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1、专题18数列求和14类题型数列求和常见题型梳理【题型1错位相减【题型2】裂项相消（常规）【题型3】分组求和【题型4】裂项相消（进阶）【题型5】并项求和【题型6】倒序相加【题型75211与5211i下标的讨论和处理【题型8】通项含有（-1）”的类型题型9奇偶数列求和【题型10隔项数列求和（一般并项求和）【题型11】和为等比数列求和【题型12插入新数列混合求和【题型13】通项含绝对值的数列求和【题型14取整数列求和数列求和常见题型梳理一、错位相减法类型一：%=4（其中/是等差数列，2是等比数列）类型二：,二，L（其中凡是等差数列，2是等比数列）二、裂项相消法类型一：等差型1/11、11z11=（）
2、;（2）=（n（n+k）knn-k（kn-）（kn+1）2kn-kn+类型二：无理型类型三：指数型裂项相消进阶1、裂项相加：(l)n例：()”,=7)，本类模型典型标志在通项中含有(一1)”乘以一个分式.对于=(T)可以裂项为“二(一1)”+%出=(-1)4+%+a+(+2、等差数列相邻2两项之积构成的的新数列例如：nn+1)=+1)(+2)-(w-l)(w+1)一般式，当公差为左时：kn(kn+k)=kn(kn+k)(kn+2k)-(kn-k)kn(kn+k)3k3、一次乘指数型：分母为一次函数和指数函数相乘例子.+22(+1)-(2_1)1=11：(w+1)2wn(n+)2nUw+TjFw
3、2n(w+l)2n-)kn+ah+ak-h1般突.(n)4(+l)+ban(kn-b)an(+l)+fe三、分组求和法3.1 如果一个数列可写成%二%2的形式，而数列%,是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.an为奇数3.2 如果一个数列可写成q,=Lg皿的形式,在求和时可以使用分组求和法.为偶数四、倒序相加法即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和【题型1】错位相减1 .已知见=21,若数列“满足。向+%4+4也=(2-3)2e+6,求和：Tlt=aibn+地T+-+Jb2+anbl,【答案】Tn=32n-4n
4、-6【详解】因为她+她+%瓦=(2n-3)2n+,+6,所以albi+a2b2+,.i-1=(2-5)211+6(2),两式相减得anbn=(2-3)2n+,+6-(2-5)2-6(2)义岫=2满足上式，所以勺=(2-l)2(wN),又二2-1,所以“=2”.则Te=m+a2bn,x+lt-1+anby=12m+3211,+5211-2+.+(211-1)2,2Tn=2!,+l+3x2+52”+(2w-1)22,两式相减得：Tn=2n+2n+1+2,+23-(211-1)2=2a+l+8(：；)-(-l)2=32用-6.2 .记数列4的前项和为1,且=1,。=LG2).(1)求数列4的通项公式
5、；12n(2)设?为整数，且对任意V,m-+-+一,求机的最小值.a%4【答案】L222.；(2)7【分析】(1)由数列可与7；的关系可得知+=2q1(2),再结合等比数列的通项可得解;12n(2)利用错位相减法求出一+,结合范围即可得解.%a4【详解】(1)因为4=1,%=&(2),所以出=q=1,当“2时，an+l=Tn=Tn+an=2anf故qf=%二=2(2),且q=1不满足上式，故数列勺的通项公式为=目；”；：；_12n(2)设2=+,则B=I,aa2an当2时，5=l+220+32-,+22-fl,故L+22T+32+“2i,于是，S=*+(2+2-2+22-)-2=3+l!二22
6、,72l-2,整理可得S.=7-5+2)22t,所以S.6,所以符合题设条件的m的最小值为7O差比数列的其它处理方式(待定系数法)3 .已知勺=(2-5)x2,求S”.【答案】an=(2w-5)2n=(w+l)+2n+,-(l+)2n=(w+2+/2n,an=2(+1)-92n+,-(2w-9)2n,Sn=2(w+1)-92rt+,+14=(2?-7)2rt+,+14.【题型2】裂项相消(常规)4 .己知q=3,证明：虫+g+.+o,即可得证./7+1an2nn+2Jw+1n+2【详解】解：由则-=与4=当T=+1an(+2)(+2)2(n+2J2 n+1 n+2= + 口4 2w+1 n+2
