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1、实变函数试题库及参考答案本科一、题1 .设A8为集合，那么(A3)B=AB用描述集合间关系的符号填写)2 .设A是B的子集，那么NWI(用描述集合间关系的符号填写)3 .如果E中聚点都属于E,那么称E是闭集4 .有限个开集的交是开集5 .设鸟、马是可测集，那么Z(EIG)Wm6+m七(用描述集合间关系的符号填写)6 .设EUR”是可数集,那么川*E三O7 .设/(x)是定义在可测集E上的实函数，如果D，Ex(x)11ia,那么称“力在E上可测8 .可测函数列的上极限也是可测函数9 设力(X)=/(),ga)ng(x)，那么力(力+g()=/(力+g()10 .设/(x)在E上L可积，那么(x)
2、在E上亘积11 .设AB为集合，那么(8A).AnA(用描述集合间关系的符号填写)12 .设A=2左一Ik=I,2,那么N=Q(其中表示自然数集N的基数)13 .设Eu，”，如果石中没有不属于E,那么称E是闭集14 .任意个开集的并是开集15 .设4、%是可测集，且EIUE2,那么机6mG16 .设E中只有孤立点,那么双*E=017 .设/(x)是定义在可测集E上的实函数，如果DJ,EMx)拄=|吧L外(碎拄21 .设A3为集合，那么(A8)lB=822 .设A为有理数集，那么了二。(其中。表示自然数集N的基数)23 .设EUy”,如果片中的每个点都是内点，那么称E是开集24 .有限个闭集的交
3、是闭集25 .设EU/，那么ME026 .设E是二中的区间，那么m*EE的体积27 .设/(x)是定义在可测集七上的实函数，如果DaeJ七中(x)是可测集，那么称/(x)在E上可测28 .可测函数列的极限也是可测函数29设力(X)=/(%)，gz,(x)=g()0e,那么力(%)=g(x)30 .设力(X)是七上的非负可测函数列，且单调增收敛于7(x),由勒维定理，有31 .设AB为集合，那么(8A)L,A=AB32 .设A为无理数集，那么N=C(其中C表示自然数集0,1的基数)33 .设Eu”，如果石中没有不是内点的点，那么称E是开集34 .任意个闭集的交是闭集35 .设EU二，称E是可测集
4、，如果VTu：，mT=m(T)+加(丁一)36 .设E是外测度为零的集合，且尸U石，那么mF=037 .设/(x)是定义在可测集E上的实函数，如果D1,ElXk(x)v可是可测，Zd那么称x)在E上可测38 .可测函数列的上确界也是可测函数39 .设力(X)=g(x)=g(%)”,那么。(x)g(力=/(x)g(x)40 .设力(6=/(力，那么由黎斯定理，力(砌有子列,(切，使人)(x)e.于七41 .设AB为两个集合,那么4一4.(等于)42 .设EURH,如果E满足E=E(其中E表示E的导集),那么E是闭.43 .假设开区间(a,)为直线上开集G的一个构成区间,那么(2,力)满qG(n)
5、aG,b出G44 .设A为无限集.那么4的基数(其中a表示自然数集N的基数)答案：45 .设昂马为可测集,机七a是可测集E上的可测函数.47 .设%是E(UR)的内点,那么E_0.答案48 .设0(X)为可测集E上的可测函数列,且工(X)=f(x),xM那么由黎斯一定理可知得,存在AU)的子列4(%)卜使得(X)f(XE).49 .设/(X)为可测集E(口R)上的可测函数,那么f(x)在E上的L积分值不一定存在且I/(X)I在E上不一定L可积.50 .假设/(x)是句上的绝对连续函数,那么/(x)是切上的有界变差函数.51 .设A8为集合，那么AIB(BA).A答案二52 .设EUR,如果E满
6、足EO=E(其中EO表示E的内部)，那么E是开集53 .设G为直线上的开集，假设开区间3,份满足(a,qG且。任G,任G,那么(a,加必为G的构成区间54 .设A=xx=2几为自然数,那么A的基数=(其中。表示自然数集N的基数)55 .设A3为可测集，BqA且m4vxo,那么加4一次3_m(A3)答案:56 .设/(x)是可测集七上的可测函数，那么对任意实数。,仇力，都有仇乂。/(冗)勿是可测集57 .假设E(qR)是可数集，那么加6_0答案=a.e58 .设0*)为可测集七上的可测函数列，f(x)为七上的可测函数，如果r(x)/(x)(XWE)，那么ZI(X)=f(x)XE不一定成立59 .
