显。用用频率直方图频率直方图表示的偶然误差统计：表示的偶然误差统计：n频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区n 间的频率间的频率k/n，而所有条形的，而所有条形的总面积等于总面积等于1。n频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，n 对称于对称于y轴。轴。各条形顶边中点连线经光各条形
6、顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律偶然误差的普遍规律 偶然误差的特性偶然误差的特性n从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个四个特性特性：n(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定n 的限值的限值(有界性有界性)；n(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋势性趋势性)；n(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性对称性)；n(
7、4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零(抵偿性抵偿性)：0limlim21nnnnn特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性特性(4)具有实用意义。具有实用意义。偶然误差具有正态分布的特性偶然误差具有正态分布的特性n当观测次数当观测次数n无限增多无限增多(n)、误差区间误差区间d 无限缩小无限缩小n(d 0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，n这条曲线称为这条曲线称为n“正态分布曲正态分布曲n线线”，又称为，又称为n“高斯误差分高斯误差分n布曲线布曲线”。n所以偶然误差所以偶然误
8、差n具有具有正态分布正态分布n的特性。的特性。正态分布曲线 -21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 -24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24x=y6.4 衡量精度的指标衡量精度的指标1.方差与标准差方差与标准差由正态分布密度函数Y标准差的数学意义标准差的数学意义22221)(efynnnnnlimlim22222122上式中，称为方差方差：称为标准差标准差：nnnnlimlim2测量工作中，用中误差中误差作为衡量观测值精度的标准。中误差中误差:观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形nnlim观测次数
9、观测次数n有限有限时，用时，用中误差中误差m表示偶然误差的离散情形表示偶然误差的离散情形上式中，偶然误差为观测值与真值X之差：nnmn22221i=i-Xnm1=2.7是第一组观测值的中误差；n m2=3.6是第二组观测值的中误差。nm1小于小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较说明第一组观测值的误差分布比较集中集中，n 其其精度较高精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比；相对地，第二组观测值的误差分布比n 较较离散离散，其，其精度较低：精度较低：2.容许误差容许误差(极限误差)n根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概n率为：demdfPm22221)()(误差出现在K倍中误
10、差区间内的概率为：kmkmmdemkmP22221)(将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(|m)=0.683=68.3 P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|n3.相对误差相对误差(相对中误差)n 误差绝对值与观测量之比。n用于表示距离距离的精度。n用分子为1的分数表示。n分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。n例例2：用钢尺丈量两段距离分别得用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米米,m1=0.02m；
11、n S2=200米米,m2=0.02m。计算。计算S1、S2的相对误差。的相对误差。0.02 1 0.02 1 K1=；K2=100 5000 200 10000解：解：K2K1，所以距离，所以距离S2精度较高。精度较高。6.5 误差传播定律误差传播定律本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下，如何求观测值函数中误差的问题。阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。一一.观测值的函数观测值的函数例：例：高差cossinsin)(121DxbadMDsssnSbahn平均平均距离实地距离三角边和或差函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数设有函数),(21nxx
12、xFZ为独立独立观测值 (a)ix对(a)全微分nndxxFdxxFdxxFdZ2211(b)用偶然误差 、代替微量元素 、得：ixidxdznnxxFxxFxxFZ2211(c)转换成中误差关系式即误差传播定律误差传播定律：2222222121nnZmxFmxFmxFm(6-5)二二.一般函数的中误差公式一般函数的中误差公式误差传播定律误差传播定律n通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结求观测值函通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结求观测值函数中误差的步骤数中误差的步骤：n1.列出函数式；列出函数式；n 2.对函数式求全微分；对函数式求全微分；n 3.套用误差传播定律，写出中误差式。套
13、用误差传播定律，写出中误差式。n 1.倍数函数的中误差 设有函数式 (x为观测值，K为x的系数)全微分 得中误差式xxZKmmKmKdxdZKxZ22例：例：量得地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：m2.0m5.168m2.0mm2002.01000100010001000SmmddlSlSlS解：解：列函数式 求全微分 中误差式三三.几种常用函数的中误差几种常用函数的中误差 设有函数式 全微分 中误差式nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz22112222222121nnZmkmkmkm例例：设有某线性函数设有某线性函数 其中其中
14、 、分别为独立观测值，它们的中误差分分别为独立观测值，它们的中误差分 别为别为 求Z的中误差 。314121491144xxxZ321xxxmm6,mm2,mm3321mmmZm314121491144dxdxdxdzmm6.1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：解：对上式全微分：由中误差式得：2.线性函数的中误差线性函数的中误差 函数式 全微分 中误差式 nnnnnllllx12111lnnlnlnddddx1211121221211222nnnnxmmmm3.算术平均值的中误差式算术平均值的中误差式由于等精度观测时，代入上式：得mmmmn21nmmnn
15、mX221n 由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了缩小了 倍。对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。4.和或差函数的中误差和或差函数的中误差当等精度观测时：上式可写成：mmmmmn321nmmZ例例：测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量 每站高差的中误差 ，求总高差 的中误差 。解：解：ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh 函数式：全微分：中误差式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差一般函数倍数函数 和差函数 线性函数
16、 算术平均值 ),(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmmX例例1：要求三角形最大闭合差m15，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？123=(1+2+3)-180解：解：由题意：2m=15,则 m=7.5每个角的测角中误差：3.435.7m测回即43.45.8,5.83.4,22nnnmmx由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：5.826m 用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 m m1515 。四四.误差传播定律的应用误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(1)测量水平距离的精度 基本公式：2cosKlD 求全微分：dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2其中：)206265(水平距离中误差：22222)2sin()cos(mKlmKmlD例例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。：
