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1、立体几何中展开与折叠相关的问题。常考题型目录题型1立体图形的展开1类型1展开图问题1类型2最短路径问题3 考点1长方体中的最短路径3 考点2三棱柱中的最短路径4 考点3锥体中的最短路径4 考点4台体中的最短路径4 类型3周长最小问题5 类型4和最小问题6题型2平面图形的折叠7 类型1折叠中的小题8 类型2折叠中的解答题8U知识梳理知识点一.折叠问题1 .概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题.2 .折叠问题分析求解原则：(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持
2、不变知识点二.展开问题将空间图形按一定要求展开就成为平面问题，当涉及几何体表面上两点间的距离问题时，通常需要将空间图形展开转化为平面问题进行研究.但题型分类题型1立体图形的展开类型1展开图问题【方法总结】立体图形的展开是指将空间图形沿某一条棱长展开为平面图形，研究其面积或者距离的最小值，把几何体中的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点距离.【例题1】如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后抗字一面相对面上的字是()A.新B.冠C.病D.毒【变式1-11.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是(1)(2)(3)A.(l)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.
3、(l)(4)【变式1-12.如图是一小正方体的侧面展开图，小正方体从如图所示的位置依次第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是【变式1-13.如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是与与与口与【变式1-14.把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（）【变式1-15.如图，两个图形都是立体图形的平面展开图，你能分别说出这两个立体图形的名称吗？【变式1-16.将3个6cm6cm的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图（1）所示，将这6个部分接入一个边长为32cm的正六边形上,如图（2）所示.若该平面
4、图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为cm3.图（1）图（2）类型2最短路径问题考点1长方体中的最短路径【例题1-2】（多选）长方体。7。一口口口口1的棱长口口=4,口口=3,口口=5,则从O点沿长方体表面到达4点的距离可以为（）A.45B.310C.74D.8【变式1-2】1.已知长方体。一口口口1口内，OD=5,口口1=4,00=3,从点A出发沿着表面运动到4的最短路线长是.【变式1-22阵-口口曲,D11=2,00=4,=A,则一只小虫从D点沿长方体的表面爬到。1点的最短距离是.考点2三棱柱中的最短路径【例题1-3已知正三棱柱。口114的底面边长为2,高为5,从点。出
5、发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达4点的最短路线长度为.【变式1-3】如图,正三棱柱400的底面是边长为3的正三角形,侧棱。4二4,一小虫从点A途经三个侧面爬到点&,则小虫爬行的最短距离为（）A.4B.5C.97D.153考点3锥体中的最短路径【例题1-4在正三棱锥。一,=OO=1,乙=乙=30,一只蚂蚁从点。出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点,则蚂蚁爬过的最短路程为.【变式1-4】1.空间四边形OgJ各边与两条对角线的长都为1点。在边。上移动，点O在边。口上移动l则点。，Ufi勺最短距离为.【变式1-42.在正四棱锥。,=4,磔。为勺中点,功的中点，则从点O台着四棱锥的表面到点比勺最短路径的
6、长度为（）A.27B,26C.4D.3【变式1-413.如图，在三棱推O.L平面,OO=4米，OO=3米，OD与底面口。所成角的正切值为2.已知蚂蚁从点。出发，沿着侧面。Dzj走到口。上的一点，再沿着侧面。续走到棱ZJZTt,则这只蚂蚁从点。出发到达棱OC的最短路程为米，这只蚂蚁的最短路线与。比勺交点到底面的距离为米.A考点4台体中的最短路径【例题1-5X多选）已知圆台的轴截面如图所示其上、下底面半径分别为卜=J=2,X卜母线ZJ。长为2,点功。U的中点，则（）B.圆台的侧面积为12C.圆台母线。与底面所成角为60D.在圆台的侧面上,从点O到点，的最短路径长为4类型3周长最小问题【例题1-6在
7、直三棱柱。77-口口中,=3,=1,=2,E是棱7。上的一点，则口、。的周长的最小值为（）a.ii+3B.ii23c.rf+i3D.H+i4【变式1-611.如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为Cel的中点,点PfQ分别为面A1B1C1D1和线段BlC上动点，则PEQ周长的最小值为（）【变式1-6】2.如图，在正三棱柱0。中，AB=2,Z70=23,D,F分【变式1-63.如图，-。方。方为正方体，任作平面。与对角线。垂直，使得D与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为。，周长为。，则D,fWA.为定值，K为定值B.0不为定值，。为定值c.与侬为定值D.Z
8、T与磔不为定值【变式1-6】4.九章算术卷第五商功中描述几何体阳马”为底面为矩形,一侧棱垂真于底面的四棱推.现有阳马一口口口口,口口1口口口口,口口=1,口口=3,口口=3,Qah有一点E,使截面。7口周长最短，则。口与OZj所成角的余弦值等于（）类型4和最小问题【例题1-7在正方体ODZ7Z7口口、口口中,棱长为2,E为。Zj的中点，点P在平面内运动,则。O+的最小值为（）A.3B,23C.32D.5【变式1-7】1.如图，在棱长为1的正方体中。一口Z71口口1,若点口,口分别为线段。4,。口上的动点,点。为底面的动点,则。的最小值为（）A.BC.等D.1【变式1-7】2.在正方悻口口口口口
9、口口口中,棱长为2,E为。中中点，点P在平面内运动，则。Z7+的最小值为【变式1-7】3.如图主-中工施=9S,=6,=2,砥Z74上一点，则Z7+Aa的最小值是.【变式1-7】4.如图，在棱长为1的正方体。口口内,分别为棱i*a的中点，若点a口,侬别为线段。a,上的动点，则的最小值为一.【变式1-7】5.已知，如图,五方悻-口口楼长为1,Oah的动点，则。7+的最小值为.【变式1-76.在长方体，77。一R口中,棱口口=6,=2,点a是线段Oa上的一动点，则Oa的最小值是题型2平面图形的折叠类型1折叠中的小题【例题2-1已知矩形ABCD中，AB=3,BC=2f将aCBD沿BD折起至&CBD.
