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1、2013年高三数学二模函数大题1 .静安、杨浦、青浦宝山已知函数Ax)=/+。.(1)若函数y=(X)的图像过原点，求/(X)的解析式：2(2)若F(X)=是偶函数，在定义域上F(X)2X恒成立，求实数。的取值bx+范围；2 .(虹口)定义域为。的函数/(幻，如果对于区间/内(q)的任意两个数占、它都有/(上爱)g(x)+02)成立，则称此函数在区间/上是“凸函数”.(1)判断函数/(外=-，在R上是否是“凸函数”，并证明你的结论；(2)如果函数/(x)=V+q在区间口，2上是“凸函数”，求实数G的取值范围；X3 .(闵行)已知函数/(x)=xx-LxR.4(1)当。=1时，指出/(X)的单调
2、递减区间和奇偶性(不需说明理由)；(2)当。=1时，求函数y=(2)的零点；4 .(普陀)已知0且al,函数F(X)=IOg.(x+1),g(x)=IogejI-X记尸(X)=2(x)+g(x)(1)求函数/(X)的定义域。及其零点；(2)若关于X的方程户(X)=O在区间0,1)内有解，求实数6的取值范围.5 .(长宁)设函数/(x)=/-(Z-l)4T(。O且wl)是定义域为R的奇函数.(1)求A的值；(2)若/(l)+6 .(闸北)设定义域为R的函数/(X)=7为偶函数，其中。为实常数.4+4(1)求。的值，指出并证明该函数的其它基本性质；(2)请你选定一个区间O,求该函数在区间。上的反函
3、数/().7.(浦东)设函数f(x)=(%-)x+b(1)当=2,b=3,画出函数/)的图像，并求出函数)的零点；(2)设6=-2,且对任意x(-8,l,/(x)a(x-1)x2+2当X=I时=R当xl时，tz=(x-l)+-+2,a23+2x-1x-1当XVl时，=(x-l)+-+2,a-23+2x-1x-1综上：2+22-3+2(3)奴X)=/(/(X)-3=/+(2-)x2+(2-)/.(x)是偶函数，要使e(x)在上是减函数在(-1,0)上是增函数，即(x)只要满足在区间(1,g。)上是增函数在(OJ)上是减函数.令/=/,当(,l)时r(,l);(l,+ooM(l,+oo),由于x(
4、,+)时，t=X2是增函数记(x)=H(t)=t2+(2-)t+(2，故(x)与Ha)在区间(,+)上有相同的增减性，当二次函数Q)=尸+(2-2+(2-;I)在区间(1,+8)上是增函数在(Oj)上是减函数，其对称轴方程为r=l=a=4.22 .(虹口)定义域为。的函数/(x),如果对于区间/内(q。)的任意两个数玉、它都有f()g(M)+(x2)成立，则称此函数在区间/上是“凸函数”.(1)判断函数/(幻=-，在R上是否是，凸函数”，并证明你的结论；(2)如果函数/(x)=V+在区间口，2上是“凸函数”，求实数。的取值范围；X(3)对于区间c,刈上的“凸函数f(x)f在c,d上的任取修，x
5、2,与，证明：,y十0)J-()+/(2)+/(Ar).解：(1)设不，马是任意两个实数，则有/(FC)=一(；)2=l(-12-2xix2-x)1(-x12-x2)1/(1)+/(X2).函数/(%)=-在R是“凸函数，.4分(2)若对于工2上的任意两个数占，勺，均有了(甘殳)之3(项)+/。2)成立，即(L)2X12+-)(%；+-)，2$+%2X1X22整理得(XI-X2)2-(石一12)2再42(再+%2)若阳二%2，。可以取任意值若XlHA：2，得-g再/区+12)，v-8-x1x2(x1x2)-l,/.a-S.综上所述得-8.10分(3)当k=1时由已知得/(七区)I/(X1)+/
6、(/)成立假设当上=m(m)时,不等式成立即/J+；：+)5)+f(X2H-+/(凡。)成立那么，由CX1 +x2 + + x9m , -二d , c2i+1 +t+2 + + y2e+2 Vd2加得Ql与=i+0*+：F)/(.”FS)Ng表/(X1)+f(x2)+(Xr)+U2m+1)+/U2m+2)+f(x2n,a)二击(再什/+/时“)，即Z=m+1时，不等式也成立.根据数学归纳法原理不等式得证.18分3 .(闵行)已知函数/(x)=x工一。I一L,R.4(1)当=1时，指出/(x)的单调递减区间和奇偶性(不需说明理由)；(2)当。=1时，求函数y=(2)的零点；(3)若对任何x0,l
