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1、数形结合理解算理摘要：数学是有道理的数学，计算教学也不例外，不明算理的计算没有生命力。数形结合的思想可以让抽象的算理直观化、具体化，让学生经历理解算理的全过程，在理解算理的基础上掌握计算方法，真正做到“知其然，知其所以然。学生在理解算理的深层次学习中提高了计算能力、感悟数学思想、发展数学思维能力，从技能掌握走向思维发展，促进数学素养的形成。关键字：算理，算法，数形结合，操作，几何直观，对比，推理引言：计算教学中我们常常会遇到在新知没有教学之前，学生已经能进行计算，却不能明晰其中算理。在这样的状况下，我们还要去帮助学生明晰其中的算理吗？答案是不言而喻的，方法是可以通过反复的说教，机械的训练达到的
2、，而算理必须要带领学生经历过程，使学生在体验的过程中悟出来。不明算理的计算，只能就题做题，却不能进行必要的拓展与延伸，不明白算理的方法是没有生命力的！如何将让学生在理解算理的基础上掌握算法，将是本文研究的重点。因此,本文就数形结合思想，借助直观的图形帮助学生理解算理，打造说理的计算课堂。计算教学在小学阶段占有十分重要的地位，是数学教学的一个重要领域，也是解决数学问题的基础。在计算教学中，技能熟练与算理理解两者不可偏颇。知道怎么算、理解为什么这样算应当成为计算教学的两个重要目标，兼顾算理与算法。那么，平时教学中如何帮助学生“循里入法，以理驭法呢？我们可以利用数形结合的思想，搭建算理与算法的桥梁，
3、即能调动学生对计算教学的兴趣，又能直观的沟通算理与算法的关系。数缺形时少直观，形少数时难入微，几何直观可以有效展现运算发生、发展、形成的过程，对算理进行深入、系统的研究，让学生知其然，知其所以然，借此提升计算教学的质量，促进学生运算能力的提高和数学素养的形成。一、变数为形，操作中见算理低年级学生的思维特点是以具体的形象思维为主，并且动作思维占主导作用，所以在低年级的计算教学中，尤其是教学的起始阶段，更要注重学生的动手操作，借助动手操作，积累动作直观思维的经验，让学生在动手操作中感悟算理。因此，教学中有效启发学生自己动手，通过实践活动去探索运算法则，让学生在动手操作中亲身经历从实物1到算理，再抽
4、象到算法的完整过程，借助数与摆出的图寻找一一对应的逻辑关系，达到感悟算理、掌握算法。例如，在教学两位数乘一位数（不进位）的笔算乘法这节课，当出示12x3时,可以让学生自主算出得数。有的学生根据乘法的意义想加法算乘法：12+12+12=36；有的学生采用把12分成10和2来口算：103=30,23=6,30+6=36o接着，让学生用小棒摆一摆口算的过程，并圈出每一步的道理，把想法在图中表示出来（如图1）,引导学生运用拆数的方法理解算理。通过摆小棒的操作为后续竖式计算的理解奠定了基础，笔算的每一步都是有道理的，其实口算和笔算的算理是一样的，都是分成两部分去乘，再把它们和起来，图2只是形式不同而已（
5、如图2）o数借助于图就更清晰、更直观了，图有了数的解释就更有数学价值了，将法和理进行有效沟通。103=30-2X3=630+6=36又如，在教学除数是一位数的笔算除法这节课，计算522时，先让学生行动起来，用小棒摆一摆体验分的过程显得尤为重要（如图3）。先将4捆小棒平均分成两份，每份是2捆小棒，再将剩下的一捆小棒拆开，与2根小棒合在一起，是12个小棒，最后将12根小棒平均分成两份，每份是6根小棒，与原来的每份分得的两捆小棒合在一起，就是26根小棒，因此，522=26o学生分小棒的经历，为竖式计算提供了直观模型。接着，将竖式的数与小棒图一一对应，思考：刚才分小棒分了几次?第一次分的是什么？第二次
