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1、不动点与组合问题不对号入座与全错位排列一、问题把n个编号为1,2,3,(,亚2)的球放入11个编号为1,2,3,(2)的盒子中，要求每个盒子中只放一个球，且球的号码与盒子的编号数均不相同，试求有多少种不同的放法种数？这个问题就相当于n个自然数的全错位排列问题.不妨设这种不同的放法种数有凡种，它可以分两步完成：第一步放编号为1的球，共有-1种放法，此时不妨把编号为1的球放在编号为用工1)的盒子里，再安排第i号球的位置，有两种情况：第i号球放在第1个盒子中，剩余的-2个球要放在-2个盒子中，依然要求是号码均不相同，故种放法；第i号球不放在第1个盒子中，此时如同-1个球要放在T个盒子中，且号码均不相
2、同，故有方法数为4种.所以，一般地，我们得到递推公式Qn=(一l)(4-2+%)(之3),其中4=0,2=1.利用这个公式，我们可以解决这类错位排列问题.二、探求通项公式由递推公式及4=0，/=1吗=2,可得：4-叫T=-%-(T)*=(T)13-34)=(-l)2=(-1),上式两边同乘以乙得：凡二(T)“！(n-l)!！于是可得：%*.(T)R(-l)!(-2)!(-l)!,包生二(一1。4!-3!4!a3a2(-1)33T273;出4二(一1)22!Ti2!将上述-1个式子累加，得：q(T)”(T产(-1)4(-1)3(-1)2= ！/+， 1! 2! 3!=-111n1!n(-1)!4
3、!3!2!所以M=JI+_LJ_+.+1!21,故凡n1!2!3!“！评注由递推公式得到递推公式是求解的关键，这也是处理复杂递推数列问题的难点所在.例1同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有()A.6种.B.9种.C.11种.D.23种.分析此题是全错位排列问题，我们可以应用公式来进行解题.解析由递推公式及=1R=2,可得=3(+%)=3(l+2)=9.故选B.例2五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情况共有()种.A.6B.10C.12D.20分析此题也是错位重排但不是全部错位，我们可以部分应用错位重排来进行解题.解
4、析分步进行：第一步，选出三个瓶子，这三个瓶子恰好贴错了，有C；=10种；第二步，这三个瓶子满足错位重排，所以对应的公式数据应该是2.最后根据乘法原理，共有10x2=20种.故选D.例3某人给6个不同的人写了6封信，每人一份，并准备了6个写有收信人地址的信封，问有多少种投放信笺的方法，使得每份信笺和信封上的收信人都不相同？分析：此题是全错位排列问题，我们可以应用公式来进行解题.解析由递推公式及出=L%=2,可得:a4=3(/+j)=3(l+2)=9,5=4(d3+4)=4(2+9)=44,Ci6=5(4+0i)=5(9+44)=265.故共有265种投放信笺的方法，使得每份信笺和信封上的收信人都
5、不相同.三、问题的推论与探究引理用A()表示n个不同元素全错位排列的方法数，则n个不同元素全错位排列的方法数满足Ae)=hA(w-1)+(-1)11(i2).(1)下面用第二数学归纳法给出引理的一般性证明.证明(1)易知当=2时，A=LAG)=2,满足A=3A(2)+(T)3=2,式(1)成立；当=3时，A(3)=2,A(4)=9,满足A(4)=44(3)+(T)4=9,式(1)成立.(2)假设M43)时，式(1)成立，即k个元素4，/吗，4全错位排列的方法数的递推关系为A(k)=RA(女_1)+(1)人，则当=女+1时,设全错位排列的元素为4吗，/，&，4+1.在女个元素4，出，%，4全错位
6、排列的基础上，左+1个元素全错位排列后，它们全错位排列的方法分为2类：4讨与4(i=l,2,互调位置，其余元素全错位排列，方法数为hA(Z-l);4讨在q(i=12,2)的位置上，但可不在可句的位置上，其余元素仍然错位排列.这样的排列，相当于+1将卜个元素4，4，%，%的每一个全错位排列中的元素置换了一遍k个元素对出，生，%的每一个全错位排列是k个元素，因此该类全错位排列的方法数为AA（八）.综上所述，4(2+l)=hA（八）+%A(Z-I),又A(L)=hA(1)+(T)A,A(+1)=A(Zc)+A(-1)=A()+A()-(-1)a=(+l)A()+(-l+,.即当=A+1时，式(1)成
7、立.因此，n个元素全错位排列的方法数的递推关系为A(z)=wA(-1)+(-1),(112).定理用A()表示n个不同元素所有的全错位排列的方法数，则当=1时，A(I)=O5当2时，+(+(!+g+9=(w(一1)(注1).J2!3!4!(-1)!n,v7v)个不同元素排成一列，记下每个元素的编号，重新排列后，有以下结论:推论1某i个元素(特定)现在的编号与原编号一致，-，个元素现在的编号与原编号错位的排列方法数为推论2i个元素(不特定)现在的编号与原编号一致，-i个元素现在的编号与原编号错位的排列方法数为CA().推论3某i个元素(特定)在原有的位置上互相全错位，另T个元素在原有的位置上互相