7、不等式/(x)0恒成立，求实数。的取值范围.解(1)当=l时，函数的单调递减区间为-,12分2函数/(幻既不是奇函数也不是偶函数.(2)当=l时，f(x)=xx-,42分2分由/(2*)=0得2|2、一1|一二02x 12a14即？1或，1(2t)2-2-=0(2)2-2+-=04I4解得2，=子或1子(舍)，或2丹所以X=Iog2=Iog2(1+yf2)-1或X=1.（3）当X=O时，取任意实数，不等式/（x）0恒成立,故只需考虑x（0,l,此时原不等式变为x-白BPX-X+2分4x4x故（“一；）Hma（X+；）min，XG（，l4x4xI3又函数g（x）=X-元在（0,1上单调递增，*一
8、元）ma=g（D=-2分函数力（X）=克+-在Io,上单调递减，在上单调递增，4xI22（x+f）min=献;）=1；所以;0且l,函数f(x)=log/x+l),g(x)=IogaI-X记尸(X)=2f(%)+g(x)（1）求函数厂（幻的定义域。及其零点;(2)若关于X的方程F(X)-m=O在区间0,1)内有解，求实数团的取值范围.解：(1)F(x)=2f(x)+g(x)=2logrt(x1)+Ioga(0且。：1)-xx+1O，解得一IVXV1,所以函数/(X)的定义域为(一LI)2分l-xO令尸(X)=0,则21og(x+l)+log4-=O(*)3分1-X方程变为Ioga(X+1)2=
9、IogQr)(x+l)2=l-x,即f+3=05分解得N=0,/=一3,经检验X=-3是（*）的增根，所以方程（*）的解为X=O即函数尸（M的零点为0.6分(2)m=21ogrt(x+1)Iogrt(0x1,则m0,方程有解13分若0v0且l)是定义域为R的奇函数.(1)求Z的值；(2)若/(l)0,试说明函数/(x)的单调性，并求使不等式/(一+a)+(4-X)Vo恒成立的r的取值范围.解：(1)由题意，对任意xR,/(-x)=-(x),即。1一出一1)4、=一罐+(火一I)”。2分即(A-IXa*+a-x)-ax+-r)=0,k-2)(ax+4l)=0,因为X为任意实数，所以2=2.4分解
10、法二：因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以/(0)=0,即1一伏一I)=O,k=2.当左=2时，f(x)=ax-a-x,f(-)=a-x-ax=-f(x)t/(x)是奇函数.所以攵的值为2.4分(2)由(1)知f(x)=优一。I由/(l)v,得。一,0,解得0vl.a6分当Ovivl时，y=aA是减函数，卜二一。一、也是减函数，所以/。)=优一。-A是减函数.7分由/*2+a)+(4幻0,所以/(冗2+a)_/(4_此，8分因为f(x)是奇函数,所以/(Y+a)%一4即DX+40对任意xR成立，11分所以4二-l)2-160,12分解得-3vrv5.13分所以，/的取值范围是(一3,5).1
11、4分6 .（闸北）*x+l设定义域为R的函数/（x）=7为偶函数，其中。为实常数.。+4（1）求。的值，指出并证明该函数的其它基本性质；（2）请你选定一个区间。，求该函数在区间。上的反函数/（/）.x+10r+1解：（1）由题意，对于任意的xR,都有-=，a+4-。+4即，卜一1）（4+1）=（）对1恒成立，所以，a=.（2分）另解：对任意的xR,都有/（-X）=/）成立，所以/（T）=/，解得Q=L分）u1)-u2)=2叼+|2(2._2司)(2演+占-1)+4*2-(l+4A,)(l+4r2)设MW0,(1+4X1+42)0,所以，对任意的再,当（一8，），2/2，2,+2-10有/（七）一/。2）0,即f（x）故，/（X）在（-8,0）上是单调递增函数.又，对任意的芭,2（，+冷），芭M-l0有项）一/（马）0,即/（Xl）/（%2）故，/（X）在（0,+0。）上是单调递减函数.2x+l2对于任意的xR,/（x）=-
