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1、巧解外接球问题摘要：外接球有关计算问题在近年高考试题中屡见不鲜，本文就长方体、正方体及棱锥的外接球有关问题，给出了特殊解法。关键词：巧解外接球问题普通高中数学课程标准中对立体几何初步的学习提出了根本要求：“在立体几何初步局部，学生将先从对空间儿何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；。”由此可见，长方体模型是学习立体几何的根底，掌握长方体模型，对于学生理解立体几何的有关问题起着非常重要的作用。有关外接球的立体儿何问题是近年各省高考试题的难点之一，这与学生的空间想象能力以及化归能力有关，木文通过近年来局部高考试题中外接球的问题谈几种解法。一、直
2、接法1、求正方体的外接球的有关问题例1假设棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为.解析：要求球的外表积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故外表积为27万.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，假设该正方体的外表积为24,那么该球的体积为.解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体外表积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是2道所以球的半径为.故该球的体积为4鬲.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面
3、上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3,那么此球的外表积为.解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为JiZ,故球的外表积为14.例4、（2006年全国卷I）各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,那么这个球的外表积为（）.A.16;TB.20万C.24D.32解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2,因此，长方体的长、宽、高分别为2,2,4,于是等同于例3,应选C.二、构造法1、构造正方体例5假设三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为G,那么其外接球的外表积是.解析：此题用一般解法，需要
4、作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1,那么AC=BC=CD=JJ,那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求外表积是9万.（如图1）例好个四1的所有棱娜5笈1四个顶点在同球面上，那别球蛉、射为（）解析：一呼怯，需设出球心，除8高线，构造直角三修/再计算球的半径.在此，花（所百棱长都相等，我嫄金只有正方体中有这么篇印曲线段，所以他一个正在，再寻找棱长相会攻面体,如图2/四面他Irt丽求得正方体的棱长C为甲，体对
5、角线为JL从前外接球的直径也为JL所以此球的外表EEKe得，应选A.（如图2）图1A例7在等腰梯形AoLD中，AB=2DC=2,ZDAB=6Oo,E为AB的中点，将MDE与ABEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P,那么三棱锥P-DCE的外接球的体积为（）.ad6C瓜r.6A.7B.7C.7D.TC272824解析：（如图3）因为AE=EB=DC=1,NDAB=NCBE=NDEA=60,所以AD=AE=Eb=BC=DC=DE=CE=I,即三棱锥P-DCE为正四面体，至此，这与例6就完全相同了，应选C.P例糖。的面上四点gB、C、D,DA_L平面ABC,DA=AB=BC=3,那么球O的
6、m：此题谗陟/般方法M需要找出球心，求出球利吃务模型很快便可找到球的fDAllABC,ABlBc,联想长方体构曲图4所示的长方体,又因为DA=AB=BC=JL那么此长方体位he体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解9出CD=3.故球。的体积等于2;r.（如图4）22、构造长方体例9点A、B、C、D在同一个球面上，AB_L平面BCD,BC_LOC,假设A6=6,AC=213,AD=8，那么B、C两点间的球面距离是.解析：首先可联想到例8,构造下面的长方体，于是AD为球的直径，O为球心，OB=OC=4为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出NBoC即可，在RA8C中，求出8C=4,所以4NBoC=60,故B、C两点间的球面距离是一万.（如图5）3图5
