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1、第二章平面向量测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.以下说法中不正确的是()A.零向量与任一非零向量平行B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量隆丽只有C是错误的,平行向量有方向相同与相反两种情况.c2 .已知集合腓=伯忖=(1,2)+3,4)工10,S-S2=a2+b2-2ab=(a-b)20,S2-S3=(a-b)20,所以S3S2S,故Smin=S3=4ab.设a.b的夹角为仇则Smin=4ab=8a/COS0=4aR即cos。弓,又060,所以夕Mb二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20
2、分)13 .已知向量a,b夹角为45,且IaI=I,2ab=TU4Jb=.庭画由2a-b=lU可得,4aF-4ab+bF=10,所以4-4xlXlbIXCOS45+b2=10,即bf-2b卜6=0,解得b=33214 .已知点A。/),8(l,),若直线y=x与线段AB交于点C,且前二2而,则实数4=.癖相根据题意,设C(xj),4C=(x-7J-1),CB=(1-xya-x).又4C=2CB,：(-7-1)=2(1-x,-x),X-I=2-2%,X-I=2-2x,.：实数。的值为4.415 .函数y=tan(%-/)的部分图像如下图所示,则(而-X)O5=.庭画依题意知A(2,0),8(3,
3、l),.:而二(3)值5=(2,0),而一成二(11),.：(而一65)布二4.答案4如图,在ZkABC中,0为中线AM上的个动点,若M=20A(B+无)的最小值是,腰后!如题中图,设为5=a,则a=2.因为O为中线AM上的动点,所以雨=/加=a(OWfW1),故不？=两？一雨=(l-f)a.因为M是BC的中点，所以说+OC=2OM=-2a.所以立5(而+沆)=(I-Z)a(2a)=-2r(l)a2=8z2-8r=(t-1)2-2.所以,当r=0,1时,最小值为2-2三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)如图,在平行四边形。4。8中,设a=a,5S=b,丽=BC,CN=g而.试
4、用a.b表示前,而及MN.网由题意知,在平行四边形04QB中,丽=BC=BA=(0A-0)=i(a-b)=a-ib,则而7=0B+FM=b+7a-7b=7a+.6666而=I诟=I协+O)=(a+b),K)MN=ON-OM=2(a+b).la_5b=IaJb3boZo118 .(12分)己知非零向量a,b满足IaI=I,且(a-b)(a+b)求网;(2)当ab刁寸,求向量a与b的夹角的值.魁因为(a-b)(a+b)=g,即a2-b2=.所以IbF=IaI2-尹1=今故IbI=苧.(2)因为cos，=就二当又owewi800,故e=45.19 .(12分)己知向量a,b不共线.若肉=a+b,配=
5、2a+8b,而=3(a-b),求证:。三点共线.(2)求实数太使ka+b与2a+处共线.(“证明I因Ag=a+b,C=2a+8b,CD=3(a-b),所以前=BC+CD=5a+5b=5AB,因此荏与前共线.又点B为荏与丽的公共点，所以A,。三点共线.(2)g)为ka+b与2a+处共线，则存在实数/使ka+b=l(2a+Ab),所以忆*所以k=上20 .(12分)以某市人民广场的中心为原点建立平面直角坐标系4轴正方向指向东,轴正方向指向北.一个单位长度表示实际路程100米,一人步行从广场入口处A(2,0)出发,始终沿一个方向匀速前进,6分时路过少年宫ClO分后到达科技馆8(-3,5).(1)求此
6、人的位移(说明此人行走的距离和方向)及此人行走的速度(用坐标表示).求少年宫。点相对于广场中心所在的位置.(提示:tanl8261)凰1)依题意知同=(-3,5)-(2,0)=(-5,5).AB=J(三)252=52,ZxAB=135.所以此人沿北偏西45方向走了500企米.因为片?时,所走的实际距离S=I荏IXlOo=500(米)，所以v*3OOo(米俐)=30百米/时)，所以IVlCOSI35=-30Jvsin135=30,所以y=(-30,30).因为用彳百=总福OC=0A+4C=(2,0)+(-5,5)=(-1,3),所以研二I5,又tanZCQy=1,所以NCOy=I8026；即少年
7、宫C位于距离广场中心100IU米,且在北偏西1826处.21 .(12分)如图所示,在平面斜坐标系Xoy中,NxO.y=60,平面上任意一点2关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若9=XeI+)心(其中e,g分别为X轴、y轴同方向的单位向量),则点P的斜坐标为(xj).若点P在斜坐标系xy中的斜坐标为(2,-2),求点P到原点。的距离.(2)求以原点O为圆心,1为半径的圆在斜坐标系Xoy中的方程.解(1)因为点尸的斜坐标为(2,-2),所以OP=2e-2ez,所以I而2=(2e-2e2)2=4e8ee+4或=8-8xlxlXCoS60=8-4=4,所以|而|=2,即点尸到原点O的距离为2.(2)
8、设圆上动点M的斜坐标为(x,y),则OM=XeI+y2,所以(Xe+ye?)1,则x2ef+2Xye1e2+y2或=1,即2+y2+xy=1,故所求圆的方程为f+y2+xy=l.22 .(12分)设“BC岛是边AB上一定点,满足几片氏且对于边AB上任一点P,恒有丽PCP瓦求证:AC=BC庭明设而二海(OWw1),PC=PB+BC=tAB+BC,PBPC=(tAB(tAB+BC)=t1AB2+tAB玩.由题意而PCPB-PC,即t2AB2+tABBC萍(浑前)=(I)2AB2+1aS-BCt即当f=时而定取得最小值.由二次函数的性质可知-殁与=。，2AB24即-就玩=荏2,.:何说+硝=0.取AB中点M则荏+BCMB+BC=MC,AB祝=0,即ABMC.AC=BC.
