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1、平面向量向量有关概念：1 .向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移)。如：-2 .零向量：长度为。的向量叫零向量，记作：,注意零向量的方向是任意的；3 .单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB.共线的单位向量是士旭)AB4 .相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5 .平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：ab,规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不定相等：两个向量平行与与两条直线平行是不同
2、的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；_平行向量无传递性！(因为有6)；三点A、B、C共线一瓯Ae共线：一6 .相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a。如下列命题：(1)若IaI=Ib|,则a=b.(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。(3)若AB=DC,则ABCD是平行四边形。若ABCD是平行四边形，则AB=DC,(5)若a=b,b=c,则a=c。(6)若25处，则2。其中正确的是(答：(4)(5)二.向量的表示方法：1 .几何表示法：用带箭头的有向线段丧示，如Ab,注意起点在前，终点在后：2 .符号表示法：用一
3、个小写的英文字母来表示，如a,b,C等；3 .坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与X轴、y轴方向相同的两个单位向量1为基底，则平面内的任一向量a可表示为a=Xi+yj=(,y)称(x,y)为向量a的坐标，a=(,丫)叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。.平面向量的基本定理：如果仇和气是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数入JA,使年入+入既如13(D若2=(1,m=(1,1)3二(-1,2)-建=(答：-a-b).(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.e=(0,0),e=(1,-2)Be=(-1,
4、2),e=(5,7)1212c.e=(3,5),e2=(6110)d.*=a-?=g，-1(答：B)；(3)已知AD,BE分别是AABC的边BGAC上的中线,HAD=a,BE=b,则BC可用向量a,b表示为24(答：-a+-b):33一知AABC中，点D在BC,且27JB),-C-D)=r7)+S瓦C,则r+S的_(答：67四.实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作入7,它的长度和方向规定如下：Ql入b从&，(2)当入0时，Aa的方向Ija的方向相同，当入o时，a的方向与a的方向相反,当入=O时，Aa=O,:埼：-ao0五.平面向量的数量积：_1 .两个向量的夹角：对于非零向量a,
5、6,作OA=a,OB=b=AoB=9（0共9共几）称为向量的夹角,当9 =o时，a b同向，当9 =J,b a, b反向，当9几-金时，a,b垂直。一T一贝Ja+4等于_（答:723）；（3）已知a,b是两个非零向量，且卜HM-bI,则a与a+b的夹角为（答：30）3 .，在&上的投影为Ibcos9，它是一个实数，但不一定大于0。如2已知Ia=3,I）b|=5,甲）B=12,则向量a在向量力上的投影为_（答：_）i一4 .ab的几何意义：数量积ab等于a的模Ial与b在a上的投影的积。一T5 .向量数量积的性质：设两个非零向量a,b.其夹角为9,贝ij：abab=0.当a,6同向时，aS=忖目
6、特别地，常二gaLH=序：当a与;反向时，ab=a.b-IdIb|；非零向量a,b夹角9的计算公式：cos9=同|ab|共IaIlbL（D已知a=（,2）,）b=（3入,2）,如果a与）b的夹角为锐角，则入的取值范围41借：入想-夕或入。且人土5）：六.向量的运算：1 .几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”哒但/当四整形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设AB=a,BC=b,那么向量AC叫做a与b的和，即+b=AB+BCAC；向量的减法：用“三角形法则”：设AB=aAC=b,那么ab=AB-AC=CA,由减向量的终点指向被减向量的终点二注意：此处减向量
7、与被减向量的起点相同。如（1）化简：AB+BC+CD=:AB-AD-DC=_；（AB-CD）-（AC-BD）=（答：AD：CB：0）:（2）若正方形ABCD的边长为1,AB=a；BC=b；AO=c,9ija+b+c=（答:2底:2 .坐标运算：设a=（X,y）,b=（x,y）,则：1122向量的加减法运算：ab=（xX,yy）。如1212已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP=AB+AC(入仁R),则当入=_时，点P在第一、三象限的角平分线上已知作用在点A(1,1)的三个力F=(3,4),F=(2,5),F=(3,1),则合力F=F+F+F的终点坐123123标昂(答：(9,
8、1)他戏数与向量的积:a=(,y)=(XxAy)若A(X,y),B(X,y),则AB一三(-x,yy),即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段11222121的终点坐标减去起点坐标。如设A(2,3),B(1,5),且AC=AB,AD=3AB,则C、D的坐标分别是3(答：/LM7)；3平面向量数量积：ab=x2+y2。如TT几一T已知向量a=(sin,8sx),b=(sinx,sinx),C=(,。)，若X求向量3、C的夹角；向量的模：IaI=S2+y2,a2=aks+y2.如_已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60,那么|a+3b|=_(答：而)；两点间的距离：若A(X,y),B(X,y
9、),贝”ABI=-x)2+(yy)21122Y2121七.向量的运算律：1 .交换律：a+b=ba入2 .结合律：a+b+c=3.分配律：及+山中人才山a,4aJ如=(lll)a,ab=ba.abc=aac=ac+bc=a下列命题中：a.()bc)=ab-a.c；a()b.c)=(a.)b).c：(ab)2=a221aI.I)bI+I)b2.若a.)b=O,则a=0或)b=o；解.b=Cb则a=c.(g)|2=a2；abb17=-.(ab)2=a2b2(ab)2=a22a.b+b2o其中正确的是(答：)aa提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方
10、、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边呼般二个向与吧里边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)：向量的“乘法”不满足结合律，即a(S+c)丰(a二向c,为什么？八.向量平行(共线)的充要条件：a/力-a=入b(a.b)2=(ab)2-x,2-?2=0。如若向量a=(x,1),b=(4,x),当X=时aVb共线且方向相同(答：2)；已知a=(1,1),b=(4,x)u=a2b,v=2a+b,且uv,则X=(答：4)；(3)设PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,k),则k=时，ABC共线(答：-2或11)九.向量垂直的充要条件：ab-a.b=O-a
11、b=a-bxx+yy=0如_3己知OA=(1,2),OB=(3,m)若OAOB,则m=(答：2)；以原点。和A(42)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,B=900,则点B的坐标是(答：(1,3)或(3,-D);(3)已知n=(a,b),向量nm,且H=W|，则m的坐标是(答：(b,一a)或(一b,a)平面向曷如短点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？,提示：向量可以平移.举例1已知A(1,2),B(4,2),则把向量AB按向量a=(1,32：卜移后得到的向量是-结果：。)零向量：长度为O
12、的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；3 .单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量杜良)；AB4 .相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5 .平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量ab叫做平行向量，记作：ab,规定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！(因为有0);三点A、B、C共线一AB、AC共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反
13、向量a的相反向量记作_a举例2如下列命题：(1)若IIa4b,则a=b.(2)两个向学相篝的充要条件是它们的起点相同，终点相同.(3)若AB=DC，则ABCD是平行四边以(4)若ABCD是平行四边形，则AB=DC.(5)荐ab，b=c,则a=c.(6)若a/b，bc则ac.其中正确的是结果：(4)二、向量的表示方法1 .几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB,注意起点在前，终点在后；2 .符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a,b,C等；3 .坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与X轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a=xi+yj=(x,y),称(x,y)为向量a的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理设e,e同一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(入0),使a=)号+入%.定理核心：a=ze,e;从左向右看，是对向量a的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成.(3)向量的正交分解：当,e?时，就说a4s+%j为对向量a的正交分解.举例3(I)若a=(1J),b=(1,J)，C=(,2)，则C=.结果：；a_；b.(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是BA.e=(O1O).e=(1,_2)B
