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1、3. 3模拟方法一概率的应用一、选择题1 .灰太狼和红太狼计划在某日12：(X)18：(M)这个时间段内外出捉羊，则灰太狼和红太狼在14：(X)15：(X)之间出发的概率为()1 1A，2B.C11c5d6【解析】P=耨H【答案】D2 .己知函数%)=log2x,C表2,在区间/2上任取一点期,则使加)20的概率为()1A.1B.2八2一3c3D,4【解析】欲使於)=kg20,则自，而Xe/2,x0l,2,2 12由几何概型概率公式知P=7=.z2【答案】C3.若将一个质点随机投入如图3-3-3所示的长方形ABCQ中，其中A3=2,BC=I,则质点落在以A8为直径的半圆内的概率是()A，2图
2、3-3-3C b 4D.5O【解析】由题意A8=2,BC=I,可知长方形ABCO的面积S=2X1=2,1Jr以4B为直径的半圆的面积S=gXXF=,故质点落在以AB为直径的半圆内的.i.2概率P=2=【答案】B4. A是圆上的一定点，在圆上其他位置任取一点3,连接A、B两点,它是一条弦，则它的长度大于等于半径长度的概率为()1 2A，2B.C近D1J24【解析】如图，当取点落在8、C两点时，弦长等于半径；当取点落在劣孤嬴上时，弦长小于半径；当取点落在优弧晶上时，弦360。1202J长大于半径，所以弦长超过半径的概,率尸=,36()。=3-【答案】B5 .在区间0,1内任取两个数，则这两个数的平
3、方和也在0,1内的概率是()a4bToc20d40【解析】设在0,1内取出的数为出b,若片+也在0,1内，则有ow+w.如图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1.的正方形，满足/+/在on内的点在单位圆内(如阴影部分所示)，H14故所求概率为T=7【答案】A二、填空题6 .函数兀V)=X2,x-5,5,那么任取一点回5,5,使(m)WO的概率是.【解析】由y)0得出一20,x02,又出一5,5,.必一5,2.设使yUo)WO为事件A,则事件A构成的区域长度是2(-5)=7,全部结果7构成的区域长度是5(5)=10,则P（八）=j.7【答案】7 .圆上的任意两点间的距离大于圆的内接正三角形边长
4、的概率是.【解析】如图所示，从点A出发的弦中，当弦的另一个端点落在劣弧BC上的时候，满足已知条件，当弦的另一个端点在劣弧荒或劣孤G上的时候不能满足已知条件，又因为AABC是正三角形，所以弦长大于正三角形边长的概率是:.【答案】I8 .在-6,9内任取一个实数机，设氏0=/+如+加一京，则函数人)的图5-4X轴有公共点，则像与X轴有公共点的概率等于【解析】若函数兀I)=x2+nx+m+407一?20，又加-6,9,得加-6,5或相1,9,故所求的概,率为(-5)-(-6)+(9-1)_39-(-6)53【答案】三、解答题9 .如图3-3-4所示，在边长为25Cm的正方形中有两个腰长均为23Cm的
5、等腰直角三角形，现有粒子均匀散落在正方形中，粒子落在中间阴影区域的概率是多少?图3-3-4【解】因为粒子落在正方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件.设A=粒子落在中间阴影区域,则依题意得正方形面积为25X25=625(cm2),两个等腰直角三角形的面积为2XX23X23=529(cm2),阴影区域的面积为625-529=96(cm2),所以粒子落在中间阴影区域的概率为P（八）=证.10 .已知向量Q=(1,2),b=(fy).(1)若X,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为123,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足。力=-1的概率;(2)
6、若JGyl,6,求满足方0的概率.【解】(1)设(x,y)表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),，(6,5),(6,6),共36个.用A表示事件0。=-1，即-2y=-1,则4包含的基本事件有(1,1),(3,2),(5,3),共3个,31p()=36=12-(2)用3表示事件“a/0”，即-2y0.试验的全部结果所构成的区域为(x,y)lx6,lj6,构成事件8的区域为(x,y)1x6,1y6,-2,0,如图所示.4242 4所以所求的概率为p(B)=3 D123456能力提升I1 .如
7、图3-3-5,在圆心角为直角的扇形048中，分别以0A,。8为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）图3-3-5TrX【解析】设扇形的半径为2,则其面积为y=兀，记由两段小圆弧围成的阴影面积为Si,另外三段圆弧围成的阴影面积为S2,则S=2x（:3=1-1,=-2,因S=22-212+1=1,故阴影部分总面积为2X22此任取一点，此点取自阴影部分的率为=1.【答案】A2 .在一球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为（）【解析】由题意可知棱长为1的内接正方体的体积为V1=I.又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R=坐，球
8、的体积丫2=$穴3=坐工则此点落在正方体内部的概率为Vi_1_2V333元,2【答案】D3 .如图3-3-6,是一残缺的轻质圆形转盘，其中残缺的每小部分与完整的每小部分的角度比是3:2,面积比是3：4.某商家用其来与顾客进行互动游戏，中间自由转动的指针若指向残缺部分，商家赢；指针若指向完整部分，顾客赢.则顾客赢的概率为.图3-3-6【解析】指针在转盘上转动，只与所转过的角度有关系，且指针自由转动，指向哪一部分是随机的，因此该问题属于角度型几何概型.360oI360oI因其角度比为3:2,故商家赢的概率为何。=擀,顾客赢的概率为鼻一。_2=M2【答案】I4 .已知关于X的二次函数y(x)=0r2
9、-4版+1.(1)设集合P=1,2,3和Q=-1,1,234,分别从集合P和Q中随机取一个数作为。和从求函数y=(x)在区间1,+8)上是增函数的概率；p+y80,(2)设点(,6)是区域x0,内的一点，求函数y=(x)在区间1,l0+8)上是增函数的概率.【解】（1）因为函数於）=0r2-4饭+1的图像的对称轴为直线x=,要使J（x）=ax1-4hx+在区间1,+8）上为增函数，当且仅当40且长1,即2Wa若。=1,则b=-;若=2,则力=-1或1;若4=3,则b=-或1.所以事件包含基本事件的个数是1+2+2=5.又Ta所取的所有可能结果为3X5=15,所以所求事件的概,率为卷=/由（1）知当且仅当2hW且40时，函数/U）=x24历:+1在区间1,+8）上为增函数，依条件可知事件的全部结果所构成的区域为（,）+-80,且0,ba+bS=0f0,构成所求事件的区域为可行域中对应的三角形部分.由Q得b=2交点坐标为z8所以所求事件的概率为P=-,-=“8X8
