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1、线性代数综合练习注：此版本的综合练习册对应教材是线性代数，同济大学数学系主编，高等教育出版社，第五版，ISBN978-7-04-021218-1第一章行列式一、选择题1.设A是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则（A*）=（-A det(A)B.AdcHA)C.Adet(A)DAdet(A*)2设A是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则AA*=（A.1B.AC.IAliD.14n+,3.设A.B为n阶方阵,则必有（BlBA.AB=BAC.IA-B=A-B4.设A为n阶方阵，左为非零常数,A.IM=AIB.I左41=kI41C.抬|=ATlAlD.U=*n5.设A是一个3阶的反对称矩阵，则1A|
2、=().A.-lBOC.1D.无法确定二、填空题1.设矩阵A=(j则行列式IATAl=。2.设A为3阶方阵，IAl=3,贝J-2A=3.设A为3阶方阵，且-3A=9,则IAl=。4.设A、B都是n阶方阵，且IAl=-2,B=3,则IABl=.5.设矩阵A=(Ij),则IA*=.三、计算题111210121.计算4阶行列式D=121013442464273272.计算3阶行列式O=38835625652228918954443.计算4阶行列式D=44544544444512344.计算4阶行列式0=233441124123第二章矩阵及其运算一、选择题1.设A,B都是n阶方阵，且AB=0,则必有（
3、）.A.A=O或8=0B.A+B=0C.|4=0或IEhOD. A + 8=02.设A, B, C都是n阶方阵，且ABC=E,其中E为n阶单位方阵，则必有（A. ACB=E B. BCA=E C. CBA=E D. BAC=E3.设方阵A满足A2-A-2E=0,则必有（）.A.A = -EB. A = 2EC. A可逆D. A不可逆4.设AB都是n阶可逆矩阵,则下列结论不正确的是（A. A+8一定可逆B. AB一定可逆C ATBT一定可逆D. ATBT一定可逆.5.下列矩阵中，与矩阵0 1可交换的是（6.矩阵A = （：）为非奇异矩阵的充要条件是（）A. ad be = QB. ah cd =
4、 OC. adbeOD. ah-cd 07.下列说法正确的是（）.A.设A为n阶方阵,且A2=A,贝IJ A=E或A=O.B.设 A,B,C 为 n 阶方阵,AB=AC 且 A0,则 B=C.C.设A, B. C都是n阶方阵，且AB=E, CA=E,则B=C.D.设A为n阶方阵,且A?=0，则A=O.8.矩阵的逆矩阵是（）.59.设A为3阶方阵,A=3,则3AI=().A11B,-IC.9D.-910.设A8,C都是n阶可逆矩阵，则（ABC）T=（）.A.ABCB.B-CAlC.C-A-,BD.CBlA二、填空题f21.矩阵的逆矩阵为。1O0、2.设矩阵A=0-10,则A的逆矩阵AT=.C03
5、71/213.设矩阵4=,B=,则2A-38=(20-J(-1-23)24.设矩阵A=1,则AY=.5.设矩阵A=A是A的伴随矩阵，则AA=.三、计算题1.设2阶矩阵A可逆，且4一：j,对于矩阵片鸟=R令8=片4鸟,求BL-C2.设矩阵A=,矩阵B满足AB=A+2B,试求矩阵B.V2,3、B= -1 2J N/123、3.设矩阵A=O-1-2、0O-I,（1）求矩阵A的逆矩阵：（2）解矩阵方程AX=B.4.设矩阵A=-1,=31I，C=(2。矩阵X满足AXB=C,求矩阵X.四、证明题1.设n阶方阵A,B及A+B都可逆,证明：A-1+B-1也可逆.2.设阶方阵A可逆，A*是A的伴随矩阵，证明：A
6、*也可逆，且（4*）T=（AT）*.3.设方阵A满足A2-3A-7E=0,证明A及A+2E都是可.逆的,并求它们的逆.第三章矩阵的初等变换与线性方程组一、选择题1.若R（八）=2,则5元齐次线性方程组AX=O的基础解系中有（）个向量。A.1B.2C.3D.42.n元线性方程组AX=b,A为其增广矩阵,该方程组有唯一解的充分必要条件是（A.R（八）=R（八）B.R（八）R（八）C.R（八）=R（八）=nD.R（八）=R（八）n3.设刍,么03是齐次线性方程组AX=O的基础解系,则下列()也是该方程组的基础解系.A.与刍,与,柒等价的一个向量组B.与0,$，原等秩的一个向量组C.当+5,免+柒，备
