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1、平面直角坐标系中等腰直角三角形存在学校:姓名：班级：考号：一、填空题1.（2022秋湖南长沙八年级校考期中）如图,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（&0）,点8的坐标为（0,4）,以8为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰RtAABC,则点C的坐标为.2. （2022秋安徽阜阳八年级阜阳实验中学校考期中）如图，点A的坐标为（4,0）,点3的坐标为（0,T）,分别以。8,AB为直角边在第三、第四象限作等腰Rt尸，等腰RtABE,连接E尸交），轴于尸点，点尸的坐标是.二、解答题3. （2022秋江苏盐城八年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”
2、模型的特殊情况，即三个等角角度为90。，于是有三组边相互垂直.所以称为“一线三垂直模型当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形.(1)问题解决：如图I,在等腰直角tiABC中，NAC5=90。，Ae=BC,过点C作直线DE,AOJ_OE于。，BEA.DE于E,求证：AADC%ACEB；(2)问题探究：如图2,在等腰直角IABC中，NAeB=90。，AC=BC,过点C作直线CE,AC)J.CE于。，BE工CE于E,AD=3.2cm,DE=2.3cm,求BE的长：拓展延伸：在平面直角坐标系中，A(-l,0C(l,3),JlBC为等腰直角三角形，NAC490。，AC=BC,求8点坐标
3、.4. (2023春重庆渝中七年级重庆巴蜀中学校考期末)在平面直角坐标系中，已知A(-2,0),8(0,4),C(l,2)(1)如图1,将线段AB平移至EF,点A与点E对应，点8与点尸对应，若尸点的坐标为(5,1),求AF的面积;(2)如图2,以A4为腰做等腰直角aA65,点B在第二象限，且NBA9=90。，如果在平面直角坐标系内有一点P(,3),使得一A夕尸的面积是面积的2倍，求。的值.5. (2022秋湖北武汉八年级统考期末)在平面直角坐标系中，A(,0),8(0,b),a,。满足a+l+5=0,点C与点A关于N轴对称.图1请直接写出3, C两点的坐标;如图1,分别以/W,BC为直角边向右
4、侧作等腰RjBAO和等腰RtBC,连接OE交X轴于点M,连接求证：BMDE（3）如图2,点尸为），轴上一动点，点3（7,-3帆+3）在直线8。上，以BC为直角边向右侧作等腰RjBCE,若连接E,F,G三点（按逆时针顺序排列）恰好围成一个等腰直角三角形，请直接写出符合要求的机的值为.6. （2022秋湖南长沙八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A（0,）在y轴正半轴上，直线/平分坐标系的第二、四象限，点B是宜线/上一动点.（1）如图1,点A关于X轴的对称点为P点，则点P的坐标为,当网最短时，点8的坐标为：（结果均用表示）（2）如图2,当AB_L），轴，且垂足为点A时，以。4为边作正方形A8QO
5、,M在X轴的正半轴，且OM,连接BO并延长至点。，连接尸。，QCf当点。为BQ中点时，请判断APCQ的形状，并说明理由.8. （2023秋福建福州八年级校考开学考试）等腰直角WC中，NBAC=90。,A5=AC,NABC=NC,点3、A分别是轴，V轴上两个动点，直角边AC交X轴于点。，斜边BC交了轴于点E.如图，已知C点的横坐标为-2,直接写出点A点的坐标：（2）如图，当点。恰为AC中点时，连接。石，求证：ZADB=NCDE；（3）如图，若点A为X轴上的固定点，且A（-6,0）,当点8在丁轴正半轴运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角；Bo。和等腰直角一ABC,连接Co交5轴
6、于点尸，问当点8在y轴的正半轴上运动时，AP的长度是否变化？若变化请说明理由；若不变化，请求出BP的长度.9. （2021秋重庆渝中.八年级统考期末）如图，等腰直角三角形ABC中，AB=ACfBAC=9QP.（1）如图1，等腰直角三角形ABC的顶点A在X轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，且OA=2,08=4,求点C的坐标；（2）如图2,等腰直角三角形ABC顶点A在y轴的负半轴上，点C在X轴的负半轴上，过点B作AOj轴于点D,求证：OA-OC=BD,（3）如图3,点A的坐标为（-3,-3）,点3（0,间在y轴上运动，点。（几0）在X轴上运动，在点B、C的运动过程中，能否使得JlBC是一个以点A
7、为直角顶点的等腰直角三角形，如果存在，请你直接写出m和n的数量关系；如果不存在，请说明理由.10.（2022秋重庆璧山八年级校考期末）如图1,0A=2,OB=A,以4点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtABC.（1）求C点的坐标；（2）如图2,P为），轴负半轴上的一个动点，当点P向y轴负半轴向下运动时，若以P为直角顶点，为腰作等腰RtAPQ,过。作OELr轴于E点，求OP-OE的值；（3）如图3,已知点尸坐标为（-4,-4）,点G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作RSFGH,始终保持NGPH=90。，产G与y轴负轴交于点G（0,加），F”与大轴正半轴交于点”（，0）,当G点在），轴的负半轴上