6、分的是什么？在竖式中是怎么表示余下的12根小棒的？学生在这个过程中明确了两次分法是一致的，每次分都是要尽量分完。借助小棒分、拆、合的可操作性，把计算过程和算理展现的淋漓尽致，让学生看得见摸得着。图3澡2个十S个十减4个十剩下的I个十和2个一合起来是122乘6个一学生动手直观操作，体会每一步数的结果都能在小棒图中找到依据，让学生在数形结合中直观理解，原来竖式的写法还是表示分小棒的过程，成功建构了竖式计算的算法模型。无论是动手操作还是竖式的计算，背后的算理是一样的，但因为动手操作形象直观，学生更容易对外在的操作材料和操作过程的印象深刻，不容易发现隐含在操作中的计算道理。教师在这个过程当中要根据学生
7、的学习困难设计切实有效的操作活动，并及时对蕴含算理的关键动作进行强调和解读，帮助学生体会操作中的数学内涵，只有这样直观手段才能真正为算理提供支撑。我们在教学中要明白操作学具、讲算理与讲算法非简单的线性关系，应当注重让学生操作学具的有效性，借助图示结合的几何直观，通过自己的思考沟通抽象的数学符号与感性操作活动的内在联系，达到理解算理的目的。动手操作“化数为形，物象推演，学生用小棒自己设计并摆出数在运算中的形态，思维能力和推理能力在潜移默化中提升。带有数学价值的图形在学生手中产生，亲身经历的摆一摆过程，更能为算理的理解服务。二、由形转数，图形中悟算理到了中年级学生的数学思维，逐渐由形象思维向抽象思
8、维发展。在计算教学过程当中，学生由于学习经验与知识的积累增厚，逐步脱离动作直观思维的束缚，开始利用直观图形加深对算理的理解。在教学中，可以借助点子图、线段图、方格图、圆形图等直观图形帮助学生建立丰富的表象，促使学生探索计算方法并理解其中的道理。例如，在教学两位数乘两位数（不进位）的笔算乘法这节课时，通过点子图学生直观形象的去理解“14x12的算理和竖式之间的关系（如图4）。先把14x12的点子图分成两部分，即2行和10行，先算2行有142=28个点，就是先算“个位上的2乘14w,再算10行有14x10=140个点，对应竖式中“十位上的数去乘14,最后把两次的积相加28+140=168,就是“1
9、4x12的积。学生通过点子图将两位数乘两位数的口算与竖式步骤一一对应，突破用十位上的数字去乘第一个因数所得的积写在什么位置上这个难点。借助数形结合深入比较辨析，发现计算中的四句乘法口诀在点子图中都能找到它们的位置，它把点子图分成了4个部分，实现了由数到形，由形到数的转换提升。竖式计算每一步乘的顺序和积的位置都是有道理的，明确竖式每一步的合理性，体现竖式的简洁性和优越性。14*12 168X)，H2 81 416 8mm:三三三ia4.书B+图4:Magsss:1再如，在教学+时，学生在计算过程中不再借助直观的操作，而是在直观表象的基础上进行思考（如图5）。把1份与3份合并，其本质就是1个分数单
10、位加上3个分数单位，得到4个分数单位。这里的计算是在结合圆形图示的基础上，引导学生从分数意义的角度来理解同分母分数加减的算理。运用数形结合的思想，很好的依托算理，以图来观察感悟，找到算法。形能让运算的过程形象化，让运算的结果可视化，还可以拓展学生的思维。以形促思，以形助数，引导学生在观察、思考中领悟算理、归纳算法，将思维引向深处。三、“形式变换，对比中通算理计算教学中，由于思考方式不同，同一算式往往会出现不同的计算方法。在教学中，加强算法之间的沟通联系，重视创造机会，让学生观察不同算法之间的相同之处，可以帮助学生在比较联系中感悟算理，抵达计算的本质。因此，沟通不同算法之间的联系是学生深刻理解算
