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1、外接球专项训练参考答案一.选择题1、球0的半径为2,圆M和圆N是球的互相垂直的两个截面,圆M和圆N的面积分别为2%和万，那么IMNl=OA.IB.3C.2D.5【答案】D1/2+1=R2【解析】因由球心距与截面圆的半径之间的关系得:,=J12+J=8-3=5,故dl+2=R-一MN=J片+理=6应选考点：球的几何性质及运算。2、在三棱锥-AC中，Jn*.1*-J=K=2,4C中点为M，那么此三棱锥的外接球的外表积为OA.B.2哥&6石D.h【答案】C【解析】如图，易知8M=(AC=1,PM=22-l=3,由余弦定理可得PB=Jl+3-2Q*等=2,因PB2+Ap=PA2,故P8_LA4；同理P
2、2+CB2=Pd,故P8_L8C,所以尸,A,8,C是棱长为Ji的正方体的四个顶点，其外接球就是正方体的外接球，半径为R=F,所以外接球的面积为S=4;FXg=6%，应选Co4考点：球与几何体的外接和外表积的计算公式。3、球0的球面上有四点S,A,8,C,其中O,A,8,C四点共面，ABC是边长为2的正三角形，面SAZ?_L面ABC,那么棱锥S-ABC的体积的最大值为0A.-y-B.Jc.23D.4【答案】A解析】设球心和ABC的外心为0，延长CO交AB于点P,那么由球的对称性可知PDAB,继而由面SAB_L面ABC可得PDLMBC所在的平面，所以PO是三棱锥的高；再由0,A8,C四点共面可知
3、。是ABC的中心，故OP=乎,R=手，当三棱锥的体积最大时，其高为Po=J(W)2-(f-=1,故三棱锥的体积的最大值为gx宇x22XI=乎，应选A。考点：几何体的外接球等有关知识的运用。【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是高中数学中题的重要题型，也高考和各级各类考试的难点内容。此题将三棱锥与球外接整合在一起考查三棱锥的体积的最大值无疑是加大了试题的难度。解答此题时要充分利用题设中提供的有关信息,先确定球心。的位置是三角形ABC的外心，再求外接球的半径R=W-并确定当Po为三棱锥的高时，该三棱铢的体积最大并算出其最大值4、在三棱锥P-ABC中，F4L面ABC,PCLAB,假设三棱锥PA
4、BC的外接球的半径是3,S=Sbc+Sbp+Sacp,那么S的最大值是0A.36B.28C.26D.18【答案】D【解析】因为4_L面4BC,所以Q4_LA4,P4_LAC,又因为PC_LAM,所以A3_L平面PAC,所以ABAC,所以有A82+AC2+a尸=(2x3)2=36,那么由根本不等式可得SSc+Slip+Scp=ABAC+ABAP+APAC）AB-+AC2+AP-）=?,当且仅当AB=AC=AP时等号成立，所以S的最大值是36,应选D.考点：1线面垂直的判定与性质；2.长方体外接球的性质：3.根本不等式.【名师点睛】此题考查线面垂直的判定与性质、长方体外接球的性质、根本不等式，中档
5、题；立体几何的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值或利用根本不等式来求解.5、如下图是一个几何体的三视图，那么这个几何体外接球的外表积为（）A.8乃B.16;rC32;rD.64乃【答案】C【解析】几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4）中心，所以半径为2近，外表积为4仪2应产=32，选C考点：三视图，外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为
6、平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体量的关系，列方程（组）求解.6、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，那么该几何体外接球的外表积为O20质CC19乃A.B.8/rC.9/rD.33【答案】D【解析】由三视图可知，这个几何体是三棱锥.如下图，0为球心，E为等边三角形BCo的外心,由图可知N =0尸2+c/21919;TV，故外接球面积为丁 123考点：三视图.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为X,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质
7、求；而其它不规那么图形的外心，可利用正弦定理来求.假设长方体长宽高分别为a/,c那么其体对角线长为JY+U+M:长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.7、如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四面体的三视图，那么该四面体的外接球半径为OA.2B.C.JiTD-2J3【答案】C【解析】从三视图可以看出这是一个正方体上的一个四面体，如图，其中正/N尸的边长为4,其外接圆的半径4=等，同样正AM|N6的外接圆的半径是4=符，由球的对称性可知球心O必在正方体的对角线AC上，且Aa=Z=尊,CQ=必=手，该球经过
8、六个点M、N,P,M,N,P,设球心。到平面N出的距离为4;球心0到平面NP的距离为乙，而两个平面MN尸和/N/之间的距离为d=4j-(/J+%)=T=4+%,那么由球心距、垂面圆半径之间的关系可得*=片+总内=/+片，所以d；-d:=L-G2=8,即d；-d：=8,又%+%=华，将其代入/-:=8可得乙一4=2石，由此可得2=W,所以f2-+=y+=y=Jl1所以外接球的半径我=VTf,应选C.考点：三视图的识读和理解及几何体体积的计算.【易错点晴】此题以网格纸上的几何图形为背景,提供了一个三棱锥的几何体的三视图,要求求其外接球的半径,是一道较为困难的难题.难就难在无法搞清其几何形状,只知道