7、+备D.C-，%-久，与一一4.设AX=b为n元线性方程组，AX=O为其导出组,关于这两个方程组,下列说法中,正确的是()A.如果AX=O只有零解，则AX=b必有唯一解.B.如果AX=O有非零解，则AX=b必有无穷多解.C.如果AX=b无解，则AX=O也无解.D.如果AX=b有唯一解，则AX=O，定只有零解.二、填空题1.设A为3阶方阵，R（八）=1.A是A的伴随矩阵，则R(A*)=q2.设A为4阶方阵，R（八）=3,A”是A的伴随矩阵，则R(A*)=。3.若R（八）=3,则4元齐次线性方程组AX=O的基础解系中有个向量。4.n元线性方程组A=b有解的充分必要条件是.5.n元线性方程组AX=b
8、有唯一解的充分必要条件是.6.设%,a2,%是非齐次线性方程组Ax=b的解,MG自为常数,若无Ial+k2a2+k3a3也是Ax=b的解，则尤+电+自=。7.设齐次线性方程组4有非零解,则上=.3x+Ly=08.设%,%,CZ3是非齐次线性方程组AX=b的解，占,%2,3为常数，若占%+22a2+3右&也是Ax=b的解，则女1,女2，&的关系为-三、计算题1.设线性方程组$一%+2%3一2x-x2+OX3=2-XI+2*2+x3=(1)问,6为何值时，方程组有无穷多解.(2)当方程组有无穷多解时,求出它的通解.(要求用一个特解和导出组的基础解系表示)2.己知线性方程组(1)问0,%，%，为满足
9、什么条件时，方程组有解？(2)在有解时，这个方程组共有多少个解？3.已知线性方程组,1X2=IWr=2/3一%=3J4_M=(1)问为何值时，方程组有解？(2)在有解时，求出它的解。(要求用一个特解和导出组的基础解系表示)4.设4元非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵A的秩为3,且它的三个解向量7,%,/满足彷=2,3,4,5丁，小+%=U23,4，求Ax=b的通解.5.设,(1+2)x1x2+x3=0$+(1+4)巧+石=31.X1x2(1+2)x3=讨论4为何值时，此方程组有唯一解、有无穷多解、无解？并在有无穷多解时，求出它的解四、证明题1.设阶方阵A与B,满足48=0,证明R（八）+R(B
10、).2.设n|,in,n.是非齐次线性方程组AX=B的s个解，k,L,k为实数，满足k计k/+k=l,证明x=(k】T)n+k2n2+.+k*是齐次线性方程组AX=O的解。第四章向组的线性相关性一、选择题1.设=上,B=回也也1，a.，仇0=1,2,3）,则方阵A=B的秩为（A.0B.1C.2D.32.如果向量组线性相关，那么（）.A.这个向量组中至少有一个零向量.B.这个向量组中至少有两个向量成比例.C.这个向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.D.这个向量组中所有向量都可以由其余向量线性表示.3.下列说法正确的是（）.A.等价的向量组含有相同的向量个数.B.如果向量组线性相关，那么
11、这个向量组中至少有一个零向量.C.如果向量组线性相关，那么这个向量组中至少有两个向量成比例.D.n维单位向量组是线性无关的.4.设向量组a=l,0,0,a2=0,0JMB=（）时,它是aa2的线性组合.A.0,1,2B.1,2,0C.1,0,2D.2,1,05.向量组，02,，Om的秩不为0的充要条件是（）.A.向量组Oh,（12,（Im中至少有一个非零向量.B.向量组Oh,02,（Xm中至多有一个非零向吊：.C.向量组a,O2,，（Xm中全部是非零向量.D.向量组CU,O2,（Im线性无关.6.设向量组6,O2,，Otm的秩为r（r，-2）,则下列说法错误的是（）.A.向量组CL1,a2,-
12、.（Im中至少有一个含，个向量的部分组线性无关.B.向量组at02,，（Xm中含r个向量的部分组都线性无关.C.向量组6,02,，Orn中含，+1个向量的部分组都线性相关.D.向量组Oh,CL21-,Om中含r+2个向量的部分组都线性相关.7.设a,a2,a3为3阶方阵A的列向量组,则m，a2,a3线性无关的充要条件是（）.A. | A | 0B. A 的秩 R(A) ;(2)向量a,的内积(a,/).3.设向量组%,2，4线性无关，令尸I=%+%,2=%+3，网=a3+%，试确定向量组?1，尸2,四的线性相关性.四、证明题I.设%,a?,，是一个维向量组，证明它线性无关的充分必要条件是：任一维向量可由它线性表示，2.设向量:组%,%03，4满足r(%02。3)=2，R(a2,ai,a4)=3,证明能由%，为线性表示第五章相似矩阵及二次型一、选择题1.设A,B都是n阶方阵，且A与B等价，则().A.R（八）=R(B)B.det（八）=det()C.det(2E-A
