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1、8.5空间直线、平面的平行8.5.1 直线与直线平行例lxx85-3,空间四边形ABCD中，E,F,G,分别是边AB，BC,CD,DA的中点.求证：四边形E尸G是平行四边形.分析：要证明四边形)GH是平行四边形，只需证明它的一组对边平行且相等.而EH,FG分别是aABQ和CBD的中位线，从而它们都与3。平行且等于3。的一半.应用基本事实4,即可证明E=FG.证明：连接3。YE”是ZXABO的中位线，EH/BDf且EhbD.2同理FG%),且/G=L30.2EHLFG四边形EFGH为平行四边形.练习1 .如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？【答案】互相平行，理由
2、见解析【解析】【分析】根据对折可知：每对折一次，把矩形纸片分成的部分翻倍，形状还是全等的矩形，即可得到结论.【详解】互相平行，因为根据对折可知：每对折一次，把矩形纸片分成的部分翻倍，形状还是全等的矩形，所有的折痕都与矩形的边平行，故打开后所有折痕是互相平行.【点睛】本题考查了图形的变化，解题的关键是：根据对折把矩形纸片分成的部分翻倍，形状还是矩形，属于基础题.2 .如图，在长方体ABCD9C。中，与棱A4平行的棱共有几条？分别是什么？【答案】共3条，分别是B3,CUdd.【解析】【分析】根据图形，A是长方体的高的棱，找出其它的表示高的棱即可.【详解】如图，与棱AA平行的棱有加,CC,DD,共3
3、条.【点睛】本题考查了对长方体的认识，明确表示长的棱，表示宽的棱，表示高的棱是解题的关键，属于基础题.3 .如图，H阪CC不共面，且AABBUCC,求证：ABC=ABC.【答案】证明见解析【解析】【分析】由已知条件推导出四边形ABQA是平行四边形，四边形ACCW为平行四边形，由此能证明ABC=AEC【详解】TA，四边形W4是平行四边形，.AB=AB-同理BC=8C.,AA/BBBB/CC.AAHCC.,:AA=BB,BB=CC.：.AA=CC.四边形ACaA是平行四边形，.AC=AC，.ABC二AfB,Cf.【点睛】本题考查三角形全等的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于基础题
4、.4 .如图，在四面体A-BCD中，E,F,G分别为ABAC,AO上的点.若EF/BC,FG/CD,则CEFG和458有什么关系？为什么？【答案 EFGs BCD,证明见解析【解析】【分析】利用线线平行，再利用等角定理即可得到EPGs8.【详解】，EFGs证明如下：EFHBCfAEABAF EF ACBCFG/CD,AF AG FGAC-AD-CDAE AGABAD.EGBD.由等角定理可得/EFG=ZBCD,NFGE=CDB,ZGEF=ZDBC,EFGsBCD.【点睛】本题考查线线平行，平行线分线段成比例，属于基础题.8.5.2直线与平面平行例2求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另
5、外两边的平面.已知：如图8.5-7,空间四边形ABC。中，&F分别是AB，A。的中点.人求证：族平面BCZ证明：连接80.VAE=EB,AF=FD,EF/BD.又EFa平面BCD,BDU平面BCD,；EF平面BCD例3如图8.5-10(1)所示的一块木料中，棱BC平行于面Ae.(I)要经过面AC内的一点尸和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？(2)所画的线与平面AC是什么位置关系？分析：要经过面Ae内的一点P和棱BC将木料锯开，实际上是经过BC及BC外一点P作截面，也就需要找出所作的截面与相关平面的交线.我们可以依据直线与平面平行的性质解：(1)如图8.5-10(2),在平面AC内，过点
6、尸作直线石尸，使EFBC,并分别交棱AB,DC于点E,Ff连接应：，CF,则石尸，BE,CF就是应画的线.(2)因为棱BC平行于平面AC平面BC与平面Ae相交于3C,所以BCBC.由(1)知，EFIiec,所以F3C.而BC在平面AC内，M在平面AC外，所以/平面AC.显然，BE,C/都与平面AC相交.练习5.如图，在长方体ABCO-A9CD的六个面所在的平面中，(I)与AB平行的平面是；(2)与AA平行的平面是(3)与Ao平行的平面是.【答案】.平面A!B,c,y,平面DCCiy.平面bcc,b,，平面DCCiy.平面A,B,C,iy,平面BCCrB1【解析】【分析】(1)根据线面平行的判定
7、定理填写出正确结论.(2)根据线面平行的判定定理填写出正确结论.(3)根据线面平行的判定定理填写出正确结论.【详解】(1)由于A8,AB洋平面ARCIABu平面44CD,所以AB平面AACo.同理证得AB/平面DCCD.(2)由于AA7/33,AAU平面BCC8,BBU平面BerC历，所以A4/平面3CC3.同理证得AA/平面DCCD.(3)由于ADAZ,ADU平面APeD,ADu平面ABCD,所以A。平面AACT).同理证得AO/平面BCCB.故答案为：(1).平面A3CD,平面OCCT7；(2).平面BCC*，平面OCg;(3).平面AQCD,平面5CC4.【点睛】本小题主要考查线面平行的
8、判定定理，属于基础题.6 .如图，在正方体ABC。-AgGA中，E为OA的中点，判断BA与平面AEC的位置关系，并说明理由.【答案】BA平面AC.见解析【解析】【分析】通过三角形的中位线以及线面平行的判定定理，证得84/平面向C.【详解】平面AEC理由如下：如图，在正方体A8C。一AqG2中，连接3。交AC于点F,则尸为6。中点.连接石厂，又；E为DR的中点，.EF是ABDR的中位线，.EFBR.8D仁平面AEC,MU平面AEC,.BDJ平面AEC.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.7 .判断下列命题是否正确，正确的在括号内画7”，错误的画“x”
9、.(1)如果直线4。，那么。平行于经过b的任何平面.()(2)如果直线。与平面。满足。，那么。与。内的任何直线平行.()(3)如果直线ab和平面。满足aa,b!Ia,那么A.()(4)如果直线0b和平面。满足3,a/a,baa,那么b.()【答案】.x.xx.【解析】【分析】(1)根据“。在以确定的平面内”，由此判断(1)错误.(2)根据与。内直线可能异面，判断(2)错误.(3)根据可能平行、相交或异面，判断(3)错误.(4)根据线面平行的性质定理和判定定理，以及平行公理，证得Z,由此判断(4)正确.【详解】(1)。不平行于同时过b这两条直线的平面.(2)。与内的直线有平行和异面两种位置关系.
