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1、费马大定理的简短证明二梁增勇费马大定理：方程xn+/=Zn(1)无正整数解。证首先,假设人/Z有公共因子，则可将其约掉，方程变为An+Bn=Cn令C=A+c,CA,c无公共因子，则Cn=（A+c）nCn=n+wn,c+.+wAcn1+cn(2)(2)+(3)得:An+Bn+CnBnBn=Cn+An+nAnlc+.+“Acv+c=nAnc+.+fiAcnl+cn,cnAv,+.+Acn2+cnl)那么，8必含C因子，即c|8。令B=Ck,代入(4)得：(ck)n=c(nAn+.+nAcn2+c)1kn=nAn+iAcn2+cnl依一匹=An4+.+ncn2n,(小一D=And+.+nAcn2因为
2、i1,4.n(n-1).Cn(n-1)nAnl+.+nAcn2=nAni+An-c+.+A2cn3+nAcn2cnkn-）=nAAn-2+1AnjC+但一）Acn-3+cn2）22分析：因为方程（6）左边有Cn/,为了等式两边平衡，那么1)2)已知Ac无公共因子;要么,只能含C叫不可能,见定理1和2证明;3)最后,只求（An-2(n-l)1(11-1)1,人+-An-,c+.+-Acn-3+cn2c(4)(6)讨论：假设3）22成立，(An-2+(IAn-Ie+.(二-ACn-3+匕-2)含22A2+.S二)An-IC二)ACn-3+ca-2=wCni.22色含Cn-ICI(H1),(H1)1
3、CAn2=wcn-1An-lcAcn-i-ca-2An2=C(WCn-22(H-1).-An-22(n-l)ACn4-Cn-3)2(8)由（8）可导出C与A含公共因子，与已知C与A不含公共因子相矛盾。即3）之情况亦不可能存在。综合以上分析，1）2）3）之情况皆不可能存在，那么方程（7）、（6）、（5）、（4）、（3）、（2）、（1）皆不成立。定理1在方程(2)的条件下，含CnT不成立(见定理2)。证假设n含cni成立，则ncndO因为n3,那么：1)若c=l,n3则3ln,ncn,可能。但C=L(2)不成立(见定理2)。2)c2,n3,ncn,因为n个1相加(=n)比n-1个2相乘小。例如：n
4、=3,33,它们的差距就更大。即3不能包含C2。定理2.c=l,(2)不成立。证假设c=l,(2)成立并是An+Bn=(A+l)nAn+Bn=Ann4n,+.+w+lnn=nAn,+.+M+lno(9)假设B=A+b,bi,(A+b)n=n+nAnlb+.+nAbnl+bn.(10)那么(9)=(10)：nAn1+.+nA+n=An+nAnlb+.nAbni+bn,An+nAn,/?+.+fiAbn1+bn(nAn,+.+A+111)=0,An+nAn,(?-1)+.+nA(/?111-1)+Z?n1=0(11)因为：An0,nAn,(-l)0,nA(bni-)0,bn-l0,所以(11)的左边A%即(11)不成立。那么假设c=l,(2)成立不为真。20230322最后，还需讨论人=0,*=81定理3若An=Bn1(2)不成立。证假设An=小，(2)成立，则2An=Cn.(12)1)如果A为奇数，显然(12)不成立。2)如果A不为奇数，由(12)可判断C为偶数，那么A和。有公因子2,与命题方程(2)中A、8和。无公因子矛盾。证毕。综上所述，方程(2)不成立。即方程(1)无正整数解。证毕。
