第8讲复振幅分布的角谱理论及菲涅耳衍射名师编辑PPT课件.ppt

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1、 第二章第二章 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 2.2 2.2 复振幅分布的角谱及角谱的传播复振幅分布的角谱及角谱的传播 2.3 2.3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论n 复振幅分布的角谱复振幅分布的角谱,exp2xyxyU x y zA ffzU x y zjxfyfdxxdyy 对复振幅在平面上作傅立叶变换,得,x,(angular spectrum)yyA ffzUy z则称为复振幅分布的角谱。不同传播方则可以看作的平向面波的叠加。,exp2xyxyxyU x y zA ffzjxfyfdf df 相应地,coscos,coscoscoscos,e2,xpxyffAzU x

2、y zjxydxdy由于则上式还可以写为显然,空间频谱与平面波传播方向的角度有关系,故称之为角谱。n 平面波角谱的传播平面波角谱的传播根据上面的分析,我们有下面两式:0coscoscoscos,0,0 exp2coscos 0 Ux yAxyddzj 处:coscoscoscos,exp2coscos U x y zAzjxydzzd 处:coscoscoscos,0AzA:找出与我们的其初始值之目的间的关系。复振幅分布及其传播示意图如下:n 数学推导数学推导22 ,0 Helmho l tz kU x y z 我们知道,平面波的复振幅必须满足即方程,22222,1coscos0 U x y

3、zdAkAdz代入的表达式,化简得22 coscoscoscos,exp1c oscosAzCjkz求解,可得 coscoscoscos,0,0,ACz当时,有22 coscoscoscos,0 exp1cos cosAzAjkz因此,我们有此即平面波角谱的传播。222coscos1cos1 一般上,根据方向余弦条件,知。22coscos1evanescent wave但是,也是可能的,只不过此时的光波损耗大,传播不远,易故常称为(逝波)。22 coscoscoscos,0 exp1cos cosAzAjkz角谱的传播:0 ,xyxyxyA ffAffHff把上式改写为熟悉的形式(线性不变系统

4、):222022coscos ,coscos ,0exp1,0 1 xyxyxyyyxxA ffAzAffAjfkzffffHf当其他情形中:式22222exp1,0 1 xyxyxyjkzffHffff传递函数的表达式有当 其他情形两层含义:1(1)在标量衍射近似条件下,我们可忽略易逝波。(2)只能传递频率小于,或者物体细度大于 的信息。普通光学材料制作的相机因此,是不能拍摄小于 的物体的。metamaterials但是,最近出现的将会颠覆这一传统概念,由于其能收集易逝波,因此由其制作的相机将能拍摄小于 的物负折射率材料(超级体俗称()透镜)。0z 如右图所示,在处有一个无穷大的不透明屏,其

5、上开一孔,则该孔的透射系数为n 衍射孔径对角谱的作用衍射孔径对角谱的作用,0,0itUx yUx y已知沿z传播的光波,在小孔的复振幅分布为则紧靠小孔前端面后端面的复振幅为1,0 ,tx yx y位于 内其他情况,,0,0,tiUx yUx yt x y两边做傅立叶变换,得衍射由于的性质,因此入射光波经小孔后会发生效应,产生额外的光频分量。(不同的传播方卷积运算具有展宽频向对应不同谱的频谱)coscoscoscoscoscos,tiAATcoscos,T式中为孔径函数的傅立叶变换。n 标量衍射理论的背景知识标量衍射理论的背景知识167818181882 (1)经典的标量衍射理论最初由于年提出。

6、年引入干涉的概念补充了惠更斯原理;年采用球面波来求解波动方程,导出了严惠更斯菲涅耳基尔霍夫标量衍格的射公式。(2)衍射理论要解决的问题是:光场中任意一点的复振幅能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。(3)提出的子波干涉原理与求解波动方程所得的结果一致,都可以表示惠更斯菲成类似的涅尔基尔霍夫衍射公式。n 基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式 0 jkreU PC U P Kdsr基尔霍夫衍射公式:cos,cos,1;2jCKCK复常数 和倾斜因子由下面两式给出:n rn r0U PPP式中,为衍射孔径内的复振幅分布,为点光源,为孔径后面的任一观察点。0P(为指向 点的径矢为 面的法方向)、,线rrn