10、(3)。与b可能出现三种位置关系：平行、相交、异面.(4)已知,a/b,baa,过作平面夕交。于直线c,则c,所以b/Ic,所以Z.故答案为：(1)X(2)X(3)(4)【点睛】本小题主要考查线线、线面平行的有关命题真假性的判断，属于基础题.8 .如图，ac=a,bua,cu。，b!Ic,求证qZc.【答案】见解析【解析】【分析】首先根据线面平行的判定定理,证得6夕；再根据线面平行的性质定理证得b,由平行公理证得c,从而证得a/。/。.【详解】6ua,ac=a,s.bx.b/c,c,.b1/,bua,acB=a,.ba,.a/ct:.a/Iblc.【点晴】本小题主要考查线面平行的判定定理和性质
11、定理，考查平行公理，属于基础题.853平面与平面平行例4己知正方体ABet）-AgCQ（图8.5/6）,求证：平面4旦A平面BGO.证明：ABC。一AgGA为正方体，.AG/g,ab=A4工DCAB. 四边形AG84为平行四边形.:.DAgB.又DAa平面BG。，GBU平面BCQ, 。小平面3。1。.同理Aq平面BGZ又RACRBl=R, 平面ABQ平面3G。.例5求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.如图8.5-19,atABHCD,且A,C,Bc/3,D,求证AB=CZ图8.5-19证明：过平行线A3，Co作平面人与平面。和夕分别相交于AC和3D,：allp,BD/AC又ABHCD,四边
12、形ABDC是平行四边形.AB=CD.练习9.判断下列命题是否正确.若正确，则说明理由；若错误，则举出反例.(1)已知平面。,尸和直线如，若加u,ua,mll1则R.(2)若一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面夕，则(3)平行于同一条直线的两个平面平行.(4)平行于同一个平面的两个平面平行.(5)一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交.【答案】(1)(2)(3)X(4)(5).【解析】【分析】(1)缺少条件：加=P;(2)符合判定定理；(3)两个平面也可以相交；(4)(5)均符合.【详解】解：(1)已知平面和直线相，若mu,ua,根/6，/则a,缺少条件：m=P,故错误;（
13、2）若一个平面。内两条不平行的直线都平行于另一个平面夕，则。/，符合平面与平面平行的判定定理，故正确；（3）平行于同一条直线的两个平面平行，次两个平面也可以相交，故错误；（4）平行于同一个平面的两个平面平行，正确；（5）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交；正确.【点睛】本题主要考查直线与平面平行的判定与性质、平面与平面平行的判定与性质，注意灵活运用定理进行判断.10.平面。与平面夕平行的充分条件可以是（）A.。内有无穷多条直线都与夕平行B.直线aa,a3f且直线a不在。内，也不在尸内C.直线u,直线u/7,且a/,baD.。内的任何一条直线都与月平行【答案】D【解析】【分析】
14、利用平面与平面平行的判定定理一一进行判断，可得正确答案.【详解】解：A选项，。内有无穷多条直线都与夕平行，并不能保证平面。内有两条相交直线与平面夕平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；B选项,直线,alli且直线a不在。内，也不在夕内,直线a可以是平行平面。与平面夕的相交直线，故不能保证平面与平面夕平行，故B错误；C选项，直线。u,直线bu7,且/,Z,当直线。同样不能保证平面。与平面夕平行，故C错误；D选项，a内的任何一条直线都与夕平行,则内至少有两条相交直线与平面夕平行，故平面。与平面夕平行；故选:D.【点睛】本题主要考查平面与平面平行的判断，解题时要认真审题，熟练掌握面与平面平行的判定定理，注意空间思维能力的培养.11.如图所
