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1、 第第 7 章章 傅立叶变换与滤波器形状傅立叶变换与滤波器形状CH7 FOURIER TRANSFORMS AND FILTER SHAPE7.1 傅立叶变换基础傅立叶变换基础(FOURIER TRANSFORM BASICS)7.2 频率响应及其他形式频率响应及其他形式(FREQUENCY RESPONSES AND OTHER FORMS)7.3 频率响应和滤波器形状频率响应和滤波器形状(FREQUENCY RESPONSE AND FILTER SHAPE)返回专业词汇傅立叶变换：Fourier Transform 滤波器形状：filter shape频率响应:frequency res
2、ponse 频率特性：frequency characteristics离散时间傅立叶变换：Discrete Time Fourier Transform幅度响应：magnitude response 相位响应：phase response传输函数：transfer function 相位差：phase difference采样频率：sampling frequency 7.1 傅立叶变换基础傅立叶变换基础7.1 FOURIER TRANSFORM BASICS 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换(DTFT)将信号或滤波器由时域将信号或滤波器由时域 频域频域 研究其频率特性研究其频率特性 f
3、requency characteristics magnitude response phase response对于滤波器对于滤波器DTFT得到的信得到的信息称为滤波器的频率响应息称为滤波器的频率响应 frequency response 幅度响应幅度响应相位响应相位响应信号信号xn的离散的离散(discrete)时间时间(time)傅立叶变换傅立叶变换(Fourier transform)定义为定义为 Fxn=x()=xn e-jn =xn(cos(n)jsin(n):数字频率数字频率，=2 f/fs 弧度弧度 不同，变换不同，变换x()不同，当不同，当 xn 以接近频率以接近频率 变变
4、化时，化时，x()较大，离散时间傅立叶变换较大，离散时间傅立叶变换 x()反应了反应了信号的频率。信号的频率。N=-N=-FIGURE 7-1 Signal resonance for the discrete time Fourier transform.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education,Inc.Upper Saddle River,New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 7-1 Signal
5、 resonance for the discrete time Fourier transform.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education,Inc.Upper Saddle River,New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 7-1 Signal resonance for the discrete time Fourier transform.Joyce Van de VegteFundament
6、als of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education,Inc.Upper Saddle River,New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 7-1 Signal resonance for the discrete time Fourier transform.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education,Inc.Upper
7、Saddle River,New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 7-1 Signal resonance for the discrete time Fourier transform.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education,Inc.Upper Saddle River,New Jersey 07458All rights reserved.例例 7.1 求图求图 7.2 所示信号的离散时间傅立叶变
8、换。所示信号的离散时间傅立叶变换。图图 7.2解：解：只有只有 4 个非零采样值个非零采样值(n=0，1，2，4)对变换有贡献，对变换有贡献，因而：因而：X()=xn e-jn=2-e-j+3 e-j2+e-j4 一般情况下，一般情况下，DTFT 是复值。是复值。N=-例例 7.2 求信号求信号 xn=4(un un-3)的的 DTFT。解：解：在在 n0 和和 n 时，信号值都是零，所以：时，信号值都是零，所以：X()=xn e-jn=4+4e-j+4 e-j2 N=-离散时间傅立叶变换的两个重要特性离散时间傅立叶变换的两个重要特性周期性周期性(periodicity)延时性延时性(time