7、)1ICZ31/11、3因为+0,所以+w+-,w+1n+2,42U+1n+2)4,na2,a3,+l/”4.3即+1+W+a2an45 .已知%=2-1,数列牝前项和Sn,记=共L,设数列也的前项和为7；,求证7；0,当=1时，=4=；（/+，），解得q=l,由可二色一色”2代入得S”=UsSm+f,整理后得S.+S,T=J,即SS3=1,根据等差数列的定义可知，数列同是首项为1,公差为1的等差数列，则S； = l + (-l)J = ，. s,=6Llll(2)由(1)“知S= s+S2 + S2+S3 + S3 + S4 , 1 _I + 2+2+3+3+4+, lw +w +1 = -
8、w + l 1,2”7.已知 = 2-l,设4 =2 + 1,求数列也的前项和S.【答案】【详解】1b.2n (2-1)(2,+,-)1 , .112 1 y/3 y/2. + 4 y/3 +.+yn + yn(2*,-1)-(2-)-2+l= -2n+(2n-l )(2+l-l )所以S.=b+b2+对式子变形后再裂项：一般是分离常数8 .已知为=J，设C=42%+,求数列匕的前项和4.21【解析】-L4+，2n+)2n+，1，、9 .已知见=2+4,记=,数列也的前项和为7；,求乙11(111【解析】=-=32/7+384(w+1)(+2),10已知”=舟(N)若1=(2/l)d,求数列也
9、的前项和二,2w+l11【解析】=F_TT=-;不,w(+1)n(+1)( + 2) ( + 1)2 .11.已知=,证明：+-7./2+1%an4【分析】由%=，得到%4=l+0,即可得证.+1an2nn+2Jw+1n+2【详解】解:1 +2 n+1 n+23=n + 4 21 1 n + 2 ),则也=) _ W(7 + 2) H2)(+2)“a，/(E4-+-1【答案】4.二；4“十2-；3【详解】T2ll =bi +b2 + + = ( + + + + X (,2 + + ,+ )率川+/一上 3314.已知牝=2,设2为数列q在区间(OMwCN)中的项的个数，求数列耙前100项的和.
10、【答案】480【详解】由bm为数列/在区间(O,zm(m e N)中的项的个数，可知4=0, 4=4=1, =b5 =hb =h1 =2.当 8n15 时， = 3 ;当 16m31 时， = 4 ；当 32/W63时，1 = 5 ；当 64m4100 时， = 6./. Z1 +b2 + + + oo =OXI+ 1x2 + 2x4 + 3x8 + 4x16 + 5x32 + 6x37 = 480.15.已知数列七的前项和S,，且S向=30+1,4=1,数列出满足4=1,(1也=其中-=n+/7 + 2因为r .w+1 n+2L+30,所以+.42U+1n+2a.3+-zL为奇数,2一1,为
11、奇数【详解】因为I为偶数，所以W/为偶数,所以=(1+2?)+(5+24)+(4-3+2?)w(l+4n-3)2(l-4n),4rt+,-4-+=2n-n+21-4313.已知牝=2,设=将，数列出的前2项和为匕，求七.log2%/为奇数/7N*.求/和低的通项公式;logs%,为奇数4为偶数,求数列%的前20项和G).(+2)Z、【答案】(1)q=3，=11(2)70=Sx,n=,、，、cc、累乘法求得/和的通项公式;-pw2(2)结合分组求和法、裂项相消求和法求得心).【详解】(1)对于S.+=3S,l+l,=1,当=1时，ay+a2=3ai+i,a2=2al+1=3,所以为=3T.22.j 2 1当2时，由S.+=3S+1得SfJ=3S,+l,两式相减得a”+1=3.(2),由于a2=36，所以%是首项为1，公比为3的等比数列，对于“=1，6+1)=+-2=8,bnn,bl,bn,b,b-,nn-所以6=20.-J-.-L.h=b.b2b,b,n-n-2A也符合上式，所以勿=.(2)当，为奇数时，G=Iog3%=
