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1、专题4.1数列的函数特征【考点1：数列的周期性】1【考点2：数列的单调性】4【考点3：数列的最大(小)项】7【考点4：数列中的恒成立问题】12【考点1：数列的周期性】【知识点：数列的周期性】周期数列的常见形式与解题方法(1)周期数列的常见形式利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列.解决此类题目的一般方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和.1 .(2022黄冈质检)己知数列为J满足+2=XImJ(EN),若即=L%2=(
2、l,0),且xzl+3=%对于任意的正整数n均成立，则数列4的前2017项和S2oi7=()B. 673D. 1 345A.672C.1342解：Vx=1,jQ=(Wl,o0),/.X3=Ix2-xI=-1=1at.*.xX2X3=1(1叉Xn+3=x”对于任意的正整数均成立，数列4的周期为3,所以数列4的前2017项和S2O17=S672X3+1=672X2+1=1345.故选D.2 .(2022广东四校联考j数列满足m=2,I=T一(三N),则20i8=()B. -1A.-2C.2解：数列为满足 =2, rt+=-(N+),。2=占1 ClnIZh S=L(Ll)11C5，。4=r=2,.
3、1-2可知此数列有周期性，周期T=3,即。+3=斯，则。2018=。672a4=1=22a23Rn+3=1-=1=10n+=J=an,n+2an+11an+11I-嬴T故数列an为周期数列，且周期为3,所以，Q202I=a3673+2=。2=星故答案为：8. (2020山东青岛二中高三期中)已知数列an满足的=l,a2=2zan+1=an+an+2(nN)则a2019+a2020=【答案】0【分析】根据题意多写出几项,发现规律,找到周期,求出七019和Q2020即可.【详解】解:由题知,Sa】=l,a2=2zan+1=an+an+2(nN)EIa3=1，同理可得=-1,。5=一2,。6=1,。
4、7=1，。8=2,历数列j为以6为周期的周期数列，。2019+。2020=%+04=故答案为：09. (2022陕西西北工业大学附属中学高三阶段练习(理)若P(n)表示整数n的个位数字，Qn=P(M)-PQm,数列%的前几项和为Sn，则$2023=.【答案】1012【分析】根据题意可推得n为周期数列,求得其周期为10,计算出，0,求得+0时喷11=数列%是单调递增数列；骑Lio数列“是单调递减数列；骑1=1O数列斯是常数列,lo数列%是单调递减数列；噬IVlO数列“是单调递增数列；骑i=lQ数列呢是常数列1. (2022陕西礼泉县第二中学高二阶段练习)若数列41是递增数列，则4l的通项公式可能
5、是()A.Qn=，Ban=n28nC.an=2nD.an=(-n)n【答案】A【分析】根据数列通项公式的函数性质即可判断.【详解】对于A,斯=-；(nN),易知j是递增数列；A正确；对于B,an=n2-8n=(n4)2-16(nN*),当ln4时，数列o7l递减，当九4时，数列21递减，B错误；对于&an/,故数列%是递减数列，C错误；对于D,n=(-n)n,数列n是摆动数列，不具单调性，D错误.故选：A2. (2022山西忻州高三阶段练习)已知0r为递增数列，前项和配=2n+2712+九则实数；1的取值范围是()A.(,2B.(,2)C.(,4D.(,4)【答案】D【分析】由题意先算为,再利
6、用Sn=2+2M+九求出2时的通项公式，再利用数列的单调性，即可解决问题【详解】当n=1时，1=S1=4+当n2时，an=Sn-5n.1=2n+2n2+-2n-1+2(n-I)2+=2n1+4n-2,由4l为递增数列，只需满足取。1，即84+九解得;IV4,则实数;I的取值范围是（-8,4）,故选：D.3 .已知数列小的通项公式为6），则数列痣中的最大项为（）AacIiD.125243【解析】法一(作差比较法)：,+-=(n+l),+停)=i(f)，当n0,即an+an当=2时，+1an=0f即Un+1=Clnt当n2时，an+-anOf即an+an.所以3a4a5allf所以数列他”中的最大
7、项为。2或。3,且6=43=2XGU故选A.法二(作商比较法)：令誓1,解得2;令誓=1,解得=2：令i*vl,解得2.Cln又40,故。1。2=。3,。3网。54”，所以数列对中的最大项为。2或。3,且42=S=2X仔=/故选A.4 .已知数列”的通项公式为fl=2n2+加+1,若小是单调递增数列，则实数，的取值范围是（）A.（-6,+）B.（-,-6）C.（一8,-3）D.（一3,+）【解析】法一：因为斯是单调递增数列，所以对于任意的N,都有4+1小，即2(+l)2(n+l)+l2+z+1,化简得/-4-2,所以-4w-2对于任意的N都成立，因为一4一2一6,所以。-6.故选A.1IO法二：设yO?)=22+/+i,其图象的对称轴为=一；,要使”是递增数列，则一；0,且Wl),若数列斯满足(七N),且斯是递增数.ax，x2列，则实数的取值范围是()A.(0,1)B.3)C.(2,3)D.(1,3)3-a0tI解析】选C因为分是递增数列，所以1,解得2a3,所以实数4的取值范围是(2,3).(3-)X2+2/,6.(2021广东中山纪念中学高二期中)已知数列n的通项公式以=子，
