1.2空间向量基本定理典型例题(解析版).docx

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1、1.2空间向量基本定理典型例题考点1:空间向量基底的概念及辨析1 .若伉。是空间的一个基底,则也可以作为该空间基底的是()A.b+c,b,-b-CB.aa+babC.a+ba-bcD.a+b,a+b+c,c【答案】C【分析】根据空间基底的概念逐项判断,可得出合适的选项.【详解】对选项A:,因此向量力+c,仇-b-C共面,故不能构成基底,错误;对选项B:,因此向量夕,a+b-心共面,故不能构成基底,错误;对选项C:假设c=l(+4+(-b),c=(+)a-)b,这与题设矛盾,假设不成立,可以构成基底,正确;对于选项D:(a+b)+c=a+h+c,因此向量+b,+Z?+e,d共面,故不能构成基底,

2、错误;故选:C2.已知凡d是空间的一个基底,则可以与向量W=+2c构成空间另一个基底的向量是()A.2a+2b-cB-a+46+WC.b-cD.a-2b-2c【答案】C【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案.【详解】因为24+25一c=(+2与+(4-c),a+4b+c=2(a+2b)-(a-C)a-2b-2c=2(-C)-a+2b),所以向量2+2力一d,a+4b+c0-2-24?均与向量?,共面.故选:C3.已知SAJ_平面ABGABJ.AC,SA=AB=tBC=G则空间的一个单位正交基底可以为()A.1a*AC,AsB.43,ACASC.jAB,IAC,IA5jD,卜S,A

3、B,苧8C【答案】A【分析】根据正交基地的定义可知,三个向量两两互相垂直,且模长为1.【详解】因为SAj_平面ABCAB.AC都在面48。内,所以S_LAe,SAAC.因为A8工AC,AB=BBC=5所以AC=2,又SA=1,所以空间的一个单位正交基底可以为(ar/acas.故选:A4.关于空间向量,以下说法正确的是()A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面B.若“0,则是钝角C.设他,A,c是空间中的一组基底,则+儿b+c,c+a也是空间的一组基底D.若对空间中任意一点O,有OP=,OA+O3+(C则P,A,B,C四点共面【答案】ACD【分析】根据向量共面的定义可判断A

4、,利用向量夹角的取值范围判断B,根据基底的定义可判断C,根据共面定理可判断D.【详解】对于A,因为有两个向量共线,所以这三个向量一定共面,A正确;对于B,若0,则是钝角或是180,B错误;对于C,因为,b,c是空间中的一组基底,所以,b,c不共面,假设+b力+d,c+d共面,则+=/!(+c)+(e+a),=1即,11矛盾,所以+b,b+c,c+4不共面,Z=12+z=0所以M+6b+c,c+也是空间的一组基底,C正确;对于D,因为OP=LoA+J8+,C且!+,+,=1,632632所以P,A,B,C四点共面,D正确;故选:ACD.考点2:用空间向量基底表示向量c,则 BE=()【答案】A1

5、 1 .B. -ci Hb+c22I ,D. a + b + c2【分析】由空间向量线性运算即可求解.【详解】由题意可得BE = BBI+BA+AE = BB+ BA + gAG= Bl+BA + -AC = Bl+BA + -(C-BA = -BA + -C+B. =-a + -c+b.1 212、7 221 22故选:A.6.在平行六面体ABC。-A/GR中,M为AG与。的交点,若A8 , AD = h,=c,则下列向量中与相等的向量是()11,11,1I111 1A. -a + -b + cB. a + -b + cC. ab + cD. ab + c22222222【答案】B【分析】根

6、据给定条件,利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.【详解】在平行六面体A8CO A8CR中,M为AGBBR的交点,5.如图,在直三棱柱ABC-AqG中,E为棱AG的中点.设BA=,BB1=bfBCBM=A+Ai+AyM=-AB+AAy+(1B1+AiDi)=-a+c+-a+-b=-a+-b+c.故选:B7.如图,三棱柱A8C18C中,M、N分别是叫、Ae的中点,设A8a,AC=/?,4=C,则NM=.【答案】a-b+-c22【分析】由空间向量的线性运算即可求解.【详解】NM=NA+AM=-AN+B+BM=-C+AB+-AA=a-b+-cf2222故答案为:-;/?+;AH=ADCF=(