9、是一个三棱锥(四面体)是没有任何用的通过仔细观察不难看出这是一个正方体上的一个四面体，如图，正/NP的边长为4I,其外接圆的半径4皆，同样正AMN/的外接圆的半径是G=,，由球的对称性可知球心。必在对角线上，且经过六个点M,N,P,M,M/,设球心。到平面AMN/的距离为4；球心0到平面,NP的距离为4:,而两个平面MNP和M1N1P1之间的距离为d=4石-（九+他）=、一=4+弘，那么由球心距垂面圆半径之间的关系可得R2=drR2=d；十,所以d；一42=02一g=8,即-J12=8,又4+&=丁，将其代入*-年=8可得4-4=2后，由此可得乙=*，所以解=4+=-+-=-=11,所以外接球
10、的半径A=Jn,其中计算%,他时可用等积法进行.8、一直三棱柱的每条棱长都是3,且每个顶点都在球0的外表上，那么球0的半径为OA.B.6C.VD.3【答案】A片=（?+（也.3户nR=变【解析】球0的半径满足232考点:外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体量的关系，列方程（组）求解.9、假设某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和正昆图
11、图I侧视图如下图，那么此几何体的外表积A.24B.24n+8JiC,24K+4侦UD.32答案：C10、三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2,SA=S8=SC=2,那么三棱锥的外接球的球心到平面A8C的距离是（）（八）y-(B)1(C)3(D)竺【答案】A【解析】因为三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2,.S在面ABC内的射影为AB中点，.SH_L平面ABC,.S上任意一点到AB,C的距离相等.SH=6CH=I,在面SHC内作SC的垂直平分线MO,那么O为S-ABC的外接球球心.SO=之陋OH=立SC=2,.SM=1,NQSM=3
12、0。，一33,即为。到平面ABC的距离，应选A.考点：球内接多面体；点到面的距离的计算.名师点睛】(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系.(2)假设球面上四点P,A,B,C中PA,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条恻棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.(3)一般三棱锥的外接球的球心可通过其中一个面的外心作此平面的垂线，那么球心必在此垂线上.11、三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，A8=2,SA=SB=SC=2,那么三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是()t(B)1(C)收(D)笠【答案】A
13、12、某四棱锥的三视图如下图，那么该四棱锥外接球的外表积是()71734JA.乃B.34C.乃D17J34r2 3【答案】B【解析】几何体为一个四棱锥，其顶点为长方体四个顶点，长方体的长宽高为4,3,3,因此四棱锥外接球直径为长方体对角线，即2R=j32+32+42,外表积是4/TR2=34%.选B.考点：三视图【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄消球的半径（直径）与该几何体量的关系，列方程（组）求解.13
14、、三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2,那么此棱锥的体积为）&妻A.-B.C.D.6632t答案】A【解析】连接OAo民。e，那么由得OA=OB=OC=A8=8C=AC=1,可知三棱锥O-ABC是棱长为1的正四面体，其高为手，那么三棱锥s-ABC的高为手，所以三棱锥S-ABC的体积为XX-X-.3436考点：三棱锥外接球.14、半径为1的三个球AB,C平放在平面a上，且两两相切，其上放置一半径为2的球0，由四个球心AB,C,0构成一个新四面体，那么该四面体外接球0的外表积为（）243A. 冗23243 C 1K69B. 乃 C.
15、97T D. 一-乃9223【答案】A【解析】由条件可知，该四面体是底面边长为2的等边三角形，且侧棱长为3.该四面体外接球半径计算公式为R=匕生，其中X为底面外接圆半径，力为高此题中X=手,人=牛，故4 23R =漫 4百=4公.6946Z +381-69243熏4-23-2323考点：球的内接几何体.15、在正三棱锥S-ASC中，M是SC的中点，且AM_LS8,底面边长AB=20,那么正三棱锥S-ABC的外接球的外表积为()A.6tB.12tC.32乃D.36;T【答案】【解析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出ACj_SB,结合SBJ_AM,得到SBj_平面SAC,因此可得SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直.最后利用公式求出外接圆的直径，结合球
