12000-2-2013函数二模.docx

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1、2013年高三数学二模函数大题1 .静安、杨浦、青浦宝山已知函数Ax)=/+。.(1)若函数y=(X)的图像过原点,求/(X)的解析式:2(2)若F(X)=是偶函数,在定义域上F(X)2X恒成立,求实数。的取值bx+范围;2 .(虹口)定义域为。的函数/(幻,如果对于区间/内(q)的任意两个数占、它都有/(上爱)g(x)+02)成立,则称此函数在区间/上是“凸函数”.(1)判断函数/(外=-,在R上是否是“凸函数”,并证明你的结论;(2)如果函数/(x)=V+q在区间口,2上是“凸函数”,求实数G的取值范围;X3 .(闵行)已知函数/(x)=xx-LxR.4(1)当。=1时,指出/(X)的单调

2、递减区间和奇偶性(不需说明理由);(2)当。=1时,求函数y=(2)的零点;4 .(普陀)已知0且al,函数F(X)=IOg.(x+1),g(x)=IogejI-X记尸(X)=2(x)+g(x)(1)求函数/(X)的定义域。及其零点;(2)若关于X的方程户(X)=O在区间0,1)内有解,求实数6的取值范围.5 .(长宁)设函数/(x)=/-(Z-l)4T(。O且wl)是定义域为R的奇函数.(1)求A的值;(2)若/(l)+6 .(闸北)设定义域为R的函数/(X)=7为偶函数,其中。为实常数.4+4(1)求。的值,指出并证明该函数的其它基本性质;(2)请你选定一个区间O,求该函数在区间。上的反函

3、数/().7.(浦东)设函数f(x)=(%-)x+b(1)当=2,b=3,画出函数/)的图像,并求出函数)的零点;(2)设6=-2,且对任意x(-8,l,/(x)a(x-1)x2+2当X=I时=R当xl时,tz=(x-l)+-+2,a23+2x-1x-1当XVl时,=(x-l)+-+2,a-23+2x-1x-1综上:2+22-3+2(3)奴X)=/(/(X)-3=/+(2-)x2+(2-)/.(x)是偶函数,要使e(x)在上是减函数在(-1,0)上是增函数,即(x)只要满足在区间(1,g。)上是增函数在(OJ)上是减函数.令/=/,当(,l)时r(,l);(l,+ooM(l,+oo),由于x(

4、,+)时,t=X2是增函数记(x)=H(t)=t2+(2-)t+(2,故(x)与Ha)在区间(,+)上有相同的增减性,当二次函数Q)=尸+(2-2+(2-;I)在区间(1,+8)上是增函数在(Oj)上是减函数,其对称轴方程为r=l=a=4.22 .(虹口)定义域为。的函数/(x),如果对于区间/内(q。)的任意两个数玉、它都有f()g(M)+(x2)成立,则称此函数在区间/上是“凸函数”.(1)判断函数/(幻=-,在R上是否是,凸函数”,并证明你的结论;(2)如果函数/(x)=V+在区间口,2上是“凸函数”,求实数。的取值范围;X(3)对于区间c,刈上的“凸函数f(x)f在c,d上的任取修,x

5、2,与,证明:,y十0)J-()+/(2)+/(Ar).解:(1)设不,马是任意两个实数,则有/(FC)=一(;)2=l(-12-2xix2-x)1(-x12-x2)1/(1)+/(X2).函数/(%)=-在R是“凸函数,.4分(2)若对于工2上的任意两个数占,勺,均有了(甘殳)之3(项)+/。2)成立,即(L)2X12+-)(%;+-),2$+%2X1X22整理得(XI-X2)2-(石一12)2再42(再+%2)若阳二%2,。可以取任意值若XlHA:2,得-g再/区+12),v-8-x1x2(x1x2)-l,/.a-S.综上所述得-8.10分(3)当k=1时由已知得/(七区)I/(X1)+/

6、(/)成立假设当上=m(m)时,不等式成立即/J+;:+)5)+f(X2H-+/(凡。)成立那么,由CX1 +x2 + + x9m , -二d , c2i+1 +t+2 + + y2e+2 Vd2加得Ql与=i+0*+:F)/(.”FS)Ng表/(X1)+f(x2)+(Xr)+U2m+1)+/U2m+2)+f(x2n,a)二击(再什/+/时“),即Z=m+1时,不等式也成立.根据数学归纳法原理不等式得证.18分3 .(闵行)已知函数/(x)=x工一。I一L,R.4(1)当=1时,指出/(x)的单调递减区间和奇偶性(不需说明理由);(2)当。=1时,求函数y=(2)的零点;(3)若对任何x0,l

