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1、小升初奥数一排列组合问题一、排列组合应用【例1】小新、阿呆等七个同窗照像,分别求出在下列条件下有多少种站法?(1)七个人排成一排;(2)七个人排成一排,小新必要站在中间.(3)七个人排成一排,小新、阿呆必要有一人站在中间.(4)七个人排成一排,小新、阿呆必要都站在两边.(5)七个人排成一排,小新、阿呆都没有站在边上.(6)七个人战成两排,前排三人,后排四人.(7)七个人战成两排,前排三人,后排四人.小新、阿呆不在同一排。【解析】(1)Pi=5040(种)。7(2)只需排别的6个人站剩余6个位置.Pe=720(种).6(3)先拟定中间位置站谁,冉排剩余6个位置.2XP6=i440(种).6(4)
2、先排两边,再排剩余5个位置,其中两边小新和阿呆还可以互换位置.2R=240(种).5(5)先排两边,从除小新、阿呆之外5个人中选2人,再排剩余5个人,RxR=2400(种).55(6)七个人排成一排时,7个位置就是各不相似.当前排成两排,不论先后排各有几种人,7个位置还是各不相似,因此本题实质就是7个元素全排列.Pi=5040(种).7(7)可以分为两类状况:“小新在前,阿呆在后”和“小新在前,阿呆在后”,两种状况是对等,因此只规定出其中一种排法数,再乘以2即可.4X3XP5X2=2880(种).排队问题,普通先考虑特殊5状况再去全排列。【例2】某管理员忘掉了自己小保险柜密码数字,只记得是由四
3、个非。数码构成,且四个数码之和是9,那么保证打开保险柜至少要试几次?【解析】四个非0数码之和等于9组合有1,1,1,6:1,1,2,5:1,1,3,4:1,2,2,4:1,2,3,3:2,2,2,3六种。第一种中,可以构成多少个密码呢?只要考虑6位置就可以了,6可以任意选取4个位置中一种,别的位置放1,共有4种选取;第二种中,先考虑放2,有4种选取,再考虑5位置,可以有3种选取,剩余位置放1,共有4X3=12(种)选取同样办法,可以得出第三、四、五种都各有12种选取.最后一种,与第一种情形相似,3位置有4种选取,别的位置放2,共有4种选取.综上所述,由加法原理,一共可以构成4+12+12+12
4、+12+4=56(个)不同四位数,即保证能打开保险柜至少要试56次.【例3】一种电子表在6时24分30秒时显示为6:24:30,那么从8时到9时这段时间里,此表5个数字都不相似时刻一共有多少个?【解析】设AiBC是满足题意时刻,有A为8,B、D应从0,1,2,3,4,5这6个数字中选取两个不同DE数字,因此有尸2种选法,而。、E应从剩余7个数字中选取两个不同数字,因此有P2种选法,因67此共有尸2P2=1260种选法。67从8时到9时这段时间里,此表5个数字都不相似时刻一共有1260个。【例4】4名男生,5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同排法:(1)甲不在中间也不在两端;甲、乙两
5、人必要排在两端;男、女生分别排在一起;(4)男女相间.【解析】(1)先排甲,9个位置除了中间和两端之外6个位置都可以,有6种选取,剩余8个人随意排,也就是8个元素全排列问题,有A=8x7x6x5x4x3x2x1=40320(种)选取.由乘法原理,8共有6X40320=241920(种)排法.(2)甲、乙先排,有P2=2l=2(种)排法;剩余7个人随意排,有20=7x6x5x4x3x2x1=5040(种)排法.由乘法原理,共有25040=10080(种)排法.7(3)分别把男生、女生当作一种整体进行排列,有P2=2l=2(种)不同排列办法,再分别对男生、2女生内部进行排列,分别是4个元素与5个元
6、素全排列问题,分别有Pi=4321=24(种)和Ps=54321=120(种)排法.由乘法原理,共有2x24x120=5760(种)排法.(4)先排4名男生,有P4=4x3x2x1=24(种)排法,再把5名女生排到5个空档中,有R=5x4x3x2x1=120(种)排法.由乘法原理,一共有24x120=2880(种)排法。5【例5】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目.求:(1)当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少不同安排节目顺序?当规定每2个舞蹈节目之间至少安排I个演唱节目时,一共有多少不同安排节目顺序?【解析】(1)先将4个舞蹈节目当作1个节目,与6个演唱节目一起排,则是7个元素全排列问题,
7、有P7=7!=7x6x5x4x3x2x1=5040(种)办法.第二步再排4个舞蹈节目,也就是4个舞蹈节7目全排列问题,P*=4!=4321=24(种)办法.4依照乘法原理,一共有504OX24=120960(种)办法.(2)一方面将6个演唱节目排成一列(如下图中“”),是6个元素全排列问题,一共有R=6!=6X5X4X3X2l=720(种)办法.6第二步,再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间(即上图中“X”位置),这相称于从7个“X”中选4个来排,一共有R=7x654=840(种)办法.7依照乘法原理,一共有720840=604800(W办法。【例6】从1,2,,8中任取3个数构成无
