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1、第12章全等三角形小结与复习一、教学目标1 .全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2 .掌握全等三角形的判定条件，并能进行简单的证明和计算，掌握综合法证明的格式；3 .掌握角平分线的性质及判定，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分 线的性质进行证明.二、教学重点、难点重点：全等三角形判定、性质及角平分线的性质和判定，建立本章知识结构.难点：运用全等三角形的知识解诀问题.三、教学过程知识梳理一、全等三角形的性质能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.几何符号语言：an,. ABCD
2、EF：.AB=DE, BC=EF, AC=DFZA=ZD, ZB=ZE, ZC=ZF BC EF二、三角形全等的判定方法三边分别相等的两个三角形全等.（“边边边”或“SSS” ）几何符号语言：aa，AB= A/B,在 AABC 和 AABC中，JBC = BC/AC 二 A CBz-C B乙/. ABCA,B,C, （SSS）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 几何符号语言：AB=AP在AABC 和AABC中，ZA = ZA/ / IAC = AC/，ABCAlBrCr （SAS）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“AS
3、A” ）. 几何符号语言：在 AABC 和 ABC中，ZA = NA AB=AE NB = NB：, ABCA,B,C, （ASA）A *A- 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或 “AAS” ）.定理应用格式：ZA = NA ZB = NB BC = BC ABCA,B,C, (AAS)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 注意：(1) “HL”定理是仅适用于Rt的特殊方法.因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可 以使用“SSS”、“SAS用“ASA”、“AAS”外还可以使用“HL” .S RtBC
4、和 Rt AYBC中,AB = AE BC = BC(2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt.书写格式为：角的平分线的性质角的平分线的判定图形。丁/E BE B已知 条件OP平分NAOBPD_LoA 于 D PE_LOB 于 EPD=PEPD _LOA 于 DPE _L OB 于 E结论PD=PEOP平分NAOB，RtABCRtA,B,Cz(HL) 三、角平分线的性质与判定考点讲练考点一全等三角形的性质 例 1 如图，已知AACE且ZDBF, AD=8, BC=2. (1)求AC的长度；(2)试说明CEBF. 解：(I)Y ACEDBF, /. AC=BD /. AC-BC=B
5、D-BC,即 AB=CD V AD=AB+BC+CD, AD=8, BC=2 2AB+2=8,解得 AB=3 AC=AB+BC=3+2=5 (2) V ACEDBF ：, ZECA=ZFBd, CE/7BF 方法总结两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分 别是对应角.有对顶角的，对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有 公共角的，公共角一定是对应角.针对训练1.如图所示，点B、D、C在一条直线上，4ABD9ZACD, NBAC=90 . (1)求NB； (2)判断 AD与BC的位置关系，并说明理由.解：（1）. ABDACD, ZB=ZC
6、 ZBAC=90o , NB=NC=45（2） ADlBC.理由如下：/ ABD ACD, ：, ZBDA=ZCDa,. ZBDA+ZCDA=180o，NBDA=NCDA=90ADlBC考点二全等三角形的判定例 2 如图，已知NABC=NDCB, ZACB=ZDBC. 求证： ABCDCB.NABC = NOCB （己知）证明：在AABC和ADCB中.BC = CB （公共边） NACB = NDBC （已知）/. ABCDCB （ASA）v针对训练2 .在下列条件中，不能保证AABC咨ZJ）EF的是（）A. AB=DE, AC=DF, BC=EF B. ZA = ZD, ZB=ZE, AC=
