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1、如何矩阵的等价,相似,合同?(1) 4与8等价:4可以经一系列初等变换得BoPAQ=BOr(八)=r(B)(A,6同型,只。可逆.)判断等价只需同型且秩相等.(2) A与8相似:P1AP=B9P可逆.相似有四个必要条件:秩相同,特征值相同,特征多项式相同,行列式相同,如何判断两个一般的矩阵是否相似,考研大纲并不要求,但是如果AB相似于相同的对角阵,那么由相似关系有传递性知4,B相似.A与8合同(仅限于对称矩阵):CTAC=B(C可逆)OA与8的正负惯性指数相同.判断合同前提都是实对称矩阵,然后判断正负特征值的个数是否完全相同,也即正负惯性指数相同即可.注:AB合同、A,8等价等价但不相似1(A
2、B相似、4,3等价,例A=,B=Xll-在A,8实对称的前提下,A,3相似、A,6合同.0 0、1 11 b【解】先看等价:r(八)=1,r(B)=2,r(Q=1,r(D)=1,故Aeo等价.再看相似:A)=r(O=D)=I,=5)=2,排除8,考虑AC,D,A看的特征值为1,0,0,。的特征值为2,0,0,从而排除。仅仅考虑AC,A的特征值为1,0,0,且二重特征值0对应两个线性无关100、的特征向量,A相似于对角阵C=000,从而AC相似.W00,最后看合同:合同仅限对称阵,仅仅考虑C,。,。的特征值为1,0,0,。的特征值为2,0,0,C的正惯性指数为1,负惯性指数为0,。的正惯性指数也为1,负惯性指数为0,Co合同.1In(300、【例2】判断A=111,=000是否等价,相似,合同,?1000,【解】r(八)=z(B)=l,二者等价;3OA为对称阵一定相似于对角阵B=OOO;从而A一定合同于对角阵B、0OOJ