平面向量知识点总结归纳.docx

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1、平面向量向量有关概念:1 .向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。如:-2 .零向量:长度为。的向量叫零向量,记作:,注意零向量的方向是任意的;3 .单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB.共线的单位向量是士旭)AB4 .相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;5 .平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量,记作:ab,规定零向量和任何向量平行。提醒:相等向量一定是共线向量,但共线向量不定相等:两个向量平行与与两条直线平行是不同

2、的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;_平行向量无传递性!(因为有6);三点A、B、C共线一瓯Ae共线:一6 .相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a。如下列命题:(1)若IaI=Ib|,则a=b.(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。(3)若AB=DC,则ABCD是平行四边形。若ABCD是平行四边形,则AB=DC,(5)若a=b,b=c,则a=c。(6)若25处,则2。其中正确的是(答:(4)(5)二.向量的表示方法:1 .几何表示法:用带箭头的有向线段丧示,如Ab,注意起点在前,终点在后:2 .符号表示法:用一

3、个小写的英文字母来表示,如a,b,C等;3 .坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与X轴、y轴方向相同的两个单位向量1为基底,则平面内的任一向量a可表示为a=Xi+yj=(,y)称(x,y)为向量a的坐标,a=(,丫)叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。.平面向量的基本定理:如果仇和气是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数入JA,使年入+入既如13(D若2=(1,m=(1,1)3二(-1,2)-建=(答:-a-b).(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是A.e=(0,0),e=(1,-2)Be=(-1,

4、2),e=(5,7)1212c.e=(3,5),e2=(6110)d.*=a-?=g,-1(答:B);(3)已知AD,BE分别是AABC的边BGAC上的中线,HAD=a,BE=b,则BC可用向量a,b表示为24(答:-a+-b):33一知AABC中,点D在BC,且27JB),-C-D)=r7)+S瓦C,则r+S的_(答:67四.实数与向量的积:实数入与向量a的积是一个向量,记作入7,它的长度和方向规定如下:Ql入b从&,(2)当入0时,Aa的方向Ija的方向相同,当入o时,a的方向与a的方向相反,当入=O时,Aa=O,:埼:-ao0五.平面向量的数量积:_1 .两个向量的夹角:对于非零向量a,

5、6,作OA=a,OB=b=AoB=9(0共9共几)称为向量的夹角,当9 =o时,a b同向,当9 =J,b a, b反向,当9几-金时,a,b垂直。一T一贝Ja+4等于_(答:723);(3)已知a,b是两个非零向量,且卜HM-bI,则a与a+b的夹角为(答:30)3 .,在&上的投影为Ibcos9,它是一个实数,但不一定大于0。如2已知Ia=3,I)b|=5,甲)B=12,则向量a在向量力上的投影为_(答:_)i一4 .ab的几何意义:数量积ab等于a的模Ial与b在a上的投影的积。一T5 .向量数量积的性质:设两个非零向量a,b.其夹角为9,贝ij:abab=0.当a,6同向时,aS=忖目

6、特别地,常二gaLH=序:当a与;反向时,ab=a.b-IdIb|;非零向量a,b夹角9的计算公式:cos9=同|ab|共IaIlbL(D已知a=(,2),)b=(3入,2),如果a与)b的夹角为锐角,则入的取值范围41借:入想-夕或入。且人土5):六.向量的运算:1 .几何运算:向量加法:利用“平行四边形法则”哒但/当四整形法则”只适用于不共线的向量,如此之外,向量加法还可利用“三角形法则”:设AB=a,BC=b,那么向量AC叫做a与b的和,即+b=AB+BCAC;向量的减法:用“三角形法则”:设AB=aAC=b,那么ab=AB-AC=CA,由减向量的终点指向被减向量的终点二注意:此处减向量

7、与被减向量的起点相同。如(1)化简:AB+BC+CD=:AB-AD-DC=_;(AB-CD)-(AC-BD)=(答:AD:CB:0):(2)若正方形ABCD的边长为1,AB=a;BC=b;AO=c,9ija+b+c=(答:2底:2 .坐标运算:设a=(X,y),b=(x,y),则:1122向量的加减法运算:ab=(xX,yy)。如1212已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP=AB+AC(入仁R),则当入=_时,点P在第一、三象限的角平分线上已知作用在点A(1,1)的三个力F=(3,4),F=(2,5),F=(3,1),则合力F=F+F+F的终点坐123123标昂(答:(9,