11、理的推力。例如，在教学”14x12时，学生利用点子图在点子图上分一分、算一算，把方法用点子图表示出来。运用先分后合的转化思想，把新知识转化为旧知识。同时，引导学生用不同的方法计算，鼓励方法多样化（如图6）o一般情况下，学生结合点子图对算理已经基本理解，但如果能把多种算法进行联系，让学生观察其相同之处，就会有新的发现：这些方法看着不一样，其实都一样，每一种方法都需要把这两个两位数中的每一位上的数进行相乘（如用12的每一位上的数去乘14每一位上的数），然后把乘得的结果加起来。这样的发现对学生来说意义深远，不仅掌握了两位数乘两位数不同的算法之间相通的道理，同时也为初中以后理解多项式乘法的算理打下基础
12、。方法一方法二方法三方法四424-,2l-2,l4-4. Il-I 斜桥副祀*N1G816 8图6可见，将图形表征、算式表征、计算方法有机融合在一起，让学生对比联系同一算式的不同算法，可以促进学生对方法的深度思考，使学生对算理的理解更加深刻，从而能从一个更高的层面领悟算理的本质，对发展学生的抽象思维能力意义重大！四、图形演变，推理中解算理小学计算教学到了高年级，学生的心理认知能力跃升。在计算方面的思维趋于理性的逻辑思维，更加关注计算内部的逻辑关系以及相互的推理过程。学生将借助己有的知识经验，在推理演变中自主探索算理与算法的联系。例如，教学计算X，分数乘法的算理是属于比较难以理解的教材内容，要使
13、学生深入地理解分数乘分数的算理，首先要求学生对分数的意义有深入的理解，能准确说清楚“谁是谁的几分之几极其重要。巧用一张纸动态演示算理的推导过程，很好地解决了这一难点（如图7）。用一张长方形纸表示1,先把这张纸平均分成2份，其中份表示这张纸的。求的，就是再把这张纸的平均分成5份，取其中的1份，也就相当于把整张纸平均分成了2x5=10份，涂出其中的1份，这一份就占整张纸的。根据学生的思维特点，借助手脑并用、数形结合，引导学生在实践中体会运算的过程、本质的变化、结果的产生，算理的演变过程一步步呈现（如图8）o为了便于理解算理，把几分之几乘几分之几转化成1乘几分之几，所以把的转化为1的。让学生经历这样
14、的推理过程，不只是为了归纳、总结分数乘分数的算法，更是为将来解决一些复杂的问题提供了分析的方法。教学时充分发挥直观图的特点，使学生联系分数的意义，看到算式中的每一部分在图上是如何表示的，让学生“知其然更知其所以然。学生在探索和理解分数乘分数算理的基础上，一步一步的总结出分数乘分数的计算方法，渗透数形结合的数学思想，培养学生的逻辑推理能力。总之，“数学是有道理的数学，计算教学更应以理而学，顺理而教。算理与算法是计算教学的关键因素，我们要根据学生的思维由具体到抽象的发展规律，结合小学计算教学内容的螺旋上升趋势，将数与形有机融合，打通算理与算法的大门。在操作中见算理、图形中悟算理、对比中通算理、推理
15、中解算理，为算理与算法搭建沟通的桥梁。学生只有在清晰理解算理的基础上，算法才能从算理中自然生成；只有算理与算法自然交融，才能真正形成计算技能。在计算教学的路上，我们要坚守“在理解算理的基础上掌握算法的初心不动摇，借图明理、图式关联悟算法，致力于打造让计算教学理法融合、相得益彰的说理课堂，才能在帮助学生形成计算能力的同时，促进数学核心素养的培养。参考文献：1范艳华：以学定教以教导学：教学模式和课型的选择与应用（第2版）M.东北师范大学出版社2014年版，第1323页。刘颖：几何直观在小学数学计算教学中的应用策略J.小学数学教育，2020（9）：12-14.任院玲：基于算理理解实现算法掌握J.小学数学教育，2020(7)：27-28.范艳华：学生发展核心素养视域下的课堂教学指南(第1版)M.东北师范大学出版社2017年版,第6084页。