7、-)CBfCG=(I-A)CDt2(0,l).求证:E、F、G、四点共面.(2)若九二;,设M是EG和777的交点,。是空间任意一点,用。4、OB、OC、。表示OM【答案】(1)证明见解析4212(2)0M=-OA+-OB+-OC+-OD9999【分析】(1)证明出而而,即可证得结论成立;1EMEH11(2)由(1)可得出EH二一尸G,可得出EH尸G,则一=-,由此可得出EM=MG,再结合空2MGFG22间向量的线性运算可得出。W关于04、OB、OC、0。的表达式.【详解】(1)证明:因为E=AH-AE=;IAo-U8=23O,FG=CG-CF=(-)CD-(-)CB=(-)BD,所以EH=E

8、FG,则E”尸G,因此E、F、G、”四点共面.1IllB1UU111,21(2)解:当a=L时,AE=-AB,即OE-OA=-(OB-OA),可得OE=-OA+-O8,33333因为CG=gc,即OG-OC=I(OQOC),可得OG=gC+OQ,121由(1)知,EH=-BD,FG=-BD,因此E”二一户G,332又因为EH、FG不在同一条直线上,所以,EHHFG,FMFH111/x则J=-,则EM=-MG,-OE=-(OG-OM,MGFG222v7所以,OM=-oe+-og=-oa-ob+-oc+-od333(33)333)421-2-=-OA+-OB+-OC+-OD.9999考点3:用空间

9、向量基本定理及其应用9 .已知直线43,BC,不共面,若四边形34GC的对角线互相平分,AC1=-A2yBC3zCC1,则+y+z的值为(),52HA.1B.-C.-D.636【答案】D【分析】由题意A3,8C,CCj为空间的一组基底,然后利用空间向量基本定理求解.【详解】由题意,知A8,BC,不共面,四边形BBCC为平行四边形,CCl=BBi,A3,BGCC1J为空间的一组基底.AC1=AB+BC+CC1,又AC1=xAB+2yBC+3zCC1,.x=2y=3=,.=l,V=,211:.x+y+z=.6故选:D.10 .己知兄瓦。是空间的一组基底,其中A8=2-3A,AC=a-cfAO=2Z

10、?+/IA若A,B,C,。四点共面,则入=()【答案】D【分析】根据题意,设存在唯一的实数对(x,v),使得AB=x4C+),AO,结合向求的数乘运算和相等向量的概念计算,即可求解.【详解】由题意,设存在唯一的实数对Q,y),使得A8=xAC+yAO,艮2a-3b=x(一+)(+义。,则2a-3b=xa+2yb+(y-x)c,34贝ljx=2,y=-,y-x=O,解得4=一.故选:D.U.已知空间四边形A8CO的每条边和对角线的长都等于1,点E,尸分别是8C,A。的中点,则ABB的值为.【答案】-/-0.5【分析】BC-BD,丽两两成60角,模都为1,以这三个向量为基底,进行向量数量积运算.根

11、据题意48C。为正四面体,BC,BD,8A两两成60角,BABC=BABD=BCBD=g,由AE=BE3A=(BC-BA,CF=BF-BC=-BA+-BD-BC,22所以AECF=+1111111111=X1XXI=.故答案为:-T12.如图,E、尸、G分别是正方体48CT)-AqGR的棱A。、AB.CQ的中点,”是AG上的点,GC也平面EfH.若A3=JL则A/=.【答案】1【分析】设4=/IAG,其中0W4W1,将七尸、EH、GC;用基底卜仇AQ,1表示,分析可知Gg、EF、七”共面,则存在?、eR,使得团=?M+GG,根据空间向量的基本定理可得出关于用、/1的方程组,解出;I的值,即可得出A4的长度.1_1【详解】设A=;IAG,其中OW4W1,EF=AF-AE=-AB-AD,EH=AH-AE=AB-AD-AA-AD=AB+-AD+AAx,GCi=GC+CCi=AB+A.,因为GG平面EFH,则GG、EF、E”共面,显然GC、石尸不共线,所以,存在加、eR,使得由=zM+GC;,即4A8+(;I-T)AD+/IAA1=AB-:AQ)+(JA8+AA1=f-rn+?!AB-mAD+nAAy,11C-m+-n=22因为48, AO,相;为空间中的一组基底,所以,,-n解得2=;,n=A1/T因此,AH=-AC1=L故答案为:1.

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