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1、题型10函数对称问题xlnx-2x,x01.已知函数/(x)=3的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=-l的对称点在)，=-1的AT+,;,O2图象上，则实数%的取值范围是()A(g,l)B,WB)C，4。D，弓Ixlnx-2x,x0,3的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=T的对称点在x+-x,x,yO2y=收一1的图象上，而函数y=Ax-I关于直线y=-的对称图象为y=-kx-,(xbx-2x,x0,3的图象与y=-&-l的图象有且只有四个不同的交点,x+x,;,O2xbx-2x,xO作函数/(x)=,3的图象与y=-h-l的图象如下，X+x,x,02易知直线y=-去一1恒过点A(O,
2、-1),设直线AC与y=xlnx-2jv相切于点C(X,xlnx-2x),y,=Inx-X,故 Inx-I =xlnx-2x + 解得，x=l:故攵AC=T；设直线AB与y=f+-%相切于点Bxyxi+-x),22MC3故2x+二2解得，彳=一1;3I故kti=-2+二=:u22故-1一4，2故v%Og)=+2e+l的图象上，则实数k的取值范围为()A.(1,2)B.(-1,0)C.(-2,-1)D.(-6,-1)【解析】解：函数/(x)=J+4x,图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=e的对称点在函数xlnx,x0g(x)=kx+2e+l的图象上，而函数g(x)=kx+2e+关于直线y=e的
3、对称图象为y=-kx-,.函数ff(x)=图象与y=去1的图象有且只有四个不同的交点,xlnx,x0作函数/(X)=J-+4MX，。图象与丁二一如一1的图象如下,xlnx,x0易知直线y=lr-l恒过点A(O,T),设直线AC与y=xlnx相切于点C(X,xbc),/=Zztr+1,ur,txlnx+cmx+1=,X解得，X=I;故AAC=1；设直线AB与y=xlnx相切于点C(X,炉+4x),故 2x + 4 =X2 +4x + l解得，X=-I:故ac=-2+4=2;故IVTIV2,故一2女一1;故选：C.3 .已知函数/(x)=-+2,图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=e的对称点在函
4、数xlnx,xOg(x)=+2e+l的图象上，则实数的取值范围为()A.(1,2)B.(-I,O)C.(-2,-1)D.(-6,-1)【解析】解：函数/3) =厂+4乂&0图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=e的对称点在函数xlnxix0g(x)=AX+2e+l的图象上,而函数g(x)=kx+2e+关于直线y=e的对称图象为y=-kx-,.,.函数 /(x)=作函数f(x)= O厂+4X,K,0图象与y=-图象如下,xlnx,xO易知直线y=Tlr-I恒过点A(0,-1),设直线AC与y=xlnx相切于点C(x,xlnx),ur,txlnx+cmx+1=X解得，X=I故AC=1；设直线AB与
5、y=f+相切于点B(X,x2+4x),=2x+4,.,X2+4x+1故2x+4=X解得，X=-I:故ac=-2+4=2;故IVTIV2,故一2女0时，f(x)=l-InX,，当OVX0,当xe时，,(x)0,./()在Oe)上单调递增，在(e,+x)上单调递减，作出y=f()与直线-自+1=y的函数图象，如图所示：设直线y=-依+1与y=2x-x历X相切，切点为(,yl),1 - Inxi = -k2xl - xtInxl - -kx1 +1解得：内=1, k = -l,设直线y=-Ax+l与y=-x2-3x(x0)相切，切点为(Xy2),则2：2一：二一解得片=一1，k=l.(-2-3x2=
6、-kx1+1直线y=-kx+与y=f(x)有4个交点，直线y=Ax+l与y=/(x)在(TQ,0)和(0,+8)上各有2个交点,.-l 0X2 +2x,j, O的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y = T的对称点在y =-1的图象上，则实数%的取值范围是()A.(pl)B.(0,1)C.(-,0)D,(-1,0)【解析】解：已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在Ix2+2x,a;,Oykx-的图象上，而函数y=kx-关于直线y=-1的对称图象为y=-kx-,.已知函数f(x)(xlnx-2x,x0x2 +2x,j, O的图象与y =-履-I的图象有且只有四个不同的交点,作函数
