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1、 第二章第二章 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 2.2 2.2 复振幅分布的角谱及角谱的传播复振幅分布的角谱及角谱的传播 2.3 2.3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论n 复振幅分布的角谱复振幅分布的角谱,exp2xyxyU x y zA ffzU x y zjxfyfdxxdyy 对复振幅在平面上作傅立叶变换，得,x,(angular spectrum)yyA ffzUy z则称为复振幅分布的角谱。不同传播方则可以看作的平向面波的叠加。,exp2xyxyxyU x y zA ffzjxfyfdf df 相应地，coscos,coscoscoscos,e2,xpxyffAzU x
2、y zjxydxdy由于则上式还可以写为显然，空间频谱与平面波传播方向的角度有关系，故称之为角谱。n 平面波角谱的传播平面波角谱的传播根据上面的分析，我们有下面两式:0coscoscoscos,0,0 exp2coscos 0 Ux yAxyddzj 处：coscoscoscos,exp2coscos U x y zAzjxydzzd 处：coscoscoscos,0AzA：找出与我们的其初始值之目的间的关系。复振幅分布及其传播示意图如下：n 数学推导数学推导22 ,0 Helmho l tz kU x y z 我们知道，平面波的复振幅必须满足即方程，22222,1coscos0 U x y
3、zdAkAdz代入的表达式，化简得22 coscoscoscos,exp1c oscosAzCjkz求解，可得 coscoscoscos,0,0,ACz当时，有22 coscoscoscos,0 exp1cos cosAzAjkz因此，我们有此即平面波角谱的传播。222coscos1cos1 一般上，根据方向余弦条件，知。22coscos1evanescent wave但是，也是可能的，只不过此时的光波损耗大，传播不远，易故常称为（逝波）。22 coscoscoscos,0 exp1cos cosAzAjkz角谱的传播：0 ,xyxyxyA ffAffHff把上式改写为熟悉的形式（线性不变系统
4、）：222022coscos ,coscos ,0exp1,0 1 xyxyxyyyxxA ffAzAffAjfkzffffHf当其他情形中：式22222exp1,0 1 xyxyxyjkzffHffff传递函数的表达式有当 其他情形两层含义：1（1）在标量衍射近似条件下，我们可忽略易逝波。（2）只能传递频率小于，或者物体细度大于 的信息。普通光学材料制作的相机因此，是不能拍摄小于 的物体的。metamaterials但是，最近出现的将会颠覆这一传统概念，由于其能收集易逝波，因此由其制作的相机将能拍摄小于 的物负折射率材料（超级体俗称（）透镜）。0z 如右图所示，在处有一个无穷大的不透明屏，其
5、上开一孔，则该孔的透射系数为n 衍射孔径对角谱的作用衍射孔径对角谱的作用,0,0itUx yUx y已知沿z传播的光波，在小孔的复振幅分布为则紧靠小孔前端面后端面的复振幅为1,0 ,tx yx y位于 内其他情况，,0,0,tiUx yUx yt x y两边做傅立叶变换，得衍射由于的性质，因此入射光波经小孔后会发生效应，产生额外的光频分量。（不同的传播方卷积运算具有展宽频向对应不同谱的频谱）coscoscoscoscoscos,tiAATcoscos,T式中为孔径函数的傅立叶变换。n 标量衍射理论的背景知识标量衍射理论的背景知识167818181882 （1）经典的标量衍射理论最初由于年提出。
6、年引入干涉的概念补充了惠更斯原理；年采用球面波来求解波动方程，导出了严惠更斯菲涅耳基尔霍夫标量衍格的射公式。（2）衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点的复振幅能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。（3）提出的子波干涉原理与求解波动方程所得的结果一致，都可以表示惠更斯菲成类似的涅尔基尔霍夫衍射公式。n 基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式 0 jkreU PC U P Kdsr基尔霍夫衍射公式：cos,cos,1;2jCKCK复常数 和倾斜因子由下面两式给出：n rn r0U PPP式中，为衍射孔径内的复振幅分布，为点光源，为孔径后面的任一观察点。0P（为指向 点的径矢为 面的法方向）、，线rrn
