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1、小升初奥数一排列组合问题一、排列组合应用【例1】小新、阿呆等七个同窗照像，分别求出在下列条件下有多少种站法?（1）七个人排成一排;（2）七个人排成一排，小新必要站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必要有一人站在中间.（4）七个人排成一排，小新、阿呆必要都站在两边.（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。【解析】（1）Pi=5040（种）。7（2）只需排别的6个人站剩余6个位置.Pe=720（种）.6（3）先拟定中间位置站谁，冉排剩余6个位置.2XP6=i440（种）.6（4）
2、先排两边，再排剩余5个位置，其中两边小新和阿呆还可以互换位置.2R=240（种）.5（5）先排两边，从除小新、阿呆之外5个人中选2人，再排剩余5个人，RxR=2400（种）.55（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相似.当前排成两排，不论先后排各有几种人，7个位置还是各不相似，因此本题实质就是7个元素全排列.Pi=5040（种）.7（7）可以分为两类状况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种状况是对等，因此只规定出其中一种排法数，再乘以2即可.4X3XP5X2=2880（种）.排队问题，普通先考虑特殊5状况再去全排列。【例2】某管理员忘掉了自己小保险柜密码数字，只记得是由四
3、个非。数码构成，且四个数码之和是9,那么保证打开保险柜至少要试几次?【解析】四个非0数码之和等于9组合有1,1,1,6:1,1,2,5:1,1,3,4:1,2,2,4:1,2,3,3:2,2,2,3六种。第一种中，可以构成多少个密码呢？只要考虑6位置就可以了，6可以任意选取4个位置中一种，别的位置放1,共有4种选取;第二种中，先考虑放2,有4种选取，再考虑5位置，可以有3种选取，剩余位置放1,共有4X3=12（种）选取同样办法，可以得出第三、四、五种都各有12种选取.最后一种，与第一种情形相似，3位置有4种选取，别的位置放2,共有4种选取.综上所述，由加法原理，一共可以构成4+12+12+12
4、+12+4=56（个）不同四位数，即保证能打开保险柜至少要试56次.【例3】一种电子表在6时24分30秒时显示为6:24：30,那么从8时到9时这段时间里，此表5个数字都不相似时刻一共有多少个？【解析】设AiBC是满足题意时刻，有A为8,B、D应从0,1,2,3,4,5这6个数字中选取两个不同DE数字，因此有尸2种选法，而。、E应从剩余7个数字中选取两个不同数字，因此有P2种选法，因67此共有尸2P2=1260种选法。67从8时到9时这段时间里，此表5个数字都不相似时刻一共有1260个。【例4】4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同排法：（1）甲不在中间也不在两端；甲、乙两
5、人必要排在两端；男、女生分别排在一起；（4）男女相间.【解析】（1）先排甲，9个位置除了中间和两端之外6个位置都可以，有6种选取，剩余8个人随意排，也就是8个元素全排列问题，有A=8x7x6x5x4x3x2x1=40320（种）选取.由乘法原理,8共有6X40320=241920（种）排法.（2）甲、乙先排，有P2=2l=2（种）排法；剩余7个人随意排，有20=7x6x5x4x3x2x1=5040（种）排法.由乘法原理，共有25040=10080（种）排法.7（3）分别把男生、女生当作一种整体进行排列，有P2=2l=2（种）不同排列办法，再分别对男生、2女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元
6、素全排列问题，分别有Pi=4321=24（种）和Ps=54321=120（种）排法.由乘法原理，共有2x24x120=5760（种）排法.（4）先排4名男生，有P4=4x3x2x1=24（种）排法，再把5名女生排到5个空档中，有R=5x4x3x2x1=120（种）排法.由乘法原理，一共有24x120=2880（种）排法。5【例5】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目.求：（1）当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同安排节目顺序？当规定每2个舞蹈节目之间至少安排I个演唱节目时，一共有多少不同安排节目顺序？【解析】（1）先将4个舞蹈节目当作1个节目，与6个演唱节目一起排，则是7个元素全排列问题，
7、有P7=7!=7x6x5x4x3x2x1=5040（种）办法.第二步再排4个舞蹈节目，也就是4个舞蹈节7目全排列问题，P*=4!=4321=24（种）办法.4依照乘法原理，一共有504OX24=120960（种）办法.（2）一方面将6个演唱节目排成一列（如下图中“”），是6个元素全排列问题，一共有R=6!=6X5X4X3X2l=720（种）办法.6第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间（即上图中“X”位置），这相称于从7个“X”中选4个来排，一共有R=7x654=840（种）办法.7依照乘法原理，一共有720840=604800（W办法。【例6】从1,2,，8中任取3个数构成无
8、重复数字三位数，共有多少个？（只规定列式）从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同选法？（3）3位同窗坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？（4）8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同停放办法？8种不同菜籽，任选3种种在不同土质三块土地上，有多少种不同种法？【解析】按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字（8个元素）取出3个往上排，有P3种.8（2）3种职务3个位置，从8位候选人（8个元素）任取3位往上排，有白种.8（3）3位同窗当作是三个位置，任取8个座位号（8个元素）中3个往上排（座号找人），每
