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1、根本不等式、不等式的综合应用高考试题考点二利用根本丕笠式证明.1. (2023年安徽卷,文15)假设a0,b0,a+b=2,那么以下不等式对一切满足条件的a、b恒成立的是(写出所有正确命题的编号).abWl;石+772;a+b22;a+b3;，+12.a%解析:令a=b=l,排除、；由2=a+b22=abWl,命题正确；a2+b2=(a+b)-2ab=4-2ab2,命题正确；_L+L2=2.22,命题正确.Obabab答案:2. (2023年上海卷,文16)假设a、bR,且abO,那么以下不等式中,恒成立的是()（八）a2+b22ab(B)a+b2(C)H(D)-+-2absab6解析:对于选
2、项A,a2+b22ab,所以选项A错；对于选项B、C1虽然abO,只能说明a、b同号，假设a、b都小于0时，选项B、C错：对选项D,Vab0,-0,-0,那么2+322.abb应选D.答案:D考点二利用根本丕等式求最值或范围1. (2023.年福建卷，文7)假设2+2=l,那么x+y的取值范围是()（八）O,2(B)-230(C)-2,+)(D)(-t-2解析：因为2x+2N2FF=2F7,所以万7wL2所以2*WL4所以x+yW-2.应选D.答案:D2. (2023年浙江卷，文9)假设正数X,y满足x+3y=5xy,那么3x+4y的最小值是()（八）(B)-(C)5(D)6555y 5x解析
3、：因为x0,y0,x+3y=5xy,所以+g=l,所以-L+上)(3x+4y)=-+-+-+-+2-=5j当且仅当旦=包时,5y5x55x5y5x5x555y5x等号成立,所以选C.答案:C3. (2023年陕西卷,文14)在如下图的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影局部)，那么其边长X为(m)解析:如图，过A作AHBC于H,交DE于F,zhDE_XAD_AF_AF寸蓝40,ABAH而由竺二生，得af=x,FH=40-.BCAB那么S=x(40-)当且仅当40-X=x,即x=20时取等号.所以所求边长X为20(m).答案：204. (2023年四川卷,文13)函数f(x)=
4、4x+-(x0,a0)在x=3时取得最小值,那X么a=.解析:因为x0,a0,所以F(x)=4T-2=4oX当且仅当4x=-,即a=4Y时取等号.X由题意可得a=4X3=36.答案：365. (2023年天津卷,文14)设a+b=2,b0,那么上+日的最小值为.解析：由a+b=2,b0.那么_L+kl=生!+=，_+回2ab4a44cb】由a0,假设a0,那么原式=工+2+2学!+2卫三=2.44方4Vb4当旦仅当b=2a=g时,等号成立.假设a0,110)jmZl那么由2.+22=22得mn+x=mnx,.(mnT)x=mn,?-1又上+?2、工,2V?.-Ll,mn4.24mn4即2c-f
5、/.clog-=2-log3.33当且仅当m=n=2,即a=b=l时,c取得最大值为2-log23.答案:2-0改37. (2023年浙江卷,文16)假设实数X,y满足x2+y2+xy=l,那么x+y的最大值是.解析：yW,(+y)14l=xa+y2+xy=(x+y)2-y2(+y)-1(x+y)24(x+y)；，(x+y)Wg,.T心+疟哈当x=y=书时，x+y取得最大值.答案：迎8. (2023年江苏卷,8)在平面直角坐标系x0y中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)=2的图象交于P,Q两点,那么线段PQ长的最小值是解析:如下图.P在函数y=2图象上，.设P(-),又YQ与P关于原点对称，
6、.Q(-,),FQ2=(x+x)2+(-+-)2*2J=16.当且仅当4x2=,即2=2时等号成立.r*IPQImir-4.答案：4考点三丕笠式的综合应用1. (2023年山东卷,文12)设正实数X,y,Z满足x2-3xy+4y2-z=0,那么当三取得最大值时，K+2y-z的最大值为()（八）O(B)-(C)2(D)-84解析:由题得z+3xy=x+4y24xy(x,y,z0),即zxy,-1.当且仅当x=2y时等号成立，xy那么x+2y-z=2y+2y-(4y2-6y2+4y2)=4y-2y=-2(y2y)-2(y-l)2-l=-2(y-l)当y=l时，x+2y-z有最大值2.应选C.答案c
7、2. (2023年新课标全国卷II,文12)假设存在正数X使2x(-a)0及2(-a)-j,令f(x)=X-W311由于y=x,y=JJ在定义域内均为增函数,因此f(X)为增函数，从而0时,f()f(O)=-I,因此满足条件的a的取值范围为a-l.应选D.答案:D3. (2碗3年重庆卷，文15)设OWal时，有StMxJtT恒成立,所以aWT,又-IWaW0,所以a=-l,b=l,a*b=-l,答巢,-5. (2023年四川卷,文16)设a,b为正实数现有以下命题:假设a2-b2=l,那么a-bl;假设1=1,那么a-bl;假设I或-述1=1,那么a-b1;假设IaM1=1,那么a-bl.其中
8、的真命题有(写出所有真命题的编号)解析:中，假设a,b都小于1,那么a-blt由a2-b2=(a+b)(ab)=l,所以a-bG,故正确.中L!=i=,只需a-b=ab即可，baab取a=2,b=满足上式但a-b=yl,故错；中，a-b=(-)(+ft)=7+fe4aJb1,故错;中，对于Ia-b=(a-b)(a+ab+b)=1,假设/b中至少有一个大于等于1,邪么a+ab+bl,那么abO,2.f()在区间(LI)内单调递增,2.f(X)在(1,1)内存在唯一的零点.2(2)依题意知2时，M=f(l)-f(-l)=2b4与题设矛盾.假设-1W-20时,x+12,p=2.因为X同号，所以假设x
9、+i22,那么x0,i0.所以x0是x+i22成立的充要条件.选C.XX答案:C2. (2023安徽示范高中联考)假设a0,b0,且a+b=2,那么以下不等式恒成立的是()（八）1(B)1+12abab(C)Z1(D)a2+b22解析：由2=a+bN2得“1,abl,所以选项A、C不恒成立，_L+_L=土史=工22,选项B也不恒成立,ab2=(a+b)2-2ab=4-2ab22恒成立.ababab应选D.答案:D考点二利用根本不等式求最值1. (2023郑州质检)假设abO,那么代数式a2+丁丁的最小值为()b(a-b（八）2(B)3(C)4(D)5解析1讣三/71V=a?+冬?4,S(j)(b+a-bX/b=Q-b,当且仅当aW，ahO9即a二点,b=芈时,等号成立.应选C.答案:C2. (2023武汉质检)双曲线W-A=I(a0,b0)的离心率为2,那么正1的最小fb3a值为()（八）至苴(C)2(D)I33解析:双曲线的离
