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1、注 意 行 为 规 范遵 守 考 场 纪 律【解】(1)对左边的质量块，有对右边的质量块，有MER= f cosq - A(si - Sina)cosq -MgLsingMe仇= -(sin7l sin)cos a MgL Sin，,在位移足够小的条件下，近似写成:MLa=(-a)-MgqML2=-(,-2)-Mg2即(2)定义状态变量那么或写成二(此题总分值10分)斗=g , = & , Xl= % , X4 = 1设一个线性定常系统的状态方程为上= Ax,其中He r2x2。1假设X(O)=时，-1状态响应为*=/ ； x()=时，状态响应为一.(此题总分值10分)如下图为一个摆杆系统，两
2、摆杆长度均为L,摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块(质量均为M)视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，4与仇分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当=名时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力/作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式Sine=e,COSe=IO(1)写出系统的运动微分方程；(2)写出系统的状态方程。X(。=O试求当X(O)=?时的状态响应x)。【解答】系统的状态转移矩阵为切(f)=,根据题意有合并得求得状态转移矩阵为当X(O)=1时的状态响应为三.(此题总分值10分)某系统的方块图如下，答复以下问题：(1)按照上图指定的状态变量建立状态空间表达式
3、:(2)确定使系统状态完全能控且完全能观时，参数k的取值范围。【解答】(1)系统的状态空间表达式为(2)使系统状态完全能控且完全能观时，参数且出00。四(此题总分值10分)离散系统的状态方程为(1)是否存在一个有限控制序列(0)h(1)U(N),使得系统由的初始状态%(0),/(0)转移到F(N+1)=0,A2(O+1)=0?试给出判断依据和判断过程。(2)假设存在，求N的最小值及控制序列(0)m(1)(N)。【解答】，= 0，2=力G可= 1 , rank0=2,由系统能控性的定义可知: 11 3(1)由题意，G=2-3.存在有限控痴序列，使得在有限时间内由状态初值转移到零。(2)由系
4、统状态完全能控的性质可知，此系统为二阶系统，可用适当的(0),，使得XQ)=0,即W的最小值为1。根据状态方程x(左+1)=GxU)+加,伙)进行递推如下：x(2)=Gx(l)h(1)=GGr(0)+w(0)+MD=G3x(0)+Gu(0)+u(1)=0,由上面最后一步可得即即(0)=-18.(O)+7x2(O),=40xl(0)+1Ox2(0)。五(此题总分值10分)对以下系统试设计一个状态反应控制器，满足以下要求：闭环系统的阻尼系数7=0707；阶跃响应的峰值时间等于3.14秒。t解答】假设状态反应控制律为=伙|,代入状态方程得闭环系统闭环特征多项式为根据题意的要求，7 = 0707 =2
5、2期望特征多项式为根据多项式恒等的条件可得:解得状态反应控制律为=.=4x,+3x2o六(此题总分值10分)设系统的状态空间表达式为假设该系统的状态%不可测量，试设计一个降维状态观测器，使降维观测器的极点为一10,要求写出降维观测器动态方程，并写出状态的估计方程。【解答】将状态空间表达式写成：进一步写成设降维观测器方程为引入中间变量z=X2-/y,两边求导数得根据题意，降维观测器的极点为-10,即一5一/=一10,解得/=5。最终得到降维观测器的动态方程为状态估计的表达式为%2=z+5y。七.(此题总分值10分)证明对于线性定常系统的线性变换，其传递函数(矩阵)保持不变。【证明】设原线性系统为
6、其传递函数矩阵为W(三)=C(s/-A)TB+D设线性变换为x=7,变换后的线性系统为该系统的传递函数矩阵为显然，W(三)=W(s),即其传递函数(矩阵)保持不变。证毕八.(此题总分值10分)x1=x2-3.某2阶非线性系统的状态方程为，5，证明该系统在坐标原点处渐$=-月+-4+3近稳定。【证明】取李雅普诺夫函数V(X)=后+石，显然是正定函数；此外，沿着状态轨线的导数为：V(X)=2w百+2为=2司(W_3$)+2修一工芯-年+令函数y=冬，那么j-2斗+3y=0,关于M的二次方程的根的判别式为X1+3=4-120,y2L一旦那么有一立-l-l+y立-I,所以表达式33333-1+-|工恒小于零，因此，V(X)为负定。所以该系统在坐标原点处渐近稳定。x+3