7、DF 9C. AB=DE, AC=DF, ZA=ZD D. AB=DE, BC=EF, ZC = ZF（VZxX3 .如图所示，AB与CD相交于点O, OA=OB.添加条件 /（一个即可），所以AAOC坦ZkBOD理由是.J考点三全等三角形的性质与判定的综合应用D例3如图，在AABC中，AD平分BAC, CE_LAD于点G,交AB于点E, EFBC交AC于点F.求证：ZDEC=ZFEc.A证明：Y CEAD, NAGE=NAGC=90 AD 平分NBAa ：, ZEAg=ZCAG/ / ZAGe=ZAGC在 AAGE 和 AAGC 中AG = 4GZEAG = ZCAG：.AGE AGC (A
8、SA)/. GE=GCGE=GC在 ADGE 和 ADGC 中 ZEGD = ZCGD = 90DG = DG：.DGEDGC (SAS) ZDEg=ZDCGV EF/7BC, ZFEC=ZDCe/. ZDEC=ZFEc方法总结利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件 够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性 质等，必要时要想到添加辅助线.针对训练4.如图，D 是AABC 的边 AB 上一点，ABFC, DF 交 AC 于 E, DE=FE,求证：AE=CE.证明：Y ADCFaA：.ZADE=ZCFeZ/在AADE和
9、ACFE中DE=FEZADE=ZCFeAD = ADB-ZAED = NCEF ADECFE (ASA)： AE=CE考点四利用全等三角形解决实际问题例4如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在 地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？解：相等，理由如下：AV ADlBCA NADB=NADC=90/ r a B = AC/S RtADB RtADC /：.RtADBRtADC (HL)U.BD=CD方法总结利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一般 采用以下步骤：(1)先明确实际问题；(2)根据实际抽象出几何图形；
10、(3)经过分析，找出证明途径；(4)书写证明过程.针对训练5.如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得.你能用已 学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？解：要测量A、B间的距离，可用如下方法：过点B作AB的垂线BF,在BF上取两点C D,使CD=BC,三g P F再作出BF的垂线DE,使A、C、E在一条直线上.V ZACb=ZECD, CB=CD, NABC=NEDC=90/. ABCgZEDC (ASA).AB=ED 测出ED的长就是A、B之间的距离.考点五角平分线的性质与判定例 5 如图，Z1 = Z2,点 P 为 BN 上的一点，ZPCBZBA
11、P= 180 ,求证：PA=PC.证明：过点P作PEJLBA, PFlBC,垂足分别为E, F./ Z1=Z2, PEBA, PFlBC/ / PE=PF, NPEA=NPFC=90 ZPCB+ZBAP= 180又 ZBAP+ZPAE=180o ZPAE=ZPCb/PAE = ZPCF在 AAPE 和aCPF 中 ZPEA = ZPFC = 90 PE = PF，APECPF (AAS)，PA=PC针对训练6.如图，Z1 = Z2,点 P 为 BN 上的一点，PA=PC,求证：NPCB+/BAP=I80 . 证明：过点P作PE_LBA, PFBC,垂足分别为E, F.Y Z1=Z2, PEBA
12、, PFlBC PE=PF, NPEA=NPFC=90在 RtAPE 和 RtCPF 中PA = PCBPE = PF RtAPERtCPF (HL) ZPAE=ZPCfV ZPAE+ZBAP=180o/. ZPCB+ZBAP= 180能力提升在AABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点(点D不与点B, C重合)，以AD为一边在AD的 右侧作aADE,使 AD=AE, ZDAE=ZBAC,连接 CE.(1)如图，若点D在线段BC上，NBCE和NBAC之间有怎样的数量关系？说明理由.如图，当点D在射线BC上移动时，NBCE和NBAC之间有怎样的数量关系？说明理由.解：(I)NBCE+NBAC=
13、180 .理由如下：V ZBAC=ZDAe/. ZBAC- ZDAC= ZDAE- ZDAC即 ZBAD=ZCAeV AB=AC, AD=AEV ABD ACE (SAS)/. ZABC=ZACe ZBCE=ZBCA+ZACE=ZBCA+ZABC ZABC+ZBAC+ZACB= 180V ZBCE+ZBAC=180oNBCE+NBAC= 180 .理由如下:设AD与CE交于点F. ZBAC=ZDAe ZBAC+ ZDAC= ZDAE+ ZDAC,即 ZBAD=ZCAE AB=AC, AD=AE ABD ACEZADB=ZAEc ZAFE=ZCFd, ZBAC=ZFAe,(SAS)/. ZEAF=ZECdZBCE+ZECD=180o ZBCE+ZBAC= 180
