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1、1 ;,:iiiiiaNFmM 设质点系受理想约束，任取一质点：根据达兰贝尔原理，加上惯性力，则：0 giiiFNF0 giiiFNF对整个质点系：给质点系任一虚位移，应用虚位移原理，有：0)(igiiirFNF对理想约束，有0 iirN0)(igiirFF0)(iiiramF或：3.1 虚功形式的动力学方程虚功形式的动力学方程动力学普遍方程动力学普遍方程 第三章第三章 动力学方程的三种基本形式动力学方程的三种基本形式2 解析式：0)()()(iiiiiiiiiiiizzmZyymYxxmX 即：受理想约束的质点系，在运动的任一瞬时，作用于质点系的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的元功之和为零
2、。动力学普遍方程，又称达兰贝尔拉格朗日方程。不考虑约束反力。解题时，解题时，一般不必按上式建立方程，只需先虚加惯性力，只需先虚加惯性力，将动力学问题变成形式上的解静力学问题，然后用虚位移原然后用虚位移原理求解。理求解。3 例例6 三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于光滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为。试求三棱柱A的加速度。解解：研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，具有两个自由度。mgQMgPmaFmaFFFFMaFrgBrgBegBrgBegBgA,给A向左的虚位移rA，B相对A的虚位移rBrABeBrBeBrrrrr,4 由动力学普遍方程：0)sincos()
3、cos(BrgBrgBeBegBrgBeAgArFQFrFFrF因为 为互不相关的 独立虚位移，所以 rBArr,0sincos0cosrrmamgmamamaMa解得：gmMma)sin(22sin 20)sincos()cos(BrrArrmamgmarmamaMa即：53.2 虚功率形式的动力学方程虚功率形式的动力学方程3.2.1 虚功率形式的动力学方程虚功率形式的动力学方程质点系：n个质点，d个完整约束，g个非完整约束。任意瞬时，质点Mi：主动力 ，约束力 ，惯性力 ，则：iFiNiigiamF0giiiFNF在此瞬时和相应的位形上，给Mi虚速度 ，则Mi的虚功率ir 0)(igiii
4、irFNFP对质点系：60)(11igiiininiirFNFP由于虚速度与虚位移的方向相同，所以，对应理想约束：01iinirN于是上式成为：)1.2.3(0)(11iiininiiramFP这就是虚功率形式的动力学方程虚功率形式的动力学方程，也称若丹方程若丹方程。即：具有理想约束的质点系，在任意瞬时和位形上，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚速度上所做的元功率之和等于零。其解析式：70)()()(1iiiiiiiiiiiinizzmZyymYxxmX (3.2.2)解题时，同动力学普遍方程。解题时，同动力学普遍方程。一般不必按上式建立方程，只需画上主动力，再虚加惯性力及惯性力偶，
5、然后同解静力学问题一样用虚功率原理求解。例例 升降机。被提升的重物A重P1，平衡锤B重P2，轮C、D半径均为r，均重Q，可看作均质圆盘，带的重量不计。轮C上作用有转矩M，试求A的加速度。解解：设A向上的加速度为aA，则 aB=aA，e1=e2=aA/r8虚加惯性力及惯性力偶如图。其中,1AgAagPFABgBagPagPF22AgDgCagQrrgQMM2212e给A虚速度vA，则rvvvADCAB,由式(3.2.1)0)()()(21DgDCgCBgBAgAMMMvFPvFP02)2()()(1211rvagQrrvagQrMvagPPvagPPAAAAAAAA即902)2()()(1211
