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1、第第8 8章章 梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题1.弯曲变形的描述弯曲变形的描述Fxwx挠曲线（轴）挠曲线（轴）w(x)(x)(x)弯曲使梁的任意弯曲使梁的任意 x 截面产生弯曲位移：截面产生弯曲位移：（1）截面形心的铅垂位移）截面形心的铅垂位移(向上为正向上为正)（2）截面绕中性轴转过的角度）截面绕中性轴转过的角度(为正为正)Fxwx挠曲线（轴）挠曲线（轴）w(x)(x)(x)挠度方程挠度方程 w=w(x)(13.9)转角方程转角方程 =(x)(13.10)由平面假设，小变形时得：由平面假设，小变形时得：dxdwtan(13.11)挠度转角关系挠度转角关系2.挠曲线近似微分方程挠
2、曲线近似微分方程由变形几何关系：由变形几何关系：EIxMx)()(1平面曲线平面曲线w=w(x)的曲率为的曲率为232)(1)()(1)(xwxwxx 小变形简化：小变形简化：01dxdw)()(1xwx EIxMxw)()(符号的选择：符号的选择：与与w轴及轴及M的符号规定有关的符号规定有关 取取+号号挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程EIxMdxwd)(22(13.12)（若梁的（若梁的M(x)分段表示，上式也应分段表示）分段表示，上式也应分段表示）0)(xwM0计算梁的位移的积分法计算梁的位移的积分法挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程EIxMdxwd)(22(13.12)对上式积分一
3、次，得转角方程：对上式积分一次，得转角方程：CdxEIMdxdwxl)(13.13)再积分一次，得挠度方程：再积分一次，得挠度方程：DCxdxdxEIMdxxxwlll)()(13.14)其中，其中，C，D为积分常数为积分常数对分段的对分段的M(x),每段有每段有2个常数，个常数，若分若分n段，有段，有2n个常数。个常数。积分常数的确定：积分常数的确定：对静定梁对静定梁支座处有支座处有2个位移约束条件个位移约束条件若梁的若梁的M(x)方程分为方程分为n段表示段表示共有共有n-1个分段点个分段点 共有共有2n个积分常数个积分常数确定确定2n个积分常数的条件（定解条件）：个积分常数的条件（定解条件
4、）：支座处的约束条件（支座处的约束条件（2个）个）分段点处的挠度、转角连续条件（分段点处的挠度、转角连续条件（2(n-1)个个）共共 2n个个条件条件常见的支座约束条件：常见的支座约束条件：0,0,0wlxwx0,0,0dxdwwx（2）固支端（）固支端（）0,0w（1）铰支座（）铰支座（）0wxwl例如：例如：xwl例如：例如：（3）弹簧铰支座（弹簧系数）弹簧铰支座（弹簧系数k）例如：例如：2/FwkFBTxwFllBAFTkFwlxwx2,20,0常见的分段点连续条件：常见的分段点连续条件：（1）连续的挠曲轴上的分段点）连续的挠曲轴上的分段点连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。连续
5、挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。第第i个分段点处：个分段点处：挠度连续挠度连续iixxixxiww1xiixwi(x)wi+1(x)Mi(x)Mi+1(x)转角连续转角连续iixxixxi1(2)中间铰处中间铰处仅挠度连续，转角不连续仅挠度连续，转角不连续B点挠度连续点挠度连续lxlxww21BACw1(x)w2(x)ll例例 题题 13-5 例题例题指出以下各梁共几个积分常数并写出全部定解条件。指出以下各梁共几个积分常数并写出全部定解条件。aaaxwFq(1)解：解：此梁应分为此梁应分为3段积分，段积分，共共6个常数。个常数。定解条件：定解条件：dxdwdxdwwwaxdxdwdxd
