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1、7 胡克定律与拉压杆的变形 轴向变形与胡克定律轴向变形与胡克定律 横向变形与泊松比横向变形与泊松比 叠加原理叠加原理 例题例题 胡克定律与杆的轴向变形胡克定律与杆的轴向变形实验表明：当实验表明：当s s s sp 时，时，引入比例常数引入比例常数E s s s sE 胡克定律在比例极限内，正应力与正应变成正比在比例极限内，正应力与正应变成正比胡克定律E弹性模量弹性模量，其量纲与应力相同，常用单位为，其量纲与应力相同，常用单位为GPaMPa 10Pa 10GPa 139 GPa 220200 E钢与合金钢：钢与合金钢：GPa 7270 E铝合金：铝合金：轴向变形公式AFN s sll EA-杆截
2、面的杆截面的 拉压刚度拉压刚度 s sE 在比例极限内，拉压杆的轴向变形在比例极限内，拉压杆的轴向变形 l，与轴力与轴力 FN 及杆长及杆长 l 成正比，与乘积成正比，与乘积 EA 成反比成反比胡克定律 niiiiiAElFl1N n 杆段总数杆段总数FNi 杆段杆段 i 的轴力的轴力 阶梯形杆阶梯形杆:等截面匀质杆等截面匀质杆:l-伸长为正伸长为正,缩短为负缩短为负 横向变形与泊松比横向变形与泊松比拉压杆的横向变形bbb 1bb Es s 泊松比试验表明试验表明 ：在比例极限内，：在比例极限内，并异号并异号 泊松比泊松比 )5.00 (Ess 叠加原理叠加原理算例1.1.分段解法分段解法12
3、N1FFF 2N2FF EAlFEAlFl2N21N1)(分段解法EAlFEAllFl11212)()(分段解法试分析杆试分析杆 AC 的轴向变形的轴向变形 lEAlFEAlFF22112)(EAllFlF)(2122 2.分解载荷法分解载荷法EAlFlF111 21)(FFlll 分分解解载载荷荷3.比较比较分分解解载载荷荷分分段段解解法法)()(ll EAlFEAllF11212)(EAlFEAllFl11212)()(分段解法分段解法叠加原理当杆件内力、应力及变形，与外力成正比关系时，通常当杆件内力、应力及变形，与外力成正比关系时，通常即可应用叠加原理即可应用叠加原理 原理原理 应用应用
4、 N1F 例题例题 用叠加法分析内力用叠加法分析内力21N1,N1,FFFF 1F 2F 几个载荷同时作用所产生的总效果，等于各载荷单独几个载荷同时作用所产生的总效果，等于各载荷单独作用产生的效果的总和作用产生的效果的总和 例例 题题例 7-1 已知已知 l=54 mm,di=15.3 mm,E200 GPa,0.3,拧紧后拧紧后,AB 段的轴向变形为段的轴向变形为 l 0.04 mm。试求试求螺栓横截面上的正应力螺栓横截面上的正应力 s,s,与螺栓的横与螺栓的横向变形向变形 d 解：1.螺栓横截面正应力螺栓横截面正应力4-10.417 ll MPa 2.148 E s s s sE 2.螺栓
5、横向变形螺栓横向变形 mm 0034.0i dd 螺栓直径缩小螺栓直径缩小 0.0034 mm441022.21041.73.0 解：1.轴力与变形分析轴力与变形分析)(2N1拉伸拉伸FF )(N2压缩压缩FF EAlFAElFl22111N11 222N22AElFl 例 7-2 图示桁架，杆图示桁架，杆1与与2分别用钢与松木制成。分别用钢与松木制成。F=10 kN；E1=200 GPa,A1=100 mm2,l1=1 m；E2=10 GPa,A2=4000 mm2。试求试求节点节点 A 的水平与铅垂位移。的水平与铅垂位移。)(0.707mm21伸长伸长 EAFll)(0.177mm缩短缩短
6、 EAFl2.作图法作图法确定节点新位置确定节点新位置3.节点位移计算节点位移计算)(22 lAAAx5AAAy 用切线或垂线代替用切线或垂线代替圆弧作图圆弧作图)(45cos21 ll4.讨论小变形概念讨论小变形概念 与结构原尺寸相比为很小的变形，称为与结构原尺寸相比为很小的变形，称为小变形小变形 在小变形条件下，通常即可在小变形条件下，通常即可：按结构原有几何形状与尺寸，计算约束力与内力按结构原有几何形状与尺寸，计算约束力与内力 采用切线代圆弧的方法确定节点位移采用切线代圆弧的方法确定节点位移 0.707mm1 l0.177mm2 lmm 7072 lmm 10001 l例 7-3 F1=
7、F2/2=F，求截面求截面 A 的位移的位移 Ay解：1.计算计算 FNFFFF830sin221N 030sin2 ,0N21 lFlFlFMB刚体刚体EA2.计算计算 lEAlFlCDN 4.位移计算位移计算 2CCAAAy 60cos 2l 364EAFl3.画变形图画变形图EAFl361 刚体刚体EAFF8N EAlF60sin 8 8 简单拉压静不定问题 静不定问题与静不定度静不定问题与静不定度 静不定问题分析静不定问题分析 例题例题 静不定问题与静不定度静不定问题与静不定度 静不定问题静不定问题 仅由平衡方程不仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题能确定全部未知力的问题 静不定度静不