6、rvagQrrvagQrMvagPPvagPPAAAAAAAA即约去虚速度vA，得grQPPrPPMaA)()(2112例例 椭圆摆由物块M1和摆锤M2用直杆铰接而成，可在光滑水平面滑动，摆杆则可在铅直面内摆动。设M1、M2的质量分别为m1、m2；杆长l，质量不计。试建立系统的运动微分方程。10解解：将物块及摆锤视为质点。系统为两自由度，取广义坐标x1、。x2=x1-lsin，y2=lcos 虚速度（定常约束：实速度是许多虚速度中的一个）sin,cos212lylxxcossin,sincos22212 llyllxxsin,0,cos2112lyylxxX1=X2=0，Y1=P1=m1g，Y
7、2=P2=m2g，由式(3.2.2)有0)()0()0()0(222222211111yymgmxxmygmxxm 110)sincos(sincos)(22121222121 glmlmx lmxlmlmxmm将 代入并整理，得2222,yxyx ,1x由于 彼此独立，欲上式成立，必须0sincos0sincos)(2212222121glmlmx lmlmlmxmm 这就是系统的运动微分方程。3.2.2 用动量和冲量表述的动力学方程用动量和冲量表述的动力学方程)1.2.3(0)(1iiiniramF虚功率形式的动力学方程：12在tt+t 时间内，对质点Mi：)()d(dd)(iiiiiiu
8、vittiiittvumSvmtFtamFiitttFSittidt其中作用在Mi质点上主动力的冲量将虚速度用 表示，则式(3.2.1)为iu)5.2.3(0)(1iiiiiniuvumS这就是用动量和冲量表述的动力学方程。可用于碰撞问题。在碰撞问题中，主动力很大，作用时间很小，可认为位移为零但速度有变化，故用虚速度比虚位移优越。一、一般情形一、一般情形13二、转动的情形二、转动的情形设质点系绕固定点O转动，理论力学知：虚速度与虚角速度的关系为：)6.2.3(iirr)(0)()(1AramFiiini由矢量运算规则：)()()(bacacbcba)()()(iiiiiiamFrramFOii
9、iiiiiiiiLtvmrttvmramrdd)(ddd)(d)(又代入式(3.2.1)，得14)(iOiiFmFr所以式（A）为)7.2.3(0dd)(1OiiOniLtFm动量矩在tt+t 时间内积分，得)9.2.3(0)()(1OiOiiOnilLSm这就是用动量矩和冲量矩表述的动力学方程。其中：)8.2.3(d)()(tFmSmiOttiOt冲量矩lO，LO为碰撞前、后的动量矩。15)10.2.3(0)()(1CiCiiCnilLSm对质心C，同样有：如果是绕定轴z或绕过质心C的轴转动，则)11.2.3(0)()(1iizizniJSm)12.2.3(0)()(1iiCziCzniJS
10、mJ转动惯量，i、i 碰撞前、后的角速度。三、平面运动的情形三、平面运动的情形将平面运动分解为随质心的平动和绕质心的转动，由式(3.2.5)、(3.2.12)，有16)13.2.3(0)()()(11iiCziCzniCiCiCiiiniJSmuvumS式中vCi、uCi为碰撞前、后第i个刚体质心Ci的速度，i及 uCi为给定瞬时和位形上第i个刚体的虚角速度及质心的虚速度。例例 质量m、边长b的均质正方形块以v1平移下落，其角A与凸缘B相撞，假设碰撞是完全弹性的，求此方块碰撞后的角速度和质心的速度。(P108例3-3)17解解：平面运动，f=3，广义坐标：xC、yC及转角。（1）计算角A碰撞后
11、的速度uAx、uAyA碰撞前：vAx=0，vAy=-v1 （a）B碰撞前后速度均为零，即vBx=0，vBy=0；uBx=0，uBy=0。完全弹性碰撞，恢复系数 kx=1，ky=1。由碰撞公式：ByAyAyByyBxAxAxBxxvvuukvvuuk,解得 uAx=0，uAy=v1 （c）18（2）运动分析碰撞前，正方形作平移：vCx=0，vCy=-v1，=0 （d）以质心C为基点，则A点的速度（图d）：碰撞后，正方形作平面运动，设质心速度及角速度为：uCx，uCy，（图c）ACCAuuu投影，有 （e）45sin45cosACCyAyACCxAxuuuuuu)(22fbuAC其中19将式（c）