6、wwwaxwx323221211,0,2,0,0例例 题题 13-5 例题例题解：解：此梁应分为此梁应分为2段积分，共段积分，共4个常数。个常数。定解条件：定解条件：xwlaq(2)弹簧系数为弹簧系数为kqkqlwlaxwwaxwx2,0,0,022111例例 题题 13-6 例题例题求图示梁的求图示梁的 和和 maxmaxf解：解：ACAC段：段：111FxlbxM)0(1ax BFAFFlbFAFlaFBCBCB段：段：)(2lxa)()(2222axFxlFbxM1x2xlFabwxABCEI1.列内力方程列内力方程应分为应分为2段列内力方程：段列内力方程：例例 题题 13-6 例题例题
7、BFAF1x2xlFabwxABCEI2.2.分段积分分段积分:ACAC：121121CFxlbwEI11131161DxCFxlbEIw222323226161DxCaxFFxlbEIw2222222121CaxFFxlbwEICBCB：AC:AC:111FxlbxMCBCB：)()(2222axFxlFbxM例例 题题 13-6 例题例题3.定解条件：定解条件：01x01wlx 202waxx212121,wwww01D02D22216bllFbCC解得常数为：解得常数为：2122116xbllFbxEIw2122136xbllFbwEI)0(1ax BFAF1x2xlFabwxABCEI
8、3222221266axFxbllFbxEIw2222222236axFxbllFbwEI)(2lxa例例 题题 13-6 例题例题BFAF1x2xlFabwxABCEI2122116xbllFbxEIw2122136xbllFbwEI3222221266axFxbllFbxEIw2222222236axFxbllFbwEI01x lEIblFabwA601 Blx 2 lEIalFablwB62设设abBmax4.求最大转角：求最大转角：例例 题题 13-6 例题例题BFAF1x2xlFabwxABCEI2122116xbllFbxEIw2122136xbllFbwEI3222221266a
9、xFxbllFbxEIw2222222236axFxbllFbwEI B5.求最大挠度：求最大挠度：fmax设设ab，应在，应在AC段出现，令段出现，令011dxdwlEIblFbxwf39232201max3220blx得：得：EIblFblwf48432221中maxff中%65.2 f f中中与与 f fmaxmax相差相差由于内力由于内力 是载荷是载荷 的线性函数。的线性函数。MFTFSN,mqF,称为称为位移计算中的叠加原理位移计算中的叠加原理1.1.叠加原理（对线弹性材料，小变形）叠加原理（对线弹性材料，小变形）因此因此mqFMMMMSmSqSFSFFFFNmNqNFNFFFFmq
10、FTTTT同理，结构中的位移同理，结构中的位移（如（如 ）也是载荷也是载荷的线性函数，故也有的线性函数，故也有,wumqFwwwwmqF2.弯曲位移计算的载荷叠加法弯曲位移计算的载荷叠加法 利用基本变形表利用基本变形表13.2求图示梁的求图示梁的?cf cpcqcfffEI2l2lqPABCcfETqlfcq38454EIPlfcP483qcqfPcPf例例 题题 13-7 例题例题 EIPlqlfffcpcqc3848534求求?cf EIlqxlEIxqdxflc2404348020222l2l0qEIACBxqdxP 例例 题题 13-8 例题例题xqdx)43(4822xlEIPxfC
11、Pxlqxlqxq0022/)(求求?Cf02Cf EIlqffCC3842541CAB2l2lqEI2q1Cf2Cf2q2q例例 题题 13-9 例题例题求求?Cf解：解：aEIqlafBCq2313.求结构位移的变形叠加法求结构位移的变形叠加法分段刚化法分段刚化法cqf例例 题题 13-9 例题例题laFqEIABClaqABCFla先用载荷叠加法：先用载荷叠加法：（1）（2）对情况（对情况（1）：）：梁的梁的BC段无变形。段无变形。对情况（对情况（2）：）：应用分段刚化法。应用分段刚化法。B1 EIFafCF331(a)AB段刚化段刚化,BC段变形段变形例例 题题 13-9 例题例题A