7、n 基尔霍夫衍射公式的化简基尔霍夫衍射公式的化简首先，孔径阴影部分的场分布为0，因此可以把积分区间扩展至无穷，即 01 jjkrU PU P Kedsr cos,cos1,Kn r 其次，化简倾斜因子。由于点光源非常远，我们有 cos,cos 0111 12 n rK 同样，若观察点也离孔径较远（远大于孔径大小），此时因此n 基尔霍夫衍射公式的化简（续）基尔霍夫衍射公式的化简（续）22200220011 122rzxxyyxxyyzzz0002200001,exp,exp2U x yjkzUxyj zkjxxyydx dyz利用上面的公式，我们最后得(此形菲涅耳衍式称射公式又)000,PPxy
8、x y然后，设 的坐标为点的坐标为，我们有n 平面波角谱的衍射理论（平面波角谱的衍射理论（思路思路）本书重点是从频域上（即平面波角谱方法）来讨论（1）衍射问题。000,0,Uxy前面已经讨论过频域的角谱传播问题，在由已知平面上的光场分布可通过傅里叶变换得到其（角谱2）0000000,0,0 exp2xyxyA ffUxyjx fy fdx dy zz其后，可以求出它传播到平面上的（角谱3）000,0Uxy最后，通过傅里叶逆变换进而得到用已知的表示的衍射光场分布，从而得到空域中的衍（4）射公式。2222,0 exp1xyxyxyA ffzA ffjkzffn 平面波角谱的衍射理论（平面波角谱的衍
9、射理论（基本公式基本公式）,exp2,xyxyyxU x y zjxfyA fffzdf df根据上面的思路，我们有222200000002,0 exp1 exp2xyxyxyzU x y zUxyjffjfxxfyydf df dx dy返回到空域上，最终的表达式为22220 2(,0)ex p1 exp2xxyyxxyyjf xAff ydfjzfff df此即平面波角谱衍射理论的基本公式。n 平面波角谱的衍射理论（平面波角谱的衍射理论（应用应用）尽管推导出了平面波角谱衍射理论的基本公式，但是，依然不方便应用，还需要进一步化简。近场菲涅耳衍射区（）和夫琅和费衍射化简区的准则：（远场）n 菲
10、涅耳衍射区菲涅耳衍射区（菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式）22220max0maxmaxmax zxyzxy在菲涅耳衍射区，我们通常菲涅耳有(及衍射条件)00cos1,cos1xyxxyyffzz这样，假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度，并且只对轴附近的一个小区域内即进行观察。2222222 1112xyxyffff 因此，做泰勒二次展开，推得220000000,exp(),0 exp exp2xyxyxyU x y zjkzUxyjz ffjfxxfyydf df dx dy基本代入平面波角谱衍射理式论中，化简得公2222expexp21 expxyxyxyjz ffjf xf yd
11、f dfjxyj zz另外，利用的傅里叶变换及高斯函数相似性定理有000220000exp,0 expjkzU x y zUxyj zjxxyydx dyz基本公式菲涅耳衍射公所以，最终化简为(此即为式形式)200000002exp,expzjkzjxxyyU x yUxyj zdx dyz菲涅耳衍射（基公式，本形式）已掉：略坐标n 菲涅耳衍射公式另一常用形式菲涅耳衍射公式另一常用形式2222000000000exp22 exp()expexp(),2 jkkjxyzkjxyjxxyyzU x yzzUxyj zdx dy对上面黑色部分展开，常用得菲涅耳衍射的另形式一22222 21 18 xyzff菲涅耳衍射公式成立的条件为n 菲涅耳衍射公式成立条件菲涅耳衍射公式成立条件222002221()()18zxxyyzz因此，我们有 23222220001max0222200maxm1ax()()()()()44zxxyyLLLxyxyL推得 式中、分别表示孔径和观察屏的 最大线度。菲涅耳近似这种近似称为或近轴近似。
