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1、空间向量的应用1. 4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系【第一学时】【学习目标】1 .能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量。2 .能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系。3 .能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理。4 .能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系。【学习重难点】重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系。难点：用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系。【知识梳理】一、自主导学（一）空间中点、直线和平面的向量表示1 .点的位置向量在空间中，我们取一定点。作为基点，那么空间中任意一点p就可
2、以用向量而来表示。我们把向量而称为点P的位置向量。如图。2 .空间直线的向量表示式如图，a是直线/的方向向量，在直线/上取方=a,设P是直线/上的任意一点，则点P在直线/上的充要条件是存在实数Z,使得Q=a,即Q=/荏。如图，取定空间中的任意一点0,可以得到点P在直线/上的充要条件是存在实数，,使万？=而+出,或而=而+/荏。式和式都称为空间直线的向量表示式。由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定。田O田3 .空间平面的向量表示式如图，取定空间任意一点。，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数my,使而=嬴+标+）充。我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式。由
3、此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定。/4 .平面的法向量如图，直线/_La,取直线/的方向向量a,我们称向量a为平面的法向量。给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合P而=0。点睛：空间中，一个向量成为直线/的方向向量，必须具备以下两个条件:是非零向量；向量所在的直线与/平行或重合。（二）空间中直线、平面平行的向量表示位置关系向量表示线线设,R2分别是直线h,12的方向向量，则平行1h=Zz2=3R,使得=2.线面设是直线1的方向向量，n是平面的法向量，平行10,贝IJa=J-=n=0.面面设n,0分别是平面a,的法向量，则平
4、行anZz23R,使得n1=n2.点睛：L空间平行关系的本质是线线平行，根据共线向量定理，只需证明直线的方向向量匕?此外，证明线面平行也可用共面向量定理，即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点，证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点。1 .下列说法中正确的是()A.直线的方向向量是唯一的B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向C.直线的方向向量有两个D.平面的法向量是唯一的2 .若直线/过点A(-l,3,4),(l,2,1),则直线/的一个方向
5、向量可以是()3 .若两个向量荏二(1,2,3),C=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为()B.(1,2,1)C. (1,2, -1)D. (-1,2, 1)4 .若两条直线的方向向量分别是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且两条直线平行，则x=,y=。5 .若平面B外的一条直线，的方向向量是u=(-l,2,-3),平面夕的法向量为n=(4,-1,-2),贝U/与用的位置关系是o【学习过程】一、情境导学牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝。在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造。旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口。牌楼中有一种有柱门形构筑物，
6、一般较高大。如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行。这是为什么呢？二、典例解析例1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱尸。_1_底面ABCDfPD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量。延伸探究：本例条件不变，你能分别求出平面心。与平面PCQ的一个法向量吗？它们之间的关系如何？利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设平面的法向量为n=(x,y,z)。(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(m,b,ci),b=(2,b2,C2)。(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组卜”=0，nb0
7、.(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。跟踪训练L如图所示，已知四边形ABCQ是直角梯形，AD/BCfNABC=90。，SA_1平ffiABCD9SA=AB=BC=tAD=,试建立适当的坐标系。(1)求平面ABCO的一个法向量；(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCo的一个法向量。例2.在长方体ABCQ-AIBlGOl中，48=4,AD=3,A=2,点P,Q,R,S分别是AAi,DiCi,AB,CG的中点。求证：PQRS.归纳总结：利用空间向量证明线与线平行的方法证明两直线平行，可先求出两直线的方向向量，然后证明两直线的方向向量共线，从而证明两直线平行。跟踪训练2.在正方体A8
8、CDABGO中，点尸在线段4。上，点Q在线段AC上，线段P。与直线4。和AC都垂直，求证：PQBD,例3.如图，在正方体ABCQ-AGOl中，M,N分别是CiCBcl的中点。求证：MN平面AiBO.利用空间向量证明线面平行的方法(1)利用共面向量法：证明直线的方向向量P与平面内的两个不共线向量a,b是共面向量，即满足P=Xa+yb(x,yR),则p,a,b共面，从而可证直线与平面平行。(2)利用共线向量法：证明直线的方向向量P与该平面内的某一向量共线，再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行。(3)利用法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，证明方向向量与法向量垂直，从而证明直线与平面平行
9、。跟踪训练3.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=AF=I,M是线段E/的中点。求证：AM平面8OE。E例4.如图所示，在正方体48CO-A8CQ中，O为底面ABC。的中心，P是。DI的中点，设。是CG上的点，问：当点Q在什么位置时，平面。山Q平面以。?利用空间向量证明面面平行的方法(1)转化为线面平行、线线平行，然后借助向量共线进行证明；(2)通过证明两个平面的法向量平行证明。跟踪训练4.在长方体A8CDABGO中，DA=2fOC=3,DD1=4,M,MEfF分别为棱AO1，AiBi,DiCi,SCl的中点。求证：平面AMN平面EF30.金题典例：如图，在正方体A
10、BCO-ABO中，求证：平面HBTT平面3。Ci【达标检测】1.若不重合的直线/1，/2的方向向量分别为a=(l,2,-2),b=(-3,-6,6),则()A. h/12B. 2C. /1，/2相交但不垂直D.不能确定2 .已知线段AB的两端点坐标为A(9,3,4),8(9,2,1),则直线AB()A.与坐标平面Xo)，平行B.与坐标平面yz平行C.与坐标平面XoZ平行D.与坐标平面0z相交3 .若平面。或，则下面可以是这两个平面法向量的是()A.n=(l,2, 3),2=(-3,2, 1)B.C.IIl=(1,1,1), n2=(-2, 2, 1)D.n=(l,1f 1), 2=(-2, -
11、2, -2)i=(l,2,2),2=(-2,2,1)4 .已知/,且/的方向向量为(2,加，1),平面a的法向量为(1,2),则用=5 .已知正方体A8CQ-A3GO的棱长为2,E,F分别是3囱，。的中点,求证：(1)尸Cl平面ADE(2)平面ADE平面场G尸。课堂小结空间中点、直线和平面的向量表示参考答案：知识梳理1 .答案：B解析：由平面法向量的定义可知，B项正确。2 .答案：D解析：AB=(2f-1,-3)=-3(-,1),故选D3.答案:A解析:设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则AB= 0,n AC = 0,即 + 2y + 3z = 0, 3x + 2y + z = 0.令
12、X=-1,则y=2,z=-l.即平面ABC的一个法向量为=(-L2,-1)。4.答案：-12；15解析：因为两条直线平行，所以aB.于是：=_,得=2,z=lfn=(2t-1,l)0例2.证明：(方法1)以点。为原点，OA,DC,OQl所在直线分别为X轴，y轴，Z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),PQ=(-3,2,1),RS=(-3,2,I),PQ=RSfPQ/RStgpPQ/RS.(方法2)丽=前+在三比一病+；西，PQ=PA+AQ=DD+DC-DAfRS=PQ,RS/PQ,gpRS/PQo跟踪训练2.证明：以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,则。(0,0,0),A(l,0,0),B(l,1,0),C(0,1,O),A(l,0,1),Z)I(0,0,1),Dj41=(10,1),C=(-LL0),设所=(,b,c),r1.(DA1PQ=0,口rl(+c=0,Ir则一L即取PQ=(1,1,-1)。VACPQ=0,(-Q+b=0,易知西二(-1,-1,1),:所=-西
