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1、必修二立体几何常考证明题一.证明线线平行，线面平行，面面平行1.利用三角形中位线2.利用平行四边形考点L证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角例1：四边形ABCO是空间四边形，E,EG,H分别是边A8,8C,CO,0A的中点（1）求证：EFGH是平行四边形（2）假设BD=2LAC=2,EG=2o求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。证明：(1在ABO中，瓦”分别是A3,AO的中点2同理，FGHBD,FG=LBD：.EH/FG,EH=FG/.四边形EFGH是平行四边形。290030考点2:线面平行的判定例2：ABC中NAC3=90,SA上面ABC,AD_LSC,求证：AD_L面
2、SBC.S证明：VZACB=90BC-LAC又81_1面48。.SA-LBC:.BC1WSAC.BC-LADLX又SC_LAD,SCrBC=C.ad面SBC考点3：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定例3：正方体ABCD-ABCZr中，求证：AC_L平面8。平面ACZr考点4：线面平行的判定（利用平行四边形）例4：四面体ABCz）中，4C=BD,瓦尸分别为AD,BC的中点，.且EF=立AC,2NBDC=90,求证：或_L平面ACo证明:取Co的中点G,连结EGFG,丁豆尸分别为AD,3C的中点，：.EGU-AC2FGU-BD,又/C=BD,G=LAC,，在EFG中，EG2FG2=-
3、AC2=EF2222EGA.FG,：.BDACr又NBDC=90,即3DJ_CD,ACCa）=C/.3。_L平面ACD考点5：线面平行的判定（利用三角形中位线）例5：如图，在正方体ABC。-A4CA中，E是AA的中点.（1）求证：AC平面BOE；（2）求证：平面AAC_L平面切定.证明：（1）设ACCB0=0,YE、0分别是A4、AC的中点，.AC石。又ACZ平面3DE,EoU平面BDE,A1C平面8。E（2）.AA1_L平面ABC。，BDU平面ABCD,AAtIBD又3_LAC,CcA1=A,.BoJ_平面AAC,BOU平面8E,平面或E_L平面AAC二.证明线线垂直，线面垂直，面面垂直考点
4、L线面平行的判定(利用三角形中位线)，面面垂直的判定例1：如图，空间四边形A5CZ)中，BC=AC,AD=BDfE是AB的中点。求证：(1) AB_L平面CDE;(2)平面CDEj_平面ABCo证明：(1)BC =AE =ACCELAB BE同理,AD=BDAE = BEDElAB又. CECDE=E：.A3 _L平面 CZ)E(2)由有AB_L平面CDE又.AB平面ABCt.平面cdej_平面abc例2：ABCr)是矩形，PA_1_平面ABeO,AB=2,PA=AD=4,E为3。的中点.(1)求证：E_L平面A4E；(2)求直线DP与平面Q4E所成的角.证明：在AD石中，AD2=AE2DE2
5、f:.AEA.DE；PA_L平面ABC。，OEU平面ABC。，.PALDE又BACAE=A,.oe,平面PAE(2)NOPE为。P与平面E所成的角在RfAD,Po=4,在用DCE中，DE=2版在RDEP中，PD=2DE,:.ZDPE=3(f考点2:线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形例3：如图尸是A3C所在平面外一点，PA=PB,C8_L平面QAB,M.是PC的中点，N是AB上的点，AN=3NB(1)求证：MN工AB；(2)当NAPB=90,AB=2BC=4,时，求MN的长。证明：(1)取PA的中点。，连结MQ,NQ,；M是依的中点，：.MQHBC,*.C8_L平面8，：.A/Q_L平
6、面RIeQN是MN在平面RW内的射影，取A3的中点。，连结PD,PA=PB,；PD工AB,又AN=3NB,：.BN=ND.,.QNPDf：.QNlABf由三垂线定理得MVJ.AB(2)VZAPB=90,PA=PB,：.PD=AB=2f：.QN=,丁MQ_L平面EAB.工MQLNQ,且M2=gBC=l,：.MN=6考点3:线面垂直，面面垂直的判定例4：如图，在正方体A8C。-AEGR中，E是AA的中点,求证：AC平面BDE。证明:连接AC交3。于。，连接EO,七为AA的中点，。为AC的中点JEO为三角形AAC的中位线AEOHC又Eo在平面8。石内，AC在平面BZm外例5：正方体ABCo-ABc。