12、、（f）代入（e），解得 uCx=-0.5b，uCy=v1+0.5b (g)对式（g）一阶等时变分，得虚角速度与质心虚速度的关系：uCx=-0.5b，uCy=0.5b (h)(3)受力分析重力非碰撞力，可忽略。角A承受碰撞力，对应为Sx、Sy。(4)建立碰撞过程的动力学方程本题为刚体的平面运动，只有一个刚体（i=1），由式(3.2.13)得:200)()()(11iiCziCzniCiCiCiiiniJSmuvumS0)()()()(CiCCyCyCyyCxCxCxxJSmuvumSuvumS将式(d)、(g)、(h)及代入上式，并简化，得（注意mC的正向）261,22)(mbJbSbSSmC
13、yxiC021)234(1mbvb21021)234(1mbvb由于的任意性，02341vb)(231顺时针得bv)(41),(43:)(11vuvugCyCx由式223.3 高斯形式的动力学方程高斯形式的动力学方程3.3.1 虚加速度虚加速度一、加速度的约束方程一、加速度的约束方程 设质点系：n个质点、d个完整约束、g个非完整约束。约束方程的统一形式为式(1.1.20)、(1.1.21)。为方便起见，选坐标分解形式(1.1.21)：)21.1.1(0d)ddd(1tAzCyBxAiiiiiini(=1，2，d+g)(3.3.1)改写为：0dd31tAxArnrr23)2.3.3(031AxA
14、rnrr式中系数Ar、A都是时间和各质点位形的函数。故方程除以dt，得约束方程限制质点系的位移和速度，求一阶导：0)()(313131tAxxAxtAxxAxAsnssrrsnssrrnrr 03131313131tAxxAxtAxxxAxAsnssrnrrrsnrnssrrnrr 即(=1，2，d+g)(3.3.3)这就是加速度的约束方程，它限制质点系的加速度。24二、实加速度二、实加速度 质点系在真实运动中，在给定瞬时和位形上，各质点的加速度，称为实加速度，用 表示。它要满足运动微分方程和运动初始条件，又要满足加速度约束方程(3.3.3)。xr 或三、可能加速度三、可能加速度 质点系在可能
15、运动中，在给定瞬时和位形上，各质点的加速度，称为可能加速度，用 表示。它要满足加速度约束方程，与(3.3.3)类同，有*xr 或0*31*31*3131*31tAxxAxtAxxxAxAsnssrnrrrsnrnssrrnrr(=1，2，d+g)(3.3.4)可能加速度有很多组。25四、虚加速度四、虚加速度同一瞬时、同一状态（位形和速度），两个可能加速度之差。将 分别代入式(3.3.4)，相减，得*,rrxx 0)(*31rrnrrxxA )5.3.3(.,21031），（或gdxArnrr)6.3.3(*rrrxxx 其中称为质点系第r个坐标所对应的虚加速度的分量。第i个质点的虚加速度：)7
16、.3.3(21kxjxixrrrri 26“”代表有限变更。因此，给虚加速度定义为：同一瞬时，质点系中各质点从同一状态出发的可能加速度的变更。也称为高斯变更。对照式(3.3.5)，可得)8.3.3(01iniir 比较质点系的虚位移、虚速度、虚加速度的约束方程(1.4.9)、(1.4.16)、(3.3.8),可知，它们有相同的形式。虚加速度的性质：约束允许的纯几何量；比较4、5式可知，质点的虚加速度一般不能视为可能发生但尚未发生的可能加速度；如果约束为曲面，则虚加速度位于曲面在质点的切平面内。273.3.2 高斯形式的动力学方程高斯形式的动力学方程 设质点系：n个质点、d个完整约束、g个非完整约束。仿照3.2.1推导虚功率形式的动力学方程的方法，可得)11.3.3(0)(1iiiniramF 这就是高斯形式的动力学方程。
