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1、垂径定理动点问题一、垂径定理知识点总结与梳理1 .弦心距：(1)圆心到弦的距离叫作O(2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。四者有一个相等，则其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。2 .圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是,是它的对称轴.3 .垂径定理及推论：(1)
2、垂直于弦的直径平分这条弦，并且.(2)平分弦()的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.(5)夹的弧相等.二、经典例题解析1.垂径定理的基本概念【例1】(2014浙江绍兴中考)如图，已知。O的直径AB，弦CD于点E,下列结论中一定正确的是()A.AE=OEB.CE=DEC.OE=CED.ZAOC=60o【解析】考查垂径定理的内容，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对应的弧。练习1.（2014四11梅州一模）如图所示，圆IO的弦AB垂直平分半径OC,则四边形OACB（）A是正方形B.是长方形C.是
3、菱形D以上答案都不对练习2.（2014甘肃天水一中期末）下面四个手蜥中正确的是（）A.过图内一点（非囱心）的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦B.过周内一点（非圆心）的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦C.过图内一点（非圆心）的无数条弦中，有且只有一条最长的弦，也有目只有一条最短的弦D.过国内一点（非圆心）的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦2 .垂径定理的简单计算【例2】（2014江苏徐州一模）如图，AB是。的直径，弦CDLAB,垂足为P.若CD=8,OP=3,则。的半径为（）A.10B.8C.5D.3【解析】根据垂径定理，可求CP的长度，根据勾股定理可求半径。CD是弦.若练习3
4、.已知的直径CD=IOCm,AB是C）O的弦，ABJLCD,垂定为M,且A8=8cm,则AC的长为（）A.25cB.45cmC2泥51或47印11D.25crn或4子m练习4.如图，AD为。的直径，作。的内接正三角形ABg甲、乙两人的作法分别是:甲：3作OD的中垂线，交0于B,C两点，2、连接AB,AC,AABC即为所求的三角形乙:1、以D为圆心，OD长为半径作图弧，交Oo于B,C两点.2、连接AB,BC,CA.ZkABC即为所求的三角形.对于甲、乙两人的作法，可判断（A）A.甲、乙均正确B.甲、乙均错误C.甲正确、乙错误甲错误,乙正确3 .垂径定理的几何应用【例3】（2014河北邯郸一中期末
5、）如图，AB是。的直径,AB=1Ocm,CD=8cm,那么A、B两点到直线CD的距离之和为（）A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm【解析】根据垂径定理，过。作OG_LCD与G,可求弦心距为6,根据梯形中位线的性质定理可求距离之和为2倍的弦心距，可得距离之和。【答案】解：作OGIE匕连接。D,.G为CD中点，又CD=8cm,则DGjCD=4cm.2又AB=:IOerrb/.OD=-AB=Scm,2所以=52-42=3cm根据梯形中位线定理，得A、B两点到直线CD的距离之和为32cm）练习5.如图，NPAC=3b,在射线AC上顺次截取AD=3cm,DB=IOcm,以DB为直径作。交射线AP
6、于E、F两点、，则线段EF的长是cm.ADOJBC练习6.如图，。是AABC的外接圆，且AB=AC=13,BC=24,求。的半径.4 .垂径定理的实际应用【例4】银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道.如图所示，污水水面宽度为60cm,水面至管道顶差距离为IOCm,问修理人员应准备内径多大的管道？t解析】把问题简化为圆的垂径定理的求解问题，设半径为根据勾股定理苛求半径。解：如图，过。作Oe_LABjFc,连接A0,co=a-i.练习7.某居民小区一处圆柱形的饰水菅道破裂，维修人员为更换管道，需确定菅道图形截面的半径，图2是水平放凿的破裂管道有水部分的截面.若这个愉水管道
7、育水部分的水面定AB=I6cm,水面最深地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.练习8.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，NQoN=30。，在点A处有一栋居民楼，A0=200m,如果火车行驶时，周围20Om以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼是否会受到噪音的影响？如果行驶的速度为72kmh,居民楼受噪音影响的时间为多少秒？（结果保留根号）弧诵的中点,图心角NMoN=60。,点P在前（M点除外）5 .垂径定理与动点问题【例5】（2015福建三明一横）如图，在半径是4的。中,点Q为优上运动，设点P到弦MN的S巨寓为X,OMN的面积是S.（1）求弦MN的长；（2）
8、试求阴影部分面积Y与X的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；（3）试分析比较，当自变量X为何值时，阴影部分面积y与S的大小关系.【解析】根据已知条件可得MON是等边三角形，所以MN的长度等于半径；阴影部分为一个钝角三角形，面积为底乘高的积的一半，底为MN,高为X,可求阴影部分面积。自变量X的取值范围是从O到等边三角形的高加半径的长度，即可求出X的取值范围；S可求，令y=S可求出临界范围，之后即可判断大小。练习9.如图，AB是半圆。的直径，BC是弦，点P从点A开始，沿AB向点B以ICm/s的速度移动，若AB长为IOCm,点O到BC的距离为4cm.(1)求弦BC的长；(2)问经过几秒后ABPC是等腰三角形？练习10.如图2,在平面直角坐标系中，以点A(3,0)为圆心作。A,OA与X轴相交于点B,C,与Y轴相交于点D,E,且C点坐标为(班，0).求线段DE的长.
