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1、根本不等式及其应用1 .根本不等式假设a0,b0,那么哼A/%,当且仅当时取=.这一定理表达为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(I)各项或各因式均正；(一正)(2)和或积为定值；(二定)(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值(三相等)2 .常用不等式(l)2+%226(,R).而M*(,b)注：不等式a2+b2N2ab和幺也2而它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数,而后者要求a、b都是正数.其等价变形：abW土吆)2.2(笠)(a,R).(4g+2(,b同号且不为0).+Z?Y/+匕2f-3R6)匕匕*T*C*Ei(b
2、)+O6cJ,b,c0)(8)；(a,c0)3 .利用根本不等式求最大、最小值问题（1）求最小值：0,b0,当味为定值时,ab/+有，即+b2,a2+b2.（2）求最大值：0,b0,当+方为定值时，浦有最大值，即；或/+序为定值时,而有最大值30,QO）,即.设,6GR,且+b=3,那么2+2&的最小值是（）A.6B.42C.22D.26解：因为20,2ft0,由根本不等式得2+2,22寸22=2近而=4也,当且仅当a=/?=,时取等号，应选B.假设0,0,且+2b-2=0,那么b的最大值为（）A.B.1C.2D.4解：.Z0,b0,+2b=2,.+2b=2227,即bwg.当且仅当=1,匕=
3、：时等号成立.应选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为和b（ab）,其全程的平均时速为0,那么A.av+=,vaA.（2023上海）假设实数不y满足个=1,那么x2+2y2的最小值为解：由Xy=I得炉+2V=x2+m2也，当且仅当x=%时等号成立.故填21点（?，）在直线x+y=l位于第一象限内的图象上运动，那么Iog2?n+log2的最大值是.解：由条件知，70,0,m+=1,所以用J=4，当且仅当m=：时取等号，Z-IogJffJ1Og细IoganHlog?；=2,故填一2.类型一利用根本不等式求最值(1)求函数y=(-1)的值域.解：.*x1,.x+l0,令?=x+1,那么n0,且y=n
4、+522+5=9,当且仅当机=2时取等号，故)in=9.又当加一+8或?一0时，y-+8,故原函数的值域是9,).(2)以下不等式一定成立的是()A.lglgx(xO)B.sinx2(xZc,Z)C/+12x(R)D.l(xR)解：A中，x2+t(xO),当X=时，x2+=xB中，siu+三2(SiIlXW(0,|)；si11v-2(sirw-1,0).C中，x2-2W+1=(M1)20(R).D中，*jG(O,1(XeR).故C一定成立，应选C.点拨：fjhvC这里(1)是形如Ar)=r+d-的最值问题,只要分母x+dO,都可以将大x)转化为;(x)=a(x+J)+冒+/l(这里eO:假设e
5、O,那么函数大0=的最小值为._尸一4f+1I解：门0,0)=+-4-2,当且仅当f=1时，T(f)min=-2,故填一2.(2)x0,y0,且2x+8y-xy=O,求：(I)xy的最小值；(II)xy的最小值.解：()由2x+8y-y=0,得+=1,又x0,y0,那么1=+22=,得个264,当且仅当x=4y,即X=I6,y=4时等号成立.(11)解法一：由2x+8yJty=O,得X=,*.x0,j2,那么x+y=y+=(j-2)+1018,当且仅当y-2=,即y=6,X=I2时等号成立.解法二：由2x+8y-y=0,得+=1,那么x+y=(x+y)=10+N10+2=18,当且仅当y=6,
6、X=I2时等号成立.类型二利用根本不等式求有关参数范围假设关于X的不等式(l+K)xWK+4的解集是M,那么对任意实常数底总有()A.2M,0MB.2W,04MC.2GM,0MD.2W,OGM解法一：求出不等式的解集：(1+K)XWk4+4OW=(K+l)+-2=xW=2-2(当且仅当尸=一1时取等号).解法二(代入法)：将x=2,X=O分别代入不等式中，判断关于衣的不等式解集是否为R.应选A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用别离变量转化为恒成立问题，对于恒成立的不等式，一般的解题方法是先别离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)(x)恒成立O
7、a危)皿；(2)V/&)恒成立台(x)min;(4)V(x)有解0VU)max.应3函数/(x)=er+er,其中e是自然对数的底数.假设关于X的不等式，孤X)Wer+m-1在(0,+8)上恒成立，求实数,的取值范围.解：由条件知由(e*+eF-l)er-1在(0,+8)上恒成立.令r=e*(x0),那么，1,且-W一产_+=_j对任意11成立.f-l+-+1当且仅当r=2,即X=In2时等号成立.故实数m的取值范围是(一8,-|.类型三利用根本不等式解决实际问题IM围建一个面积为360?的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个
8、宽度为2m的进出口，如下图，I日墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为n单位：元).(I)将y表示为上的函数；(2)试确定X,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.解：(1)如图，设矩形的另一边长为am,那么y=45x+180(-2)+1802a=225x+360a一360.由Xa=360,得a=丹,360?所以y=225x+=-360(x22).20,225x+y-22253602=10800,.产225叶学一360210440,当且仅当225x=平，即x=24时等号成立.答：当x=24m时，修建围墙
9、的总费用最小，最小总费用是10440元.庭如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从8孔排出，设箱体的长度为m，高度为bm,排出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积cb成反比.现有制箱材料60m2,问a,b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小（A,8孔面积忽略不计）解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y=*,其中女是比例系数且k0.依题意要使y最小，只需浦最大.由题设得：48+2b+2W60（0,力0）,即+230-（0,0）.V+2622,.22+b这30,得0l,那么+的最小值是（）A.2B.C.3D
10、.解：.l,.+=1+122+1=2+1=3,当=2时等号成立.应选C.2 .设0,R,b,且+b=2,那么以下各式正确的选项是（）+/+a22a1+b2A,ab1-B.ab12C.1ab0,因此/（x）=+（2-元）N2=2,当且仅当=2一无时上式取等号.而此方程有解x=l（-8,2）,因此穴x）在（一8,2）上的最小值为2,应选C.4 .（）要制作一个容积为4,/,高为Im的无盖长方体容器，该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，那么该容器的最低总造价是（）A.80元B.120元C.160元D.240元解：假设底面的长、宽分别为Xm,m,由条件知该容器的最低总造价为y=
11、80+20x+160,当且仅当底面边长x=2时，总造价最低，且为160元.应选C.5 .以下不等式中正确的选项是（）A.假设a,bWR,那么介注2嘲二!=28 .假设X,y都是正数，那么lga+lgy22SgxIgyC.假设x0,b0,所以+=l(0,b0),+b=(+b)=7+N7+2=7+4,当且仅当=时取等号.应选D.7 .假设对任意x0,Wa恒成立，那么a的取值范围是.解：因为x0,所以x+22(当且仅当x=l时取等号)，所以有=W=,即的最大值为，故填Z.8 .0设wR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线m-ym+3=0交于点P(x,y),那么1B4PB的最大值是.解：易知定点A(0,0),B(l,3).且无论，取何值，两直线垂直.所以无论P与A,8重合与否，均有F+PB2=IABl2=10(P在以AB为直径的圆上).所以P8wg(2+P82)=5.当且仅当T=P8=/时，等号成立.故填5.9 .(l)0x,求x(4-3x)的最大值；(2)点(尤，y)在直线x+2y=3上移动，求2*+4、的最小值.解：(l)0x,.0V3V4.*x(43x)=(3x)(43