7、/*)的图象与y=lr-l的图象如下,易知直线y二-履一1恒过点A(O,T),设直线AC与y=xbvc-2x相切于点C(X,xV-2x),y=Inx-X,故bx-1=,X解得，X=I:故&c=-l;设直线AB与y=f+2ax相切于点B(x,x2+2x),y,=2x+2,故2x+2二尸+2x+l,X解得，x=T;故kAB=-2+2=0,故一1一&0,tO则此函数图象上关于原点对称的点有()一f4x,Xyy0A.0对B.1对C.2对D.3对【解析】解：作出函数y=(x)图象如图所示：再作出-y=/(-幻，y=2-4xt恰好与函数图象位于y轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称,记为曲线C,发现y
8、=(g)x与曲线C有且仅有一个交点，因此满足条件的对称点只有一对，图中的A、8就是符合题意的点.故选：13.7 .若直角坐标平面内的两个不同的点M、N满足条件：M、N都在函数)，=(x)的图象上；NI 与1N,M、N关于原点对称.则称点对M,N为函数y=f(x)一对“友好点对”(注：点对,M为同一“友好点对”).已知函数/(x)=K严),此函数的友好点对有()-x-6x(;,0)A.。对B.1对C.2对D.3对解析解：令M(s,r)(50),N(-s,),函数小)=MM：。)，-2-6x(X”0):.t=Iog4s,-t=-S2+6r,.Iog4s=s2-6s画出y=Iog4xty=x2-6x
9、(X0)的图象,由图象可得有两个交点.故该函数的友好点对有2对.P,Q关于原点对称，则称点对(尸,。)是函数y=(x)的一对“友好点对”.(注：点对(尸,。)与(Q,P)看作同一对“友好点对”).已知函数/(x)=Pg,21,则该函数的“友好点对”有()-x-4x,x,OA.。对B.1对C.2对D.3对【解析】解：根据题意：当x0时，一XV0,W,Jf(-x)=-(-X)2-4(-x)=-X2+4x,可知，若函数为奇函数，可有/Cr)=/-4,则函数y=-x2-4x(0)的图象关于原点对称的函数是y=/-44由题意知，作出函数y=Y4MX0)的图象，看它与函数/(x)=Iog2x(x0)交点个
10、数即可得到友好点对的个数.-4由图象知当x0时，/（x）和y=（；）,xO的图象有3个交点.所以函数/*）的“黄金点对“有3对.故选：D.10 .函数f（x）=Fg的图象上关于），轴对称的点共有（）cosx,x0的部分画出，与y=log；的交点的个数，如图中的红色交点，共有3对.11 .已知函数/(x)=2nv(J麴ke2),g(x)=mx+l,若/(x)与g(x)的图象上存在关于直线y=l对称的点,e则实数小的取值范围是()2A.一,2eB.-3e2,3eC.,3eD.-2e1,3e【解析】解：设力是函数/(X)上的点，则即/,b=2nate则点(,b)关于y=1对应的点为(,2-力在g(x
11、)上，即2。=m7+1有解,即I-2lna=am,当2=0时，不满足条件.当TWHo时，?J-2a.一/、1-2lna设h(a)=,2M2(一ZXa-(I-2/Mxl_2-1+2/。-3+2/。则(a)=-；=;，(TOia2当，都7/时，一啜Ma2,则，一2领幼心4,32即由(a)0,3+fIlna0,#Ina,即Qvave?,时，函数为增函数,23I-由(a)0,得一3+2出a0,得Inav-,即一时，函数为减函数，2e3121_yne2_2即当=/时，函数h(a)取得极小值同时也是最小值/?()=_=一射2,1刃2_q11-2/一又枚2)=，=,(一)=l=3e,.函数力(a)的最大值为
12、3e,eee1RPh(a)的取值范围是-2ei,3e,3则m的取值范围是-23,3e,故选：D.12.已知函数/(x)=x2-奴(！领kefe为自然对数的底数)与g(x)=e的图象上存在关于直线y=x对称的e点，则实数取值范围是()A.1,e+B.1,eC.e,e+-D.e，eeeeee【解析】解：若函数/(%)=2-0(J领ke,e为自然对数的底数)e与g()=的图象上存在关于直线y=x对称的点,则函数f(x)=X2-or(-e,e为自然对数的底数)e与函数/?(X)=Oir的图象有交点，即f一以=加x,(e)有解，e即=x-也，(e)有解，Xey=x-f(e)fXe,al,X2-1+Inx则y=O，X当L,xl时，y,0,函数为增函数，故X=I时，函数取最小值1,当X=时，函数取最大值e+，ee故实数。取值范围是1,e+-te故选：A.13.已知函数/(x)=h+l,g(x)=e+1(-掇卜1),若f(x)与g(x)的图象上分别存在点M,N,使得
