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1、圆锥曲线的常用结论焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上图形r1标准方程+方=1()59=IQ范围一x且一hy6-bxbL-aya顶点A1(-,0).A2(0,0)B1(0,-).B2(0,)A(O,-a)、A2(0,)BG反0)、B2(,0)轴长短轴的长=以长轴的长=2。焦点耳(-c,0)、Z(c,0)(O,-c),6(0,C)焦距=2c(c2=a2-/?2)对称性关于X轴、y轴、原点对称离心率C，=F(Ovea-b-c+b+(2)与椭圆+5=1有相同的离心率的椭圆可设为。+5二2,m+亍=人fl0).2 .椭圆的两焦点分别为耳,6,P是椭圆上任意一点,则有以下结论成立：()PFl+PF2=2a
2、,(2)a-cPFia+c(3)b2PFlPF2a2;(4)PFi=a+ex0yPF2=a-ex.(F1(-c,0),K(C,0)M(X(Py)3 .椭圆的方程为*+方=1(abO),左、右焦点分别为6,K,P(x0,%)是椭圆上任意一点,则有:(1)%2=5引用2=宗/_%2)参数方程二；：,为参数)；IJo2b24 .设P点是椭圆上异于长轴端点的任一点,B、F2为其焦点记N-尸居=,则(1)PFiHPF,|=1+cos。n(2)焦点三角形的面积:S&prf、=ClypI=b2tan.(3)当P点位于短轴顶点处时，。最大,此时SAPF心也最大；(4)cos0l-2e2.点M是内心，PM交FF
3、、于息N,则此=3.IMNIc5 .有关-%的经典结论22r2Vh(1) .AB是椭圆一+y=1的不平行于对称轴的弦，M(XO,凡)为AB的中点，则&QM怎8=7-X2V2(2) .椭圆的方程为r+=l(ab0),4，4为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任a2b2=j2一点，则有KpAKpA=r2CTX2V2(3) .椭圆的方程为/+j=l(abO),及为椭圆的短轴顶点,P点是椭圆上异于短轴顶点的任,2一点，则有KPBiKPB2二一/(4) .椭圆的方程为二+=1(abO),过原点的直线交椭圆于AB两点，P点是椭圆上异于AB两a2Zr点的任一点，则有K率KPs=-6 .若(%,%)在
4、椭圆*+gr=l上，则abb2X(1)以R(X0,为)为切点的切线斜率为k=一上3；*(2)过匕的椭圆的切线方程是t+绰=1.abr2V27 .若旦(XO,%)在椭圆r+2T=I外，则过外(小,%)作椭圆的两条切线切点为Pi、P2,则切点弦PiP?的ab直线方程是誓+岑=Lcrb28 .椭圆的两个顶点为4(-,0),A2(0,0),与V轴平行的直线交椭圆于PLP)时AP与A2P2交点的轨迹方程4-=1ah9 .过椭圆上任一点4(尤，/)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B.C两点，则直线BC有定向且即C=(常数)a%10 .若P为椭圆上异于长轴端点的任一点,B,F2是焦点，NPg=a、ZPF2
5、F1=,则c_sin(+4)C.aSina+sin/?ILP为椭圆上任一点,BE为二焦点，A为椭圆内一定点，则2一I4入尸*+1P用2a+1A用,当且仅当A,K,P三点共线时，等号成立.11 .0为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPJ_OQ.(2)IoH2+0QF的最大值为y(3)Sasq的最小值是:L.a+ba+b13.已知A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与X轴相交于点P(XO,0),则a2 -b2a力0)左焦点的焦点弦为AB,则AB=2+e(xl+x2)；过右焦点的弦IAjBl=2a-e(xl+x2).18 .内接矩形最大面积：2ab.19.若椭圆方程为J + r = 1
6、( 60),a b半焦距为c,焦点6(-c,0),g(c,0),设(1) .过片的直线/的倾斜角为0,交椭圆于A、B两点，则有一-,忸用=-：M止.，2；J-ccosaa+ccosaa-ccosa(2) .若椭圆方程为三+3=l(”0),半焦距为c,焦点月(-c,0),E(C,0),设过鸟的直线/的倾斜角为。，交椭圆于A、B两点，则有：M二磊Mk厂为；网s2结论：椭圆过焦点弦长公式：MM=2ab-22a -c cos a2加ai -c2sin2 a(焦点在X轴上)(焦点在y轴上)20.若AB是过焦点F的弦,设IA同=也忸=,则_L+_L=Kmnb2二.双曲线焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上图