8、沿负方向运动时，求?+的值.a、C分别在X轴、y轴的正半轴上.(1)如图1,求证：ZBCO=ZCAO,(2)如图2,若。4=5,OC=2,求8点的坐标:(3)如图3,点C(0,3),QfA两点均在X轴上，且SM3=18.分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰RlCAN,等腰RtQCM,AC=CN,CM=CQ,连接MN交V轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值：若变化，求。尸的取值范围.12.(2020秋.广东广州八年级海珠外国语实验中学校考阶段练习)已知平面直角坐标系中，A(4,4).如图，点8在X轴上，若，AOB为等腰直角三角形，ZA=90。，则点8坐标为如图，在(1)的
9、条件下，若C为X轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角AACD,NAS=90。，连OD,求NA8的度数.(3)如图，过点4作y轴的垂线交y轴于E,产为X轴负半轴上一点，G在9的延长线上，以EG为直角边作等腰直角一七G”，/EGH=90。,过A作X轴的垂线交EH于点M,连接下何，猜想线段AM、FM、OF的数量关系，并证明.13.(2023春江苏南通七年级校考阶段练习)如图，等腰直角；ABC中，ZABC=90%(1)如图1,若点。的横坐标为5,则点8的坐标是；(2)如图2,若X轴恰好平分NBAC,3C交X轴于点M,过C点作8_Lx轴于。点，求CD_-TT的值；AM(3)如图3,若点A的坐标为(
10、FO),点8在)，轴的正半轴上运动时，分别以OB,A8为直角边，以5为直角顶点，在第一、第二象限作等腰直角.O/和等腰直角JlBE,连接E尸交y轴于点P,当点B在)，轴的正半轴上移动时，PB的长度是否发生变化？若不变，求出PB的值；若变化，求PB的取值范围.14. (2022秋辽宁鞍山八年级统考期中)问题情境如图1,AB=AC,NBAC=90。，直线AE是经过点A的直线，BZ)_LAf于。，CE_LAE于&则.ADB.CE4.图I图2图3图4(1)类比训统如图2,RtZABC中，AB=AC,NBAC=90。，直线AE是经过点A的任一直线，8。_LA于。，CEJ_AE于E证明：BD=DE+CE.
11、(2)问题创设如图3,在-ABC中，AB=AC,若顶点A在直线机上，点O,E也在直线加上，如果NfiAC=NAOB=NAEC,那么(1)中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，BD,DE,CE三条线段之间有怎样的数量关系？直接写出结论.(3)情境更换如图4,把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内，已知直角顶点H在)，轴正半轴上，顶点G在第一象限且使其横、纵坐标始终相等，若另一顶点K(,-%+10)落在第四象限，求的值；直接写出顶点K的横、纵坐标的关系.15. (2023秋全国八年级专题练习)等腰Rt2AC8,NAe8=90,AC=BC,点A,C分别在轴，y轴的正半轴上.(1)如图
12、1,求证：ZBCO=ZCAo.(2)如图2,若OA=IO,OC=4,求8点的坐标.(3)如图3,点C(O，4),Q,A两点均在无轴上，且SsA=36,分别以AC,CQ为腰在第一、第二象限作等腰RICAN.等腰RLQCM,连接MN交了轴于尸点，OP的长度是否发生变化？若不变，求出OP的值；若变化，求。P的取值范围.参考答案:1.(4,12)【分析】过点。作C_Ly轴于H,由“AAS可证AABOgMCH,可得C=O8=4,BH=AO=8,即可求解.图1点A的坐标为(&0),点B的坐标为(0,4),.OA=StOB=4,在等腰RtZABC中，BC=AB,NABC=90。，CH_Ly轴于，:.NCHB
13、=ZABC=ZAOB=90P,BCH+NHBC=90=NHBC+ZABO,:.ZABO=NBCH,在二Aeo和V“中，ZCHB=ZAOB,ZBCH=ZABO,BC=AB:ABg公BCH(AAS),CH=OB=4,BH=AO=St.O4=8+4=12,点C(4,12),故答案为：(4,12).【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.2. (0-3)【分析】过点E作EGJ_y轴于点G,证明JAoBBGE得到OA=GB=4,OB=GE=,证明二二EG/，得到BP=GP,由此求出。P的长即可得到答案.【详解】,点A的坐标为(40)
14、,点8的坐标为(0,T),，3=4,08=1,：等腰RtZXOH尸，等腰RtZXABE,.*.BF=OB=I,JF(-l,-l),过点七作EGj.y轴于点G,/.ZOAB=NGBE=90o-NQBA,EG/BF,ZAoB=NBGE，:ZOAB=ZGBE,AB=BEJAO的一BGE(AAS),：.OA=GB=4,0B=GE=1,：EG/BF,：.ZBFP=ZGep,NBPF=NGPE-Azbfp=ZGEpBF=GE：BFPGEP(AAS),：,BP=PG=LGB=2,故OP=OB+BP=3,故P(0,-3),故答案为：(0-3).【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键.