7、，。是底ABCO对角线的交点.求证：(I)CIo面的R；ACJ.面明a.证明：连结AG，设AGCBa=,连结AolABCD-AiBlCiDi是正方体/.,ACC1是平行四边形.4C“AC且AG=AC又Q,。分别是AG,AC的中点，0iGA。且QG=4。.A。Ga是平行四边形.GAQ,4u面A8Q,GOa面AgQJGO面4与R(2)CGL面4片CQ/.CC11lD,又ACL与n,.gAL面AGC即AC_Lqq同理可证AC1ad,又DlBlCAD=D1ACl.面AsR考点4：线面垂直的判定例6：正方体ABCz)4BClz)I中.求证：平面AiBO平面8O1C；假设E、尸分别是A,Ca的中点，求证：
8、平面EBQI平面FBD证明：(1)由B得四边形88|。Q是平行四边形，8Q18D,又8。0平面BQC,8Qu平面BQIG8。平面BDC.同理AIo平面BOiC.而AlOG8。=。，.平面48。平面BCD(2)由8DI,得BD平面EBiDi.取中点G,AE/BiG.从而得BE4G,同理G/AO.,.AGDF.：.BE/DF.二。/平面EBO1.平面E5。1平面尸30.考点5：三垂线定理例7：如图，在正方体ABCOA4GR中，E、F、G分别是48、AD.CQ的中点.求证：平面DE尸平面8DG.证明：、/分别是A3、AD的中点，/.EF/BD又Ma平面BDG,班u平面8OG.石/平面BDGYD1G幺
9、EB.四边形DTGBE为平行四边形，D1E/GB又QEa平面3)G,GBU平面3fG.Qg平面Br)GScE=E,.平面QEz7平面3。G考点6:线面垂直的判定,构造直角三角形B例8：如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCO是NDAB=60且边长为。的菱形，侧面抬。是等边三角形，且平面PAO垂直于底面ABCD.(1)假设G为4。的中点，求证：8G_L平面P4O；(2)求证：ADLPB；(3)求二面角A-BC-P的大小.证明：(1) AB。为等边三角形且G为AD的中点，.BG1AT)又平面PAOJ_平面ABCQ,.3G_L平面抬)(2) R4。是等边三角形且G为Af)的中点，.AOJ.PG且A
10、O_L3G,PGC3G=G,.a。，平面PBG,PBu平面PBG,ADVPB(3)由ATJ_P3,AD/BC,aBC.LPB又3G_LAO,AD/BCf.BG工BC.NPBG为二面角A-BC-P的平面角在RfAPBG中,PG=BG,.NPBG=45考点7:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）例9：如图1,在正方体ABCo-ABCQ中，M为Ca的中点，AC交BD于点、0,求证:A。，平面MBD证明：连结M。，AiM,9DBAiA1DBLAC.AACAC=AO3_L平面AJCC,而AoU平面AACG：.DBLA1O.设正方体棱长为。，那么A。？=3/,MO2=
11、匕2.24O在RtA1C1Af中，AyM2=-a2.,A1O2+MO2=AiM2,A。1OM.0MQ8=0,A0_L平面MBD考点8:线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直例10：如图2,在三棱锥Z切中，BC=AC,AD=忤BECD,E为垂足，作AfLLBE于H.求证：加比平面证明:取49的中点尸，连结6DF.VAC=BC,：.CFlAB.：AD=BD,DFLAB.又CFOF=尸，.A3L平面如:CDu平面勿R：.CDLAB.又CDLBE,BEcAB=B,CQJ_平面力质CDVAH.*：AHLCD,AH-LBEfCDcBE=E,：.A_L平面比a考点9：线面垂直的判定,三垂线定理例11：证明
12、：在正方体ABCD-AIBIGDl中，AIC_L平面BGD证明：连结ACVBDACAC为AlC在平面AC上的射影. BDlAiC同理可证ACJJ?G)= ACL平面BGO考点10:面面垂直的判定（证二面角是直二面角）例12：如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且NASB=NASC=60,ZBSC=90o,求证：平面ABC_L平面BSC.证明JVSB=SA=SC,ZASB=ZASC=60oXAB=SA=AC取BC的中点O,连AO、SO,那么Ao_LBC,SOBC,NAOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a,又NBSC=90。，2.*.BC=a,SO=2a,j_AO2=AC2OC2=a2-2a2=2a2,.SA2=AO2+OS2,ZAOS=90o从而平面ABC_L平面BSC.