7、不等式/(x)0恒成立,求实数。的取值范围.解(1)当=l时,函数的单调递减区间为-,12分2函数/(幻既不是奇函数也不是偶函数.(2)当=l时,f(x)=xx-,42分2分由/(2*)=0得2|2、一1|一二02x 12a14即?1或,1(2t)2-2-=0(2)2-2+-=04I4解得2,=子或1子(舍),或2丹所以X=Iog2=Iog2(1+yf2)-1或X=1.(3)当X=O时,取任意实数,不等式/(x)0恒成立,故只需考虑x(0,l,此时原不等式变为x-白BPX-X+2分4x4x故(“一;)Hma(X+;)min,XG(,l4x4xI3又函数g(x)=X-元在(0,1上单调递增,*一

8、元)ma=g(D=-2分函数力(X)=克+-在Io,上单调递减,在上单调递增,4xI22(x+f)min=献;)=1;所以;0且l,函数f(x)=log/x+l),g(x)=IogaI-X记尸(X)=2f(%)+g(x)(1)求函数厂(幻的定义域。及其零点;(2)若关于X的方程F(X)-m=O在区间0,1)内有解,求实数团的取值范围.解:(1)F(x)=2f(x)+g(x)=2logrt(x1)+Ioga(0且。:1)-xx+1O,解得一IVXV1,所以函数/(X)的定义域为(一LI)2分l-xO令尸(X)=0,则21og(x+l)+log4-=O(*)3分1-X方程变为Ioga(X+1)2=

9、IogQr)(x+l)2=l-x,即f+3=05分解得N=0,/=一3,经检验X=-3是(*)的增根,所以方程(*)的解为X=O即函数尸(M的零点为0.6分(2)m=21ogrt(x+1)Iogrt(0x1,则m0,方程有解13分若0v0且l)是定义域为R的奇函数.(1)求Z的值;(2)若/(l)0,试说明函数/(x)的单调性,并求使不等式/(一+a)+(4-X)Vo恒成立的r的取值范围.解:(1)由题意,对任意xR,/(-x)=-(x),即。1一出一1)4、=一罐+(火一I)”。2分即(A-IXa*+a-x)-ax+-r)=0,k-2)(ax+4l)=0,因为X为任意实数,所以2=2.4分解

10、法二:因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以/(0)=0,即1一伏一I)=O,k=2.当左=2时,f(x)=ax-a-x,f(-)=a-x-ax=-f(x)t/(x)是奇函数.所以攵的值为2.4分(2)由(1)知f(x)=优一。I由/(l)v,得。一,0,解得0vl.a6分当Ovivl时,y=aA是减函数,卜二一。一、也是减函数,所以/。)=优一。-A是减函数.7分由/*2+a)+(4幻0,所以/(冗2+a)_/(4_此,8分因为f(x)是奇函数,所以/(Y+a)%一4即DX+40对任意xR成立,11分所以4二-l)2-160,12分解得-3vrv5.13分所以,/的取值范围是(一3,5).1

11、4分6 .(闸北)*x+l设定义域为R的函数/(x)=7为偶函数,其中。为实常数.。+4(1)求。的值,指出并证明该函数的其它基本性质;(2)请你选定一个区间。,求该函数在区间。上的反函数/(/).x+10r+1解:(1)由题意,对于任意的xR,都有-=,a+4-。+4即,卜一1)(4+1)=()对1恒成立,所以,a=.(2分)另解:对任意的xR,都有/(-X)=/)成立,所以/(T)=/,解得Q=L分)u1)-u2)=2叼+|2(2._2司)(2演+占-1)+4*2-(l+4A,)(l+4r2)设MW0,(1+4X1+42)0,所以,对任意的再,当(一8,),2/2,2,+2-10有/(七)一/。2)0,即f(x)故,/(X)在(-8,0)上是单调递增函数.又,对任意的芭,2(,+冷),芭M-l0有项)一/(马)0,即/(Xl)/(%2)故,/(X)在(0,+0。)上是单调递减函数.2x+l2对于任意的xR,/(x)=-

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