8、定度 未知力数与有效未知力数与有效平衡方程平衡方程数之差数之差 静定问题静定问题 仅由平衡方程即可仅由平衡方程即可确定全部未知力（确定全部未知力（约束反力与内力约束反力与内力）的问题）的问题一度静不定一度静不定静定问题静定问题 静不定问题分析静不定问题分析分析方法求解思路求解思路 建立平衡方程建立平衡方程 建立补充方程建立补充方程各杆的变各杆的变形间满足形间满足一定关系一定关系0),(321 lllf0),(N3N2N1 FFFF)3,2,1(N iFlii补充方程补充方程变形协调变形协调方程方程 联立求解联立求解利用利用变形协调变形协调方程与物理方程，方程与物理方程，建立建立补充方程补充方程
9、 平衡方程平衡方程0sinsinN1N2 FF0coscosN3N2N1 FFFF 变形几何关系变形几何关系 cos31ll 胡克定律胡克定律111N11AElFl 331N33cosAElFl 补充方程补充方程N323311N1cosFAEAEF 变形协调方程变形协调方程E1A1=E2A2求解算例 联立求解平衡与补充方程联立求解平衡与补充方程 311332N2N1cos2cos AEAEFFF 33311N3cos21AEAEFF 综合考虑三方面综合考虑三方面 外力与外力与 FNi 满足静力平衡方程满足静力平衡方程 各各 li 之间满足变形协调方程之间满足变形协调方程 li 与与FNi 间满
10、足给定物理关系（例如间满足给定物理关系（例如胡克定律胡克定律）（静力、几何与物理）（静力、几何与物理）静不定问题求解与内力的特点 内力分配与杆件刚度有关内力分配与杆件刚度有关 一般讲，一般讲，EiAi ，FNi 内力特点：内力特点：例例 题题例 8-1 求两端固定杆的支反力求两端固定杆的支反力解：(a)0 ,0 BxAxxFFFF2.几何方面几何方面0 CBACll4.建立补充方程建立补充方程(b)021 lFlFBxAx5.支反力计算支反力计算联立求解平衡方程联立求解平衡方程(a)与补充方程与补充方程(b)212llFlFAx 211llFlFBx 3.物理方面物理方面EAlFEAlFlAx
11、AC11N1 EAlFEAlFlBxCB22N2)(一度静一度静不定不定1.静力学方面静力学方面解：1.画变形与受力图画变形与受力图注意受力图与变形图协调：注意受力图与变形图协调：伸长拉力；缩短压力伸长拉力；缩短压力例 8-2 已知：已知：F=50 kN，s st =160 MPa，s sc =120 Mpa，A1=A2。试问：试问：A1=?A2=?02)(2,0N2N1 lFFlFMB2.建立平衡方程建立平衡方程3.建立补充方程建立补充方程CCl22 1222ll 1N112EAlFl 2N22EAlFl N1N24FF 5.截面设计截面设计N 1059.41282844N1N2 FFFtN
12、11s sFA cN22s sFA 221mm 383 AA结论：结论：4.内力计算内力计算 N1N2N2N14 02)(2FFlFFlF联立求解平衡方程与补充方程联立求解平衡方程与补充方程拉力拉力 N1 F压力压力 N2 F2mm 7.71 2mm 383 Tll T 解：EAlFTlllR TEAFlsRT 例 8-3 图示两端固定杆，试分析当温度升高图示两端固定杆，试分析当温度升高 T 时，横截面上的应力时，横截面上的应力s sT。已知材料的线膨胀系数为已知材料的线膨胀系数为 l。TEAFl R在静不定杆系结构中在静不定杆系结构中,各杆段或各杆的轴向变形必须服从变形协调条件各杆段或各杆的
13、轴向变形必须服从变形协调条件,温度变化一般将引起应力温度变化一般将引起应力,称为称为热应力热应力0R EAlFTll 变形协调条件变形协调条件温度变形温度变形例 8-4 图示桁架图示桁架,结构左右对称结构左右对称,杆杆3比设计尺寸短比设计尺寸短 ,装配后将引起应力。装配后将引起应力。试建立应力分析的平衡与补充方程。试建立应力分析的平衡与补充方程。解：画变形图画变形图 cos13ll cos1cos11N1333AElFAElF0cos2N1N3 FF画受力图画受力图建立平衡与补充方程建立平衡与补充方程在静不定杆系结构中在静不定杆系结构中,各杆或各杆段的轴向变形必须服从变形协调条件各杆或各杆段的轴向变形必须服从变形协调条件,杆长杆长制造误差制造误差一般将引起应力一般将引起应力,称为称为初应力初应力