8、1)他戏数与向量的积:a=(,y)=(XxAy)若A(X,y),B(X,y),则AB一三(-x,yy),即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段11222121的终点坐标减去起点坐标。如设A(2,3),B(1,5),且AC=AB,AD=3AB,则C、D的坐标分别是3(答:/LM7);3平面向量数量积:ab=x2+y2。如TT几一T已知向量a=(sin,8sx),b=(sinx,sinx),C=(,。),若X求向量3、C的夹角;向量的模:IaI=S2+y2,a2=aks+y2.如_已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a+3b|=_(答:而);两点间的距离:若A(X,y),B(X,y

9、),贝”ABI=-x)2+(yy)21122Y2121七.向量的运算律:1 .交换律:a+b=ba入2 .结合律:a+b+c=3.分配律:及+山中人才山a,4aJ如=(lll)a,ab=ba.abc=aac=ac+bc=a下列命题中:a.()bc)=ab-a.c;a()b.c)=(a.)b).c:(ab)2=a221aI.I)bI+I)b2.若a.)b=O,则a=0或)b=o;解.b=Cb则a=c.(g)|2=a2;abb17=-.(ab)2=a2b2(ab)2=a22a.b+b2o其中正确的是(答:)aa提醒:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方

10、、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边呼般二个向与吧里边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约):向量的“乘法”不满足结合律,即a(S+c)丰(a二向c,为什么?八.向量平行(共线)的充要条件:a/力-a=入b(a.b)2=(ab)2-x,2-?2=0。如若向量a=(x,1),b=(4,x),当X=时aVb共线且方向相同(答:2);已知a=(1,1),b=(4,x)u=a2b,v=2a+b,且uv,则X=(答:4);(3)设PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,k),则k=时,ABC共线(答:-2或11)九.向量垂直的充要条件:ab-a.b=O-a

11、b=a-bxx+yy=0如_3己知OA=(1,2),OB=(3,m)若OAOB,则m=(答:2);以原点。和A(42)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,B=900,则点B的坐标是(答:(1,3)或(3,-D);(3)已知n=(a,b),向量nm,且H=W|,则m的坐标是(答:(b,一a)或(一b,a)平面向曷如短点小结一、向量的基本概念1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意:不能说向量就是有向线段,为什么?,提示:向量可以平移.举例1已知A(1,2),B(4,2),则把向量AB按向量a=(1,32:卜移后得到的向量是-结果:。)零向量:长度为O

12、的向量叫零向量,记作:0,规定:零向量的方向是任意的;3 .单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量杜良);AB4 .相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;5 .平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量ab叫做平行向量,记作:ab,规定:零向量和任何向量平行.注:相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;平行向量无传递性!(因为有0);三点A、B、C共线一AB、AC共线.6.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反

13、向量a的相反向量记作_a举例2如下列命题:(1)若IIa4b,则a=b.(2)两个向学相篝的充要条件是它们的起点相同,终点相同.(3)若AB=DC,则ABCD是平行四边以(4)若ABCD是平行四边形,则AB=DC.(5)荐ab,b=c,则a=c.(6)若a/b,bc则ac.其中正确的是结果:(4)二、向量的表示方法1 .几何表示:用带箭头的有向线段表示,如AB,注意起点在前,终点在后;2 .符号表示:用一个小写的英文字母来表示,如a,b,C等;3 .坐标表示:在平面内建立直角坐标系,以与X轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底,则平面内的任一向量a可表示为a=xi+yj=(x,y),称(x,y)为向量a的坐标,a=(x,y)叫做向量a的坐标表示.结论:如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理设e,e同一平面内的一组基底向量,a是该平面内任一向量,则存在唯一实数对12(入0),使a=)号+入%.定理核心:a=ze,e;从左向右看,是对向量a的分解,且表达式唯一;反之,是对向量a的合成.(3)向量的正交分解:当,e?时,就说a4s+%j为对向量a的正交分解.举例3(I)若a=(1J),b=(1,J),C=(,2),则C=.结果:;a_;b.(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是BA.e=(O1O).e=(1,_2)B

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