8、重复数字三位数,共有多少个?(只规定列式)从8位候选人中任选三位分别任团支书,组织委员,宣传委员,共有多少种不同选法?(3)3位同窗坐8个座位,每个座位坐1人,共有几种坐法?(4)8个人坐3个座位,每个座位坐1人,共有多少种坐法?一火车站有8股车道,停放3列火车,有多少种不同停放办法?8种不同菜籽,任选3种种在不同土质三块土地上,有多少种不同种法?【解析】按顺序,有百位、十位、个位三个位置,8个数字(8个元素)取出3个往上排,有P3种.8(2)3种职务3个位置,从8位候选人(8个元素)任取3位往上排,有白种.8(3)3位同窗当作是三个位置,任取8个座位号(8个元素)中3个往上排(座号找人),每
9、拟定一种号码即相应一种坐法,有P3种.8(4)3个坐位排号1,2,3三个位置,从8人中任取3个往上排(人找座位),有P3种.(5)3列火车编为1,2,3号,从8股车道中任取3股往上排,共有Ps种.8土地编1,2,3号,从8种菜籽中任选3种往上排,有P3种。8【例7】某校举办男生乒乓球比赛,比赛提成3个阶段进行,第一阶段:将参加比赛48名选手提成8个小组,每组6人,分别进行单循环赛;第二阶段:将8个小组产生前2名共16人再提成4个小组,每组4人,分别进行单循环赛;第三阶段:由4个小组产生4个第I名进行2场半决赛和2场决赛,拟定1至4名名次.问:整个赛程一共希要进行多少场比赛?【解析】第一阶段中,
10、每个小组内部6个人每2人要赛一场,组内赛C2=经=15场,共8个小组,有6214x315x8=120场;第二阶段中,每个小组内部4人中每2人赛一场,组内赛C2=6场,共4个小-21组,有6x4=24场;第三阶段赛2+2=4场.依照加法原理,整个赛程一共有120+24+4=148场比赛。【例8】8个人站队,冬冬必要站在小悦和阿奇中间(不一定相邻),小蕙和大智不能相邻,小光和大亮必要相邻,满足规定站法一共有多少种?【解析】冬冬要站在小悦和阿奇中间,就意味着只要为这三个人选定了三个位置,中间位置就一定要留给冬冬,而两边位置可以任意地分派给小悦和阿奇.小慧和大智不能相邻互补事件是小慧和大智必要相邻小光
11、和火亮必要相邻,则可以将两人捆绑考虑只满足第一、三个条件站法总数为:GXP2X。XP2XP3=3360(种)72423同步满足第一、三个条件,满足小慧和大智必要相邻站法总数为:OP2P2P2P2=960(种)62322因而同步满足三个条件站法总数为:3360-960=2400(种)。例9某池塘中有48、C三只游船,A船可乘坐3人,B船可乘坐2人,C船可乘坐1人,今有3个成人和2个小朋友要分乘这些游船,为安全起见,有小朋友乘坐游船上必要至少有个成人陪伴,那么她们3人乘坐这三支游船所有安全乘船办法共有多少种?【解析】由于有小朋友乘坐游船上必要至少有1个成人陪伴,因此小朋友不能乘坐。船.(1)若这5
12、人都不乘坐C船,则正好坐满4、3两船,若两个小朋友在同一条船上,只能在A船上,此时A船上还必要有1个成人,有O=3种办法;若两个小朋友不在同一条船上,即分别在A、8两船上,则8船上有1个小朋友和1个成人,1个小朋友有。=2种选取,1个成人有。=3种选取,因此有2x3=6种办法.故5人都不乘坐C船有3+6=9种安全办法;(2)若这5人中有1人乘坐C船,这个人必然是个成人,有。=3种选取.别的2个成人与2个小朋友,3若两个小朋友在同一条船上,只能在A船上,此时A船上还必要有1个成人,有。=2种办法,因2此此时有3x2=6种办法;若两个小朋友不在同一条船上,那么8船上有1个小朋友和1个成人,此时1个
13、小朋友和1个成人均有Ci=2种选取,因此此种状况下有3x2x2=12种办法;故5人中有1人2乘坐C船有6+12=18种安全办法.因此,共有9+18=27种安全乘法.【例10】从10名男生,8名女生中选出8人参加游泳比赛.在下列条件下,分别有多少种选法?恰有3名女生入选;至少有两名女生入选;某两名女生,某两名男生必要入选;某两名女生,某两名男生不能同步入选;某两名女生,某两名男生最多入选两人。【解析】恰有3名女生入选,阐明男生有5人入选,应为。3xC5=14112种;8IO规定至少两名女生人选,那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合规定.运用包括与排除办法,从所有也许选法中减去不符合
14、规定状况:Ce-Cs-C7Ci=43758;1810108(3)4人必要入选,则从剩余14人中再选出此外4人,有Cl=100l种:14从所有选法C8种中减去这4个人同步入选CI种:1814Ce-C=43758-1001=42757.1814分三类状况:4人无人入选:4人仅有1人入选;4人中有2人入选,共:C+C1C7+C2xC6=34749。MHM【例11】在10名学生中,有5人会装电脑,有3人会安装音响设备,别的2人既会安装电脑,又会安装音响设备,今选派由6人构成安装小组,组内安装电脑要3人,安装音响设备要3人,共有多少种不同选人方案?【解析】按具备双项技术学生分类:543(1)两人都不选派
15、,有C3=10(种)选派办法;532x1两人中选派1人,有2种选法.而针对此人任务又分两类:5x4若此人要安装电脑,则还需2人安装电脑,有。=10(种)选法,而此外会安装音响设备3521人全选派上,只有1种选法.由乘法原理,有IOXI=IO(种)选法;Qy9若此人安装音响设备,则还需从3人中选2人安装音响设备,有C?=4=3(种)选法,需从5人321中选3人安装电脑,有C:,=JL,=io(种)选法.由乘法原理,有3x10=30(种)选法.a321依照加法原理,有10+30=40(种)选法;综上所述,一共有2x40=80(种)选派办法.(3)两人全派,针对两人任务可分类讨论如下:两人全安装电脑,则还需要从5人中选1人安装电脑,此外会安装音响设备3人全选上安装音响设备,有5x1=5(种)选派方案;两人一种安装电脑,一种安装音响设备,有OX。=5x43x2=6o(种)选派方案:532121