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1、抛物线及其性质1 .抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹称为抛物线.2 .抛物线四种标准方程的几何性质：图形4k-市参数P几何意义参数P表示焦点到准线的距离，P越大，开口越阔.开口方向右左上T标准方程y2=2PX(P0)=-2px(p0)X2=2pyp0)X2=-2py(p0)焦点位置X正X负Y正Y负焦点坐标(f.0)(-多0)(0,9(OT)2准线方程LK2X=E212y=E2范围x0,y三Rx0,yHy0,x?y0,x三R对称轴X轴X轴Y轴Y轴顶点坐标(0,0)离心率e=l通径2p焦半径A(XQj)AF=X12F=-x112AF=凹+AF=-y+-12焦点弦长IA
2、Bl(x1+x2)+p-(x1+2)+P(y+%)+-(,+y2)+P焦点弦长IABl的补充A(X1，%)U2,y2)以AB为直径的圆必与准线/相切若A3的倾斜角为,|八Bl=2Psin2a若43的倾斜角为二,则=Cosa2p22=y2=-p11AFBFAB2+AFBFAFBFAFBFP3.抛物线2=2M”()的几何性质:(1)范围：因为PO,由方程可知x20,所以抛物线在y轴的右侧，当X的值增大时，Iyl也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向.顶点(0,0),离心率：e=lf焦点嘴,0),准线=焦准距p.(4)焦点弦：抛物线F=2px(p
3、0)的焦点弦AB,A(Xl,/)，(乙,力)，则IABl=X+/+P弦长IABl=x1+x2+p,当xi=x2b+,通径最短为2o4 .焦点弦的相关性质：焦点弦AB,A(xl9yl),B(x2,y2)f焦点/(4,O)(1)若AB是抛物线)？=2px(p0)的焦点弦(过焦点的弦)，且A(Xl,y),B(x2,y2),JO1J：a-1x5=-,4JlJ2=-P-O(2)若AB是抛物线)J=2p(p0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为,则IzWl=卫(0)oIISin211p+BFAB2(3)已知直线AB是过抛物线J=2PX(P0)焦点F,1=AFBFAFBFAFBFP(4)焦点弦中通径最短长为2p
4、。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径.(5)两个相切：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5 .弦长公式：A(Xl,弘)，8(冗2，力)是抛物线上两点，则B=(x1-2)2+(y1-y2)2=Ji+%?I项一/=J+表IM-乂I6 .直线与抛物线的位置关系直线Ly=H+B,抛物线Uy2=2,y=kx+by=20x,消y得：V+2(-)x+2=0(1)当k=0时，直线/与抛物线的对称轴平行，有一个交点；(2)当k0时，0,直线/与抛物线相交，两个不同交点；=0,直线/与抛物线相切，一个切点；2=j+*J(y+)2
5、)2-4%为=J+12b.中点MCrO,%),Xo=1了,%=-)!；点差法：设交点坐标为A(X”y),B(x2,y2),代入抛物线方程，得康二2师y22=2px2将两式相减，可得(%一Xm+%)=2pUi-X?)兄一以一2Xl-X2j+y2a.在涉及斜率问题时，kAB=3+刈b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(,y),又二匹=二_=22=2,为一/y+%2X)%即砥6=2,Jo同理，对于抛物线d=2Py(P0),若直线/与抛物线相交于A、B两点，点、M(XO,y)是弦AB的中点，则有的=922pp(注意能用这个公式的条件：1)直线与抛物线有两个不同的交点，2)直线的斜率存在，且不
6、等于零)【经典例题】(1)抛物线二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=l,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.【例1】P为抛物线y2=2p上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴()D位置由P确定A相交8.相切C.相离【解析】如图，抛物线的焦点为广究,0),准线是/：1=一为作PH_L/于H,交y轴于Q,那么IP同=IP且|。M=IoH=.作MNJ_y轴于N则MN是梯形PQOF的中位线，N=g(OF+1PQ)=gIPM=J尸目.
7、故以PF为直径的圆与y轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.(2)焦点弦一常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2】过抛物线y?=2PX(PAo)的焦点F作直线交抛物线于A(N，yJ,5(/,%)两点，求证：I2(1) A3=%+%+(2)I1+I=一1 1,2,AFBFp【证明】(1)如图设抛物线的准线为/,作A14，四_L/于旦，则IAFl=IA4t=x+g忸日=忸图=/+.两式相加即得：AB=x1+x2+p(2)当AB-LX轴时，有112af=IbfI=p9：.-,
8、-+1_r=一成立；1 111zAFBFp当AB与X轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：.代入抛物线方程:/22=2PX.化简得：k2x2-p(k2+2)x+-k2=O(1)；方程(1)之二根为Xi,2,*XX7=.14111111xl+x2+p-I-I-三m-阴阳IMl阿L4X2x1x2(x1x2)4_x1+x2+p_x1+x2+p_24+yU+)+f+%+p)p112故不论弦AB与X轴是否垂直，恒有：7+jr=一成立.M附p(3)切线一抛物线与函数有壕有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.【例3】证明：过抛物线y2=2px上一点M(xo
9、,yo)的切线方程是：yoy=p(+xo)【证明】对方程V=2px两边取导数：2yy=2p,.y=K.切线的斜率yZ=ymb=，.由点斜式方程：y-%=f(X-X(J)=%y=px_pxo+y；yj=2p/,代入即得：y0y=P(+o)(4)定点与定值抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则此动圆必过定点()A(4,0)8(2,0)C.(0,2)D.(0,-2)显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.2 .抛物线y2=Ipx的通径长
10、为2p；3 .设抛物线y?=2px过焦点的弦两端分别为Aa,),3(W,%)，那么：P2以下再举一例【例4】设抛物线=2px的焦点弦AB在其准线上的射影是AB,证明：以AB为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么AB=AB=2p,而AB与AB的距离为p,可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为A(APy),3(%,%)，那么:yiy2=-P2=C41CB1=y1y2=P2.设抛物线的准线交X轴于C,那么IeFI=.然/4中|。尸|2=|6.仁图.故41尸4=90。.这就说明：以A
11、B为直径的圆必过该抛物线的焦点.通法特法妙法(1)解析法为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题(如对称问题等).【例5】(10.四川文科卷.10题)已知抛物线y=-+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则IABl等于()A.3B.4C.32D.42【分析】直线AB必与直线x+y=O垂直，且线段AB的中点必在直线x+y二。上，因得解法如下.【解析】点A、B关于直线x+y=O对称，设直线AB的方程为：y=x+tn.y=x+m9/、由x2+xw-3=0(1)y=-2+3V7设方程(1)之两根为Xi,X2,则+W=-L设AB的中点为M(
12、xo,yo),则=、+”=.代入x+y=O:y0=L故有Mj-222I22yl从而机=y-=1.直线AB的方程为：y=x+l.方程(1)成为：2+x-2=0.解得：X=-2,1,从而y=T,2,故得：A(-2,-1),B(1,2)./.AB=32,选C.(2)几何法为解析法添彩扬威F(1.0)虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例6】(11.全国1卷.11题)抛物线二叔的焦点为产，准线为/,经过尸且率为的直线与抛物线在X轴上方的部分相交于点A,AKl/,垂足为K,则府的面积（A.4B.3耳C.43D.8【解析】如图直线AF的斜率为6时NAFX=60.AFK为正三角形.设准线/交X轴于M,则IfMl=2,ZT且NKFM=60,国产|=4,5*=子*42=4近.选（1【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的面积用公式SA=Cr计算.（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.（3）定义法一追本求真的简单一看许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线c1-=i（t7