8、全错位，这样的排列数为A(i)A(-i).推论4i个元素(不特定)在原有的位置上互相全错位，另T个元素在原有的位置上互相全错位，这样的排列数为CA(i)4(-i)例1同寝室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则4张贺卡不同的分配方式有种.解该题属于4个元素的全错位问题.由定理得4(4)=4x3-4+l=9,故分配方式有9种.例2设编号为1,2,3,4,5的5个球及编号为1,2,3,4,5的5个盒子，一个盒子内放一球，恰有2个球的编号与盒子编号相同，则投放种数有多少？解“恰有2个球的编号与盒子编号相同”等价于“恰有3个球的编号与盒子编号不同”.由推论2得，投放种数为
9、GA(3)=10(37)=20例3编号为1,2,3,4,5的5个人，分别坐在编号为1,2,3,4,5的座位上，则至多2个号码一致的坐法有多少种？解法1(直接法)至多2个号码一致，分3种情况：“恰2个一致”等价于“恰3个错位，N=GA(3)=20；(2)“恰1个一致”等价于“恰4个错位”,M=/A(4)=45;(3)没有一致”等价于“5个全错位”,M=A(5)=44.从而N=M+N2+M=109.解法2(间接法)无任何限制条件时，6=120.“恰有3个号码一致”等价于“恰有2个错位，M=C；xA(2)=10；”恰有4个号码一致”与“恰有5个号码一致”的坐法属同一种情况，故M=I.从而N=1201
10、01=109.例4有4位同学在同一天的上、下午参加“身而与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”5个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”项日，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有多少种？解4位同学上午测试“身窗与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“台阶”4个项目的方法数为A：=24种.下午测试的方法分为2类：(1)4位同学测试的项目仍然是上午的4个项目，方法数是4个元素的全错位排列数，只需将每一个全错位排列中的“握力”项目替换为“台阶”，方法数为4(4)=9；(2)若测“台阶”的同学刚好测“握力”项目，则方法
11、数为A(3)=2.故下午测试的方法数共有9+2=11种.从而上、下午不同的安排方式共有24(9+2)=264种.第二节组合不动点组合不动点问题的反面提法是“扰排问题”定义：设集合尸1(2),尸(3),尸是集合1,2,3,M的一个排列，若F(k)=k(k=1,2,3,)，则称k为变换F的一个组合不动点，我们用外年)表示n个元素有k个组合不动点的排列个数，ZI(R)表示有k个动点的排列个数.显然有，n(k)=fn(n-k)9(n)=l.定理LeQ)=C证明：所有外(Q的排列数问题可分二步思考.首先，从n个元素中选出k个元素排在k个位置上，使每个元素的编号与它所在位置的号码一致(不动)，共有G种不同
12、的排法，其次，将其余-攵个元素排在-攵是个位置上，使每个元素的编号与它所在位置的号码不一致(全动)，有工(-A)种排法，由乘法原理，故原命题得证.定理2(Z)=C(Z).证明：工0)=4G)=C%h)一(j)=C(k)定理3()=!W(TyA=O证明：考虑第k号元素正好放在第k号位置上，显然，其余-1个元素放在-1个位置上的所有排列数4为(-1)!,且和式4共有C：项，所以4=Cs-1)!*kn而4门4的排列数为(-2)!,和式4C4共有项.所以 4 + 4 = (-2)!Ja同理，4C4CC4的排列数为(”加！，和式C4cC4共有C；项.所以4Ccc4=窘(一同！iJ.n显然，4c%c.c4
13、=l,且n个元素的全排列为!.由容斥原理有：S)=!一4+4c4一ialw+(-i),Z4c4cc4+.+(-1)”4c4c.c4lim.an=n!-Cxnn-1)!+Cqnn-2)!-+(-1)(/?勿)!+(-1),1111(-l)w(T)”1!2!3!mnJ1=!(T)*A=Ok定理4.%”(Z)=XZ1()=！A=OA=O证明：因为n个元素的全排列个数为!.另一方面考虑可分成恰好零个组合不动点，恰好一个组合不动点，恰好两个组合不动点，恰好n个组合不动点，由加法原理有:n+/+%(2)+n=(&)=!，类似地可得到Sfn(k)=nA=O=0定理5.从编号为1,2,3,的n个元素，取出k个
14、(Ik)元素排在编号为1,2,3,k的位置上(每一个位置只允许排一个元素)，有k个动点的排列个数为：f(k)=E-以用+CiEEW-c：P+TW=t(yncgm=0当=左时，即定理3.故定理5可视为定理3的推广.例1.设有编号1，2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子.现将这五个球投入这五个盒子内，要求每个盒子投放一个球，求以下几种情况的投放方法数.恰好有两个球的编号与盒子编号相同；恰好没有两个球的编号与盒子编号相同：至多有两个球的编号与盒子编号相同：至少有两个球的编号与盒子编号相同.解：N=%(2)=C=103!1|=20(1!2!31JNz=A(2)=C=10x2!(l*S=l乂=科(0)+。5(1)+%(2)=以(5)+(4)+73)ct(t11111、=/1111、，八o,111A=5!1+54!1+103!1+(1!2!3!4!51J(1!2!3!4!J1!2!3!J=44+45+20=109M=(2