7、设/(幻为可测集E(=R)上的非负可测函数，那么/*)在E上的L积分值一定存在60 .假设/(x)是a,切上的有界变差函数，那么/(x)必可表示成两个递增函数的差(或递减函数的差)多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案)1 .设E=0,1中无理数,那么(ACD)AE是不可数集BE是闭集CE中没有内点DmE=X2 .设EUj是无限集，那么(AB)AE可以和自身的某个真子集对等BEa(。为自然数集的基数)A函数JX)I在E上可测B/(x)在E的可测子集上可测C/(x)是有界的DfG)是简单函数的极限4 .设力是W句上的有界函数，且黎曼可积，那么(ABC)Af(x)在,可上可测BF(X)在,b上L
8、可积C”力在。,句上几乎处处连续D工)在4以上几乎处处等于某个连续函数5 .设EUm”,如果E至少有一个内点，那么(BD)AE可以等于OBm*EOCE可能是可数集OE不可能是可数集6 .设EuR是无限集，那么(AB)AE含有可数子集8E不一定有聚点CE含有内点DE是无界的7 .设Ya)I是E上的可测函数，那么(BD)A函数在E上可测8 Va)I是非负简单函数列的极限Clfa)I是有界的“/(力|在E的可测子集上可测8.设X)是凡句上的连续函数，那么(ABD)A/(x)在,以上可测B/(力在。肉上L可积，且(R)17(x9=(L)JM/(x)公C力在上L可积，但(R)(aw(L)JM)(工协D/
9、(力在。,可上有界9.设Da)是狄利克莱函数,即D(X)= ,1X为0,1中有理数0阕0,lj中无理数那么(BCD )AO(X)几乎处处等于1BO(X)几乎处处等于0C。(力是非负可测函数DD(X)是L可积函数10 .设EUW”,mE=0,那么(ABD)AE是可测集BE的任何子集是可测集CE是可数集DE不一定是可数集/、1xeE11 .设Eu,p(x=，那么(AB)ev7xeEcA当E是可测集时，然(X)是可测函数B当然(X)是可测函数时，E是可测集C当E是不可测集时，选(冗)可以是可测函数D当;(x)是不是可测函数时，E不一定是可测集12 .设/(可是(上的连续函数，那么(BD)A/(x)在
10、(,b)上有界B/(x)在(上可测C/(x)在(,b)上L可积力/(%)在ayb)上不一定L可积13 .设/(%)在可测集E上L可积，那么(AC)Af+(x),广(X)都是E上的非负可积函数Br(x)和f(x)有一个在E上的非负可积C(x)在E上L可积DY(X)I在E上不一定L可积14 .设EuW”是可测集，那么(AD)A是可测集BfnEV+CE的子集是可测集DE的可数子集是可测集15 .设4(X)=/(x),那么(CD)A力(力几乎处处收敛于x)8力(力一致收敛于C(力有子列力(同，使力(x)(x)e于ED3(司可能几乎处处收敛于/(x)16 .设/(五)是。,以上有界函数，且L可积，那么(
11、BD)A/(x)在a,。上黎曼可积Bf(X)在a,句上可测C/(x)在句上几乎处处连续。/(1)在卜力上不一定连续17 .设E=UO,1中的无理点,那么(CD)（八）E是可数集(B)E是闭集(C)E中的每个点均是聚点(D)mE018 .假设E(NR)至少有一个内点，那么(BD)（八）加七可以等于0(B)mE=0(C)E可能是可数集(D)E不可能是可数集19 .设Eqa,勿是可测集，那么E的特征函数力式的是(ABC)(A) a,加上的符号函数(C)E上的连续函数(B) m,加上的可测函数(D)3,切上的连续函数20 .设/(x)是m,句上的单调函数，那么(ACD)（八）/(x)是句上的有界变差函
12、数(B)/(X)是a,句上的绝对连续函数(C)/(x)在句上几乎处处收敛(D)f(x)在a,切上几乎处处可导21 .设E=Ho,1中的有理点,那么(AC)（八）E是可数集(B)E是闭集(C)mE=0(D)E中的每一点均为E的内点22 .假设E(qR)的外测度为0,那么(AB)（八）E是可测集(B)mE=0(C)E一定是可数集(D)E一定不是可数集23.设机Ev+8,0(X)为E上几乎处处有限的可测函数列，/(x)为E上几乎处处有限的可测函数,如果力(X)=f(),(wE),那么以下哪些结果不一定成立(ABCD)（八）/(X心存在(B)/(X)在E上L可积Je(C)f(x)(x)(xE)(D)J
13、M(RXr=JJ(XXV24.假设可测集七上的可测函数/(x)在石上有L积分值，那么(AD)(A) f+(x)EL(E)与尸(幻L(E)至少有一个成立(B) /+*)L(E)且尸(x)L(E)(C) (x)在E上也有L-积分值(D) I/(x)L(E)三、单项选择1.以下集合关系成立的是(A)2,假设EuR”是开集，那么(B)4 .设力(力是E上一列非负可测函数，那么(B)5 .以下集合关系成立的是(A)6 .假设EuR”是闭集，那么(C)7 .设E为无理数集，那么(C)AE为闭集8E是不可测集CmE=wDmE=O9 .以下集合关系成立的是(B)10 .设EUR,那么（八）11 .设P为康托集，那么(B)A尸是可数集BmP=0CP是不可数集DP是开集13 .以下集合关系成立的是（八）A假设4(=3那么匚48假设AUB那么ACU牙C假设AuA那么AB=BD假设AUB那么AU5=314 .设EUR”,那么（八）15 .设E=(x,0)0xl,那么(B)AznE=IBmE=OCE是K?中闭集。七是R2中完备集aEx)g(x)不一定是可测集bex(X)Hga)是可测集C耳巾(X)g(x)是不可测集Dex(x)=(x)J不一定是可测集17 .以下集合关系成立的是(A)(A) (AB)i B = AI B(C) (BA)JAA18 .假设E(R”)是开集，那么(A) E的导集=