9、拟定一种号码即相应一种坐法，有P3种.8（4）3个坐位排号1,2,3三个位置，从8人中任取3个往上排（人找座位），有P3种.（5）3列火车编为1,2,3号，从8股车道中任取3股往上排，共有Ps种.8土地编1,2,3号，从8种菜籽中任选3种往上排，有P3种。8【例7】某校举办男生乒乓球比赛，比赛提成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛48名选手提成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生前2名共16人再提成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生4个第I名进行2场半决赛和2场决赛，拟定1至4名名次.问：整个赛程一共希要进行多少场比赛？【解析】第一阶段中，
10、每个小组内部6个人每2人要赛一场，组内赛C2=经=15场，共8个小组，有6214x315x8=120场；第二阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛C2=6场，共4个小-21组，有6x4=24场；第三阶段赛2+2=4场.依照加法原理，整个赛程一共有120+24+4=148场比赛。【例8】8个人站队，冬冬必要站在小悦和阿奇中间（不一定相邻），小蕙和大智不能相邻，小光和大亮必要相邻，满足规定站法一共有多少种？【解析】冬冬要站在小悦和阿奇中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间位置就一定要留给冬冬，而两边位置可以任意地分派给小悦和阿奇.小慧和大智不能相邻互补事件是小慧和大智必要相邻小光
11、和火亮必要相邻，则可以将两人捆绑考虑只满足第一、三个条件站法总数为：GXP2X。XP2XP3=3360（种）72423同步满足第一、三个条件，满足小慧和大智必要相邻站法总数为：OP2P2P2P2=960（种）62322因而同步满足三个条件站法总数为：3360-960=2400（种）。例9某池塘中有48、C三只游船，A船可乘坐3人，B船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3个成人和2个小朋友要分乘这些游船，为安全起见，有小朋友乘坐游船上必要至少有个成人陪伴，那么她们3人乘坐这三支游船所有安全乘船办法共有多少种？【解析】由于有小朋友乘坐游船上必要至少有1个成人陪伴，因此小朋友不能乘坐。船.（1）若这5
12、人都不乘坐C船，则正好坐满4、3两船，若两个小朋友在同一条船上，只能在A船上，此时A船上还必要有1个成人，有O=3种办法；若两个小朋友不在同一条船上，即分别在A、8两船上，则8船上有1个小朋友和1个成人，1个小朋友有。=2种选取，1个成人有。=3种选取，因此有2x3=6种办法.故5人都不乘坐C船有3+6=9种安全办法；(2)若这5人中有1人乘坐C船，这个人必然是个成人，有。=3种选取.别的2个成人与2个小朋友，3若两个小朋友在同一条船上，只能在A船上，此时A船上还必要有1个成人，有。=2种办法，因2此此时有3x2=6种办法；若两个小朋友不在同一条船上，那么8船上有1个小朋友和1个成人，此时1个
13、小朋友和1个成人均有Ci=2种选取，因此此种状况下有3x2x2=12种办法；故5人中有1人2乘坐C船有6+12=18种安全办法.因此，共有9+18=27种安全乘法.【例10】从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛.在下列条件下，分别有多少种选法？恰有3名女生入选；至少有两名女生入选；某两名女生，某两名男生必要入选；某两名女生，某两名男生不能同步入选；某两名女生，某两名男生最多入选两人。【解析】恰有3名女生入选，阐明男生有5人入选，应为。3xC5=14112种；8IO规定至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合规定.运用包括与排除办法，从所有也许选法中减去不符合
14、规定状况：Ce-Cs-C7Ci=43758；1810108(3)4人必要入选，则从剩余14人中再选出此外4人，有Cl=100l种：14从所有选法C8种中减去这4个人同步入选CI种：1814Ce-C=43758-1001=42757.1814分三类状况：4人无人入选：4人仅有1人入选；4人中有2人入选，共：C+C1C7+C2xC6=34749。MHM【例11】在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，别的2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由6人构成安装小组，组内安装电脑要3人，安装音响设备要3人，共有多少种不同选人方案？【解析】按具备双项技术学生分类：543(1)两人都不选派
15、，有C3=10(种)选派办法；532x1两人中选派1人，有2种选法.而针对此人任务又分两类：5x4若此人要安装电脑，则还需2人安装电脑，有。=10(种)选法，而此外会安装音响设备3521人全选派上，只有1种选法.由乘法原理，有IOXI=IO(种)选法;Qy9若此人安装音响设备，则还需从3人中选2人安装音响设备，有C?=4=3（种）选法，需从5人321中选3人安装电脑，有C：,=JL，=io（种）选法.由乘法原理，有3x10=30（种）选法.a321依照加法原理，有10+30=40（种）选法；综上所述，一共有2x40=80（种）选派办法.（3）两人全派，针对两人任务可分类讨论如下：两人全安装电脑，则还需要从5人中选1人安装电脑，此外会安装音响设备3人全选上安装音响设备，有5x1=5（种）选派方案；两人一种安装电脑，一种安装音响设备，有OX。=5x43x2=6o（种）选派方案:532121