9、 delay)延时性：假设延时性：假设 xn 的的DTFT 存在，为存在，为X()，则，则 xn n0 的的 DTFT 为为 xn n0 e-jn。N=-令令 m=n n0,n=m+n0 xm e-j(m+n0)=e-jn0 xm e-jm=e-jn0 X()N=-N=-时域中延迟时域中延迟 n0 在频率中引入一个复指数在频率中引入一个复指数e-jn0 周期性：周期性：X(+2)=xn e-jn(+2)=xn e-jn e-jn2 N=-N=-欧拉公式：欧拉公式：e-jn2n=cos(2n)jsin(2n)=1 X(+2)=xn e-jn=X()DTFT 是周期的，周期为是周期的，周期为2，也
10、就是，也就是 DTFT对于对于所有的所有的，每，每2 重复一次。重复一次。N=-返回返回7.2 频率响应及其他形式频率响应及其他形式7.2 FREQUENCY RESPONSES AND OTHER FORMS7.2.1 频率响应和差分方程频率响应和差分方程a0yn+a1yn 1+a2yn 2+aNyn N=b0 xn+b1xn 1+bMxn M每一项进行每一项进行DTFTa0Y()+a1e-jY()+a2e-j2Y()+aNe-jNY()=b0X()+b1e-jX()+bMe-jMX()H()=Y()X()b0+b1e-j+bMe-jMa0+a1e-j+aNe-jN例例 7.4 求出与如下差
11、分方程相对应的频率响应：求出与如下差分方程相对应的频率响应：yn+0.1yn 1+0.85yn 2=xn 0.3xn 1 解：解：容易确定系数容易确定系数(coefficients)为为 a0=1，a1=0.1，a2=0.85，b0=1，b1=-0.3。滤波器的频率响应为：滤波器的频率响应为：H()=Y()X()b0+b1e-j+bMe-jMa0+a1e-j+aNe-jN=1 0.3e-j1+0.1e-j+0.85e-j27.2.2 频率响应和传输函数频率响应和传输函数 对照式对照式 6.2 传输函数，频率响应是把传输传输函数，频率响应是把传输函数中所有函数中所有 z-1 换为换为 e-j。例
12、例 7.5 求滤波器求滤波器 的频率响应，它的传输函数的频率响应，它的传输函数(transfer function)是：是：H(z)=1 0.2z-21+0.5z-1+0.9z-2解：解：频率响应为：频率响应为：H()=1 0.2e-j21+0.5e-j+0.9e-j27.2.3 频率响应和脉冲响应频率响应和脉冲响应(impulse response)图图 7.3 描述滤波器方法描述滤波器方法滤波器的传输函数滤波器的传输函数 H(z)是脉冲响应是脉冲响应 hn 的的z变换变换 xn n X()=n e-jn=1 yn hn Y()=hn e-jn H()=Y()频率响应频率响应 H()与脉冲响
13、应与脉冲响应 hn 的的 DTFT 一样。一样。N=-N=-Y()X()例例 7.6 数字滤波器的脉冲响应为：数字滤波器的脉冲响应为：hn=5 n n 1+0.2n 2 0.4n 3 求滤波器的频率响应的表达式。求滤波器的频率响应的表达式。解：解：频率响应是脉冲响应频率响应是脉冲响应 DTFT，见式，见式(7.3)，因而得：，因而得：H()=hn e-jn=5 e-j+0.2e-j2 0.04 e-j3 N=-返回返回7.3 频率响应和滤波器的形状频率响应和滤波器的形状7.3 FREQUENCY RESPONSE AND FILTER SHAPE7.3.1 滤波器对正弦输入的作用。滤波器对正弦
14、输入的作用。Filter Effects on Sine Wave Inputs Y()=H()X()yn=F-1Y()对于对于 DTFT 方法一般仅求取正弦输入时的输出。方法一般仅求取正弦输入时的输出。频率响应频率响应 H()是复数，可用极坐标是复数，可用极坐标(polar form)H()=|H()|e-j()表示表示 （附录（附录A）|H()|是数字滤波器在数字频率是数字滤波器在数字频率 处的增益处的增益(gain)。（无单位，或（无单位，或 dB 20log|H()|)()是数字滤波器在数字频率是数字滤波器在数字频率 处的相位差处的相位差(phase difference)。（弧度。（
15、弧度 或或 度）度）在每给定一个频率，增益和相位差可用来预测滤波器的响应。在每给定一个频率，增益和相位差可用来预测滤波器的响应。增益是对输入的放大量增益是对输入的放大量(amplification)相位差决定了输入的相位变化。相位差决定了输入的相位变化。Y()=|Y()|e-jy()=|X()|e-jx()|H()|e-j()=|X()|H()|e-j(x()+()幅值计算不能用分贝，都要转成线形计算。幅值计算不能用分贝，都要转成线形计算。对于任一给定频率对于任一给定频率 ，输出的幅度是滤波器的增益和，输出的幅度是滤波器的增益和输入幅度的积，输出的相位是滤波器的相位差和输入输入幅度的积，输出的
16、相位是滤波器的相位差和输入相位的和。相位的和。例：数字频率为例：数字频率为1.5弧度的余弦波通过滤波器，弧度的余弦波通过滤波器，在此频率下，滤波器增益为在此频率下，滤波器增益为-21dB，相位差为，相位差为86，如果输入幅度为，如果输入幅度为20，相位为，相位为12，则输出，则输出幅度和相位是多少？幅度和相位是多少？解：输入简式为解：输入简式为 ，这是余弦信号，这是余弦信号 的缩写，在的缩写，在1.5弧度处，弧度处，滤波器增益为滤波器增益为-21 dB，但这个值不能用于计算，但这个值不能用于计算，必须用必须用 转换为线性值。因为相位转换为线性值。因为相位差为差为86，频率响应的简式为，频率响应的简式为 。输出。输出是频率响应和输入信号在傅里叶变换域的乘积：是频率响应和输入信号在傅里叶变换域的乘积：20 1220 cos(1.512)n 21/20100.08910.0891 86()()()20120.0891861.78298 1.782cos(1.598)YHXynn 7.3.2 幅度响应和相位响应幅度响应和相位响应 数字频率数字频率 处的频率响应处的频率响应 H()用极坐标形式用