12、AB B1CFf(b)BC段刚化，段刚化，AB段变形段变形FlaABCFC EIlFaaEIFalafBC33222FlaA BCFa B22CFf EIlFaEIFaEIaqlffffCFCFCqC33223321例例 题题 13-10 例题例题ABCDlllEIEAwxF求图示结构求图示结构C点的挠度。点的挠度。解：解：1.BD刚化，刚化，AB变形变形ABCllEIwxFB点相当于简支座：点相当于简支座：wC1EIFlEIlFwC648)2(3312.AB刚化，刚化，BD变形变形例例 题题 13-10 例题例题ABCDlllEIEAwxFwB2EIFlEIlFwC648)2(3312.AB
13、刚化，刚化，BD变形变形wC2BD杆轴向拉伸：杆轴向拉伸：EAFlEAlFEAlFlwwNBDBDBC42222222EAFlEIFlwwwCCC46321（负号表示（负号表示 ）已知梁的直径已知梁的直径d 及及 GEa,求求?Cf?C解解：（：（1 1）AB刚化刚化BC变形变形FBC1Cf1C例例 题题 13-11 例题例题aaFABC EIFafC331EIFaC221（）xyz(C截面绕截面绕 x 轴转过的角度）轴转过的角度）EIFafC332（2 2）BCBC刚化刚化ABAB变形变形例例 题题 13-11 例题例题aaFABCFFaM BCAF2Cf02Cxyz464dI432dIP对
14、圆截面杆：对圆截面杆：F 使使AB段弯曲段弯曲02CM 使使AB段扭转段扭转C截面绕截面绕y轴转过的角度：轴转过的角度：EIFaBFC22BF GEdFaffffCCCC1343243321 PCCGIFaaf333PPBACGIFaGIMa23例例 题题 13-11 例题例题aaFABCFFaM xyzBA3C3CfFaM GEdFaGIFaEIFaPCCC11322422231（）例例 题题 13-12 例题例题hbl一弯曲钢梁，截面为矩形，两端各加力一弯曲钢梁，截面为矩形，两端各加力F，使其平直，使其平直地与刚性平面地与刚性平面MN接触，已知梁的接触，已知梁的E，l，b，h，及，及 ，求
15、：求：（1）F力多大可将梁压平？力多大可将梁压平？（2）压平时梁中的最大正应力。）压平时梁中的最大正应力。FF 例例 题题 13-12 例题例题hbl解：解：曲梁压平产生弯曲变形，梁中产生弯曲应力。曲梁压平产生弯曲变形，梁中产生弯曲应力。压平后与刚平面接触压平后与刚平面接触地面对梁有均布支持力地面对梁有均布支持力q。qFF由平衡条件得：由平衡条件得：lFqFql2,2FF 例例 题题 13-12 例题例题hblqFFlFqFql2,2FF 均布载荷简支梁均布载荷简支梁的弯曲挠曲线为：的弯曲挠曲线为：)2(24323xlxlEIqxw 若曲梁变形前的弯曲若曲梁变形前的弯曲形状恰好为此形状，则形状
16、恰好为此形状，则F力刚好可使该曲梁压平。力刚好可使该曲梁压平。压平时，压平时，EIqlllllEIqlw3845)842(4824323中例例 题题 13-12 例题例题hblqFFlFqFql2,2FF EIql3845433334516125192253842lbhEbhlEllEIqlF82maxqlM22222maxmax52443268lhEbhllFbhqlWMz4.4.画出挠曲线的大致形状画出挠曲线的大致形状(1)(1)满足支座约束条件满足支座约束条件 0M 0M(2)(2)挠曲线的凹凸性挠曲线的凹凸性0M(3)(3)处为挠曲线的拐点处为挠曲线的拐点挠曲线的大致形状可根据支座及弯矩图判断。挠曲线的大致形状可根据支座及弯矩图判断。例如：例如：laACBq拐点281qaqalql21212（M）A=0B=0提高弯曲强度和刚度的措施提高弯曲强度和刚度的措施maxmaxWM（1 1）合理安排梁的受力）合理安排梁的受力1.提高梁的强度的措施提高梁的强度的措施分散载荷分散载荷4Pl)(M2l2lP2/P3/l3/l3/l2/PPl61)(M支座位置支座位置)(M8/812PlqllP