7、n 基尔霍夫衍射公式的化简基尔霍夫衍射公式的化简首先,孔径阴影部分的场分布为0,因此可以把积分区间扩展至无穷,即 01 jjkrU PU P Kedsr cos,cos1,Kn r 其次,化简倾斜因子。由于点光源非常远,我们有 cos,cos 0111 12 n rK 同样,若观察点也离孔径较远(远大于孔径大小),此时因此n 基尔霍夫衍射公式的化简(续)基尔霍夫衍射公式的化简(续)22200220011 122rzxxyyxxyyzzz0002200001,exp,exp2U x yjkzUxyj zkjxxyydx dyz利用上面的公式,我们最后得(此形菲涅耳衍式称射公式又)000,PPxy

8、x y然后,设 的坐标为点的坐标为,我们有n 平面波角谱的衍射理论(平面波角谱的衍射理论(思路思路)本书重点是从频域上(即平面波角谱方法)来讨论(1)衍射问题。000,0,Uxy前面已经讨论过频域的角谱传播问题,在由已知平面上的光场分布可通过傅里叶变换得到其(角谱2)0000000,0,0 exp2xyxyA ffUxyjx fy fdx dy zz其后,可以求出它传播到平面上的(角谱3)000,0Uxy最后,通过傅里叶逆变换进而得到用已知的表示的衍射光场分布,从而得到空域中的衍(4)射公式。2222,0 exp1xyxyxyA ffzA ffjkzffn 平面波角谱的衍射理论(平面波角谱的衍

9、射理论(基本公式基本公式),exp2,xyxyyxU x y zjxfyA fffzdf df根据上面的思路,我们有222200000002,0 exp1 exp2xyxyxyzU x y zUxyjffjfxxfyydf df dx dy返回到空域上,最终的表达式为22220 2(,0)ex p1 exp2xxyyxxyyjf xAff ydfjzfff df此即平面波角谱衍射理论的基本公式。n 平面波角谱的衍射理论(平面波角谱的衍射理论(应用应用)尽管推导出了平面波角谱衍射理论的基本公式,但是,依然不方便应用,还需要进一步化简。近场菲涅耳衍射区()和夫琅和费衍射化简区的准则:(远场)n 菲

10、涅耳衍射区菲涅耳衍射区(菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式)22220max0maxmaxmax zxyzxy在菲涅耳衍射区,我们通常菲涅耳有(及衍射条件)00cos1,cos1xyxxyyffzz这样,假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度,并且只对轴附近的一个小区域内即进行观察。2222222 1112xyxyffff 因此,做泰勒二次展开,推得220000000,exp(),0 exp exp2xyxyxyU x y zjkzUxyjz ffjfxxfyydf df dx dy基本代入平面波角谱衍射理式论中,化简得公2222expexp21 expxyxyxyjz ffjf xf yd

11、f dfjxyj zz另外,利用的傅里叶变换及高斯函数相似性定理有000220000exp,0 expjkzU x y zUxyj zjxxyydx dyz基本公式菲涅耳衍射公所以,最终化简为(此即为式形式)200000002exp,expzjkzjxxyyU x yUxyj zdx dyz菲涅耳衍射(基公式,本形式)已掉:略坐标n 菲涅耳衍射公式另一常用形式菲涅耳衍射公式另一常用形式2222000000000exp22 exp()expexp(),2 jkkjxyzkjxyjxxyyzU x yzzUxyj zdx dy对上面黑色部分展开,常用得菲涅耳衍射的另形式一22222 21 18 xyzff菲涅耳衍射公式成立的条件为n 菲涅耳衍射公式成立条件菲涅耳衍射公式成立条件222002221()()18zxxyyzz因此,我们有 23222220001max0222200maxm1ax()()()()()44zxxyyLLLxyxyL推得 式中、分别表示孔径和观察屏的 最大线度。菲涅耳近似这种近似称为或近轴近似。

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