10、当直线CB与AD所成的角最大时，三棱锥-7Zj的体积为（）【变式2-11.角梯形0ADZj,DCHDD.口口1OD1DO=200=2,E为ZJU的中点用降口口咖2口口为就沿口口,。，折起，使得点A,D重合于点F,构成四面体OooO.若四面体OOO。的四个面均为直角三角形，则其外接球的半径为【变式2-12.由等边三角形组成的网格如图所示，多起影口口口口口口口口口某汽何体的表面展开图，对于该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表示），直线。Offl直线。口位置关系是.【变式2-113.侈选）如图，正方形ABCD的边长为1,M,N分别为BCjCD的中点，将正方
11、形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论中正确A.异面直线AC与BD所成的角为定值B.三棱锥So的外接球的表面积为2C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D.三棱锥体积的最大值为宏类型2折叠中的解答题【例题2-2】某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现九章算术中提到了刍薨这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1,E、F、G分别是边长为4的正方形的三边。7、口口、牛中点，先沿着虚线段3将等腰直角三角形OOO裁掉，再将剩下的五边形着线段。折起，连接口口、。怎得到了一刍鬻(如图2).图1图2若0是四边形B寸角线的交点，求证
12、：口口1呼面口口口：(2)若NAS=y,求三棱推。一S0的体积.【变式2-2】/.如图甲，在四边形PBCD中,PDBC,1111=口口=口口=口口=现将AABP沿AB折起得图乙，点M是PD的中点.证明：(1)Z7Z71口口;(2)PC_L平面ABM.【变式2-2】2.如图1,在直角梯形/口口口=90olOOOO1OD=OD=%口=2E为。型中点，将4。口斤起，使折起后的平面。方平面OOO垂直，如图2.在图2所示的几何体。-口口3:求证：。1平面。；(2)点F在技口上,且满足。Il口,求几何体体积.【变式2-2】3.如图，正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，将口口口,口口口分别沿DE
13、,DF折起，使A,C两点重合于点P,过P焊口口】口口,垂足为H.证明：平面BFDE;(2)若四棱锥。-70。的体积为12,求正方形的边长.【变式2-2】4.如图,直角三角形ABC中，A=60,沿斜边AC上的高BD将SBD折起到WBD的位置,点E在线段CD上.(2)过点D作DM_LBC交BC于点M,点N为PB的中点，若口口平面DMN,求携的值.【变式2-2】5.如图：在SBC中,AB=BC=5,zABC=90o,DEllBC,DE=2,将9ADESDE折起至SPDE的履(如图),且NPEB=60.(1)请作出平面PBC与平面PDE的交线1(不需要说明理由)证明；平面PBeJ_平面PBE;(3)求
14、直线PE与平面PBC所成角的正弦值.【变式2-216.如图，已知直角三角形。Ou绕其直角边。旋转一周得一几何体，该几何体底面半径。=20cm,点。为半圆弧g勺中点，点。为OO的中点，口口与口蹄或的角为arctan2,求:(1)该几何体的全面积和体积；口,两点在该几何体侧面上的最短距离.参考答案【例题1】【答案】C【分析】将展开图折叠成正方体，观察可得结果.【详解】将展开图折叠成正方体可得击字与冠字相对，抗字与病字相对，新字与毒字相对，故选：C.【变式1.【答案】B【分析】分别判断出还原成正方体后，相对面的标号，即可得出答案.【详解】(1)图还原正方体后，对面，对面，对面；(2)图还原后，对面，对面，对面；(3)图还原后，对面，对面，对面；(4)图还原后，对面，对面，对面；综上可得，还原成