7、形3i标准方程22._2_=i(r/oo)22十g=l(ObO)范围x-或x,yeRy-。或y4,XWR顶点A1(-a,0)A2(a,0)A(O,-a)、A2(0,)轴长虚轴的长二实轴的长=/焦点E(-gO)、玛(GO)F(0,-c)E(0,c)焦距*j=2c(c2=tz2+Z?2)对称性关于X轴、y轴对称，关于原点中心对称离心率e=Jl+l),e越大，双曲线的开口越阔渐近线方程y=xa,ay=-xb1.(1)与二-2T=I共辄的双曲线方程为5-5=-1,它们有公共的渐近线；四个焦点都在以原点a2b-crb2为圆心，C为半径的圆上；r+4=l.e；e；(2)与二一二=1有相同焦点的双曲线方程为
8、-r-7J=l,(lO,-%oM+b2a2b2a2-+b22 广 (3)与r a二1有相同焦点的椭圆方程为:= l,(0,62+2-20)(4)与二十三=1有相同焦点的双曲线方程为：-=1,(102-20,2-20)a2b2a2-b-72222(5)与点二1有相同离心率的双曲线方程为：焦点在X轴上时：7-=(o,i)焦点在y轴上时：S-云=4,(X0)2222(6)与一营=1有相同的渐近线方程为：4-=,(O,l):2 .双曲线的两焦点分别为KRP是双曲线上任意一点,则有以下结论成立：(DIlPKITP闾1=2;IPKLl=+GP玛LI=C-。(P在右支上);忸鸟L=+G附LI=C一。(P在左
9、支上)223 .双曲线的方程为滔一齐=1(a0,b0),P(0,%)是双曲线上任意一点，则有：婷吟(-2),=方(+%2)；4 .设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点旧、F2为其焦点记N片P=夕，则2b2(1)PPF,=-I-CoSO,(2)焦点三角形的面积SAPFM=CIyPI二Cot.j25 .有关勺的经典结论aX2v2b2(I)AB是双曲线F-Jr=I的不平行于对称轴的弦，M(XO,凡)为AB的中点，则KW=F，aZra(2)双曲线的方程为工-3=1(a0,b0),A1,A,为双曲线的实轴顶点，P点是双曲线上异于实轴ab顶点的任一点，则有KPAKM(3)双曲线的方程为二一4二1(a0,b
10、0),B双为双曲线的虚轴端点,P点是双曲线上异于虚轴ab一端点的任一点,则有%=(4)双曲线的方程为二-二二1(a0,b0),过原点的直线交双曲线于AB两点，P点是双曲线上arh-异于AB两点的任一点，则有KPAKP3b276 .若兄(%,%)在双曲线T-=1-t,则ah(1)以(%,%)为切点的切线斜率为上=皑；(2)过玲的双曲线的切线方程是停一誓=1.ay0Crb227 .若(%,%)在双曲线二-与二1外，则过P。作双曲线的两条切线切点为Pi、P2,则切点弦P1P2的直ab线方程是警-浑=1.ah8 .双曲线的两个顶点为A(-a,0),4(4,0),与y轴平行的直线交双曲线于P1.P?时A
11、iP1与A2P2交点的轨则直线BC有定向且12.双曲线焦点到渐近线的距离总是/顶点到渐近线的距离为丝C13.双曲线实轴顶点到两渐近线的距离之积为定值a2b2X214.与双曲线一7一ab22V2、1（a0,b0）有相同渐近线的双曲线方程可设为7-%=l（l0）15.已知双曲线的渐近线方程为区y=O,则双曲线方程可设为。一2二l（lHo）16.双曲线x2_y2=2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=x,离心率e=L工2217.设双曲线靛-会=1,其中两焦点坐标为耳（一c,0）,6（c,0）,过Fl的直线/的倾斜角为,交双曲线于A、B两点，焦点在X轴的焦点弦长为AB=；2歹（A,B在同一支曲线上）a-
12、ccosa22手2（A,B在两支曲线上）ccosa-a其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，。为AB的倾斜角。18.若AB是过焦点F的弦,设IAFI=阂明=，AB交在同支时，-+-=p,AB交在两支时,112az.rv/、=(M0)焦点的弦，A(,y)、8(,巴)，直线48的倾斜角为。，则2(I)V2=YiJ2=-P；IA同=x1+K=_P_IbfI=+2=-11,2l-cos61122l+cos9(3)A=x,+2+p=-;sin112(4)1=一；FA FB P3 9(5)OAOB = p2i2P-2sin9(6)SMOB=；|。*。目SinZAOB=I.0FhF(7)以AB为直径的圆与准线相切，以AF(或
