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1、二次函数综合一、本章知识结构二、知识讲解知识点二次函数与三角形的面积1.常用面积的处理方法：2.坐标系中的铅锤法模型知识点二次函数与线段和差知识点二次函数与直角三角形已知：定点前2,1）、8（6,4）和动点材（帆0）,存在直角三角形力求点”的坐标.1.两线一圆在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题后,通常是以顶点作为分类标准，比如：当以点A为直角顶点时,过点A作49的垂线交X轴的点即为所求；当以点8为直角顶点时,过点8作力8的垂线交X轴的点即为所求；当以点为直角顶点时，只需要以为直径作辅助圆与X轴的交点即为所求.提示:两直线垂直,则其值得乘积为-1,通过求垂线的解析式再求其与X轴的交点即可
2、.提示:竖直型,上减下；水平型,右减左.遇直角，构矩形,得相似,求结果.3.暴力法（两点间距离公式）利用两点间距离公式.勾股定理及其逆定理的应用进行求解.其基本解题思路是列点.列线.列式.第一步,列出构建所求直角三角形的三个点,定点找到后,动点用参数表示其坐标；第二步,采用分类讨论思想,列出构建所求直角三角形的三个边,并分类讨论两两垂直的三种可能性；第三步,把定点坐标及参数点坐标代入两点间距离公式,利用勾股定理的逆定理列出等式求解.注意:解出点的坐标应结合已知进行检验,若出现三点共线或出现不合题意得点均要舍去.注意:有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简单,在一些综合题中一般要
3、结合“K型相似”去做更简单一些.三、例题精析例题1如图，在平面直角坐标系中，直线y=；x+l与抛物线y=+b-3交于A、3两点，点A在X轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作X轴的垂线交直线A8于点C,作Po_LA8于点。.（1）求白、力及S加NAe尸的值；（2）设点尸的横坐标为?.用含m的代数式表示线段PO的长，并求出线段尸。长的最大值；连结尸8,线段尸C把aPDB分成两个三角形，是否存在适合的，的值，使这两个三角形的面积比为9：10?若存在，直接写出”的值；若不存在，请说明理由.例题2已知平面直角坐标系中两定点A(1,0)、8(4,0),
4、抛物线y=+版-2(0)过点A、B,顶点为。，点尸(加，ri)(w,当/4P8为直角时，将该抛物线向左或向右平移/(00,w0）的图像与X轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C（O,-3）,点Z）在二次函数的图像上，CD/AB,联结AD过点A作射线AE交二次函数的图像于点E,AB平分NDAE.（1）用含机的式子表示4；（2）求证：当为定值；AE（3）设该二次函数的图像的顶点为F.探索：在X轴的负半轴上是否存在点G,联结GF,以线段GRAD.AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含机的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.
5、课后练习1.如图1,边长为8的正方形ABCo的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点4点尸是抛物线上A、C两点间的一个动点(含端点)，过点P作PF_LBC于点尸.点。、E的坐标分别为(0,6)、(-4,0),联结尸。、PE.DE.(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PO与PF的差为定值.进而猜想：对于任意一点P,PO与尸尸的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由：(3)小明进一步探究得出结论：若将“使APQE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使aPDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数
6、，并求出aPDE周长最小时“好点”的坐标.2 .如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=t+bx+c经过A(2,4)、0(0,0)8(2,0)三点.(1)求抛物线y=+c的解析式；(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值.图1133 .如图1,抛物线=7%2一耳工一4与X轴交于A、8两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C,连结8C,以BC为一边，点O为对称中心作菱形BZ）EC,点尸是X轴上的一个动点，设点尸的坐标为（见0）,过点P作轴的垂线/交抛物线于点Q.（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点尸在线段OB上运动时，直线/分别交8。、BC于点M、N.试探究?为何值时，四边形C
7、QM。是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点。使aBDQ为直角三角形，若存在,请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.图14 .如图1,在平面直角坐标系中，抛物线丁=泼+法一3（60）与工轴交于八（一2,0）、8（4,0）两点，与），轴交于点U（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点8运动，同时点Q从点8出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当aPBQ存在时，求运动多少秒时APBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当MBQ的
8、面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K,使S,BK:Sbq=5:2,求点K的坐标.5 .已知平面直角坐标系中两定点A(-l,0)、8(4,0),抛物线y=+b-2(W0)过点A、B,顶点为C,点尸G，)(w-,当/4P8为直角时，将该抛物线向左或向右平移t(00）与X轴交于A,B两点（A点在B点的左边）,与），轴交于点C如图1，若AABC为直角三角形，求的值。4 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a?+法一5交y轴于点A,交X轴于点8(-5,0)和点C(1,0),过点A作40X轴交抛物线于点D(1)求此抛物线的表达式；(2)点E是抛物线上一点，且点E关于X轴的对称点在直线AD上，求毋。的
9、面积；(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点尸运动到某一位置时，ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和ABP的最大面积.25 .如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-可X+4的图像与K轴和,，轴分别相交于A、8两点。动点P从点A出发，在线段Ao上以每秒3个单位长度的速度向点。作匀速运动，到达点0停止运动。点A关于点尸的对称点为点Q,以线段PQ为边向上作正方形PQMN。设运动时间为X秒。(1)当I=(秒时，点Q的坐标是；(2)在运动过程中，设正方形PQMN与AAOB重叠部分的面积为S,求S与f的函数表达式；(3)若正方形PQMN对角线的交点为T,请直接写出运动过程中O7+PT的最小值
10、。-1）,抛物线。2：y=2x2x+l,动直线x=f与抛物线G交于点M与抛物线C?交于点M.（1）求抛物线G的表达式；（2）度军用含，的代数式表示线段MN的长；（3）当XAMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求/的值；7 .如图，已知抛物线=0?+：工+4的对称轴是直线k3,且与X轴相交于A,B两点（B点在4点右侧），与），轴交于C点。（1）求抛物线的解析式和A、8两点的坐标（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与8、C重合），则是否存在一点P,使APBC的面积最大，若存在，请求出aPBC的最大面积；若不存在，试说明理由8 .如图，点P为抛物线y=幺上一动点.-4（1）若抛物线uJd是由抛物线产1（A2）2-1通过图象平移得到的，请写出平移的过程;44（2）若直线/经过y轴上一点M且平行于X轴，点N的坐标为（0,-1）,过
