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1、重难点07数列的通项公式【题型归纳目录】题型1:观察法题型2,叠加法题型38叠乘法题型4：待定系数法题型5,同除以指数题型自取倒数法题型Z已知通项公式/与前项的和S“关系求通项问题题型8:周期数列题型9：前项积型题型10：因式分解型求通项题型Ih。+2=MN+网”题型12：取对数法【方法技巧与总结】类型I观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项.类型II公式法：若已知数列的前项和S与%的关系，求数列/的通项为可用公式z=ES=l)构造两式Sn-S”,(2)作差求解.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式
2、；另一种是“合二为一”，即q和%合为一个表达，(要先分=1和2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一).类型In累加法：an-an-=/(-0形如4.1=%+/()型的递推数列(其中/()是关于”的函数)可构造一%一%(-2)a1-ax=/(1)将上述叫个式子两边分别相加，可得：an=f(n-)+f(n-2)+./(2)/(1)+ap(n2)若/()是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；若/()是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和：若了()是关于的二次函数，累加后可分组求和；若/()是关于的分式函数，累加后可裂项求和.= (-1)= (w-2) an-2类型IV累乘法：形如4.
3、l=q5)也=/()型的递推数列(其中/()是关于的函数)可构造:将上述吗个式子两边分别相乘，可得：an=f(n-1).f(n-2)./(2)(l)a1,(n2)有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.类型V构造数列法：形如4+LP4+4(其中P，夕均为常数且PWO)型的递推式：(1)若=时，数列”为等差数列；(2)若夕=0时，数列%为等比数列；(3)若且qw时，数列%为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：法一：San+l+=p(an+A)展开移项整理得%+=P%+(p-l)与题设。川=MlI+夕比较系数(待定系数法)得4=Vp/O)=%+-=
4、pS+-)=4+V=p(4+-)，即1%+一)构p-p-p-p-p-p-lj成以4+”为首项，以P为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出1%+/二的通项整理可P-IIp-ij得法二：由川=pan+q得a”=p*+仪2)两式相减并整理得空口=P，即。川-/构成以-qanan-为首项，以P为公比的等比数列.求出。的-%的通项再转化为类型IH(累加法)便可求出.形如a+1=pan+f(n)(p1)型的递推式：当/()为一次函数类型(即等差数列)时：法一X设+B=+4(-1)+8，通过待定系数法确定/、8的值，转化成以4+彳+B为首项，以P为公比的等比数列m+A+8,再利用等比数列的通项公式求
5、出%+痴+5的通项整理可得见.法二：当/()的公差为d时,由递推式得：an+l=pan+fn)/=pa”_+/(-1)两式相减得：a-an=p(an-an,l)+d令2-4得：=pv+d转化为类型V求出“，再用类型11I(累加法)便可求出当/（）为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设/+/（）=Pkl+通过待定系数法确定4的值，转化成以q+4（l）为首项，以4n=G为公比的等比数列%+4”）,再利用等比数列的通项公式求出%+之/（）的通项整理可得%.法二：当/（）的公比为夕时，由递推式得：An+1=pan+f（n），an=pa+f（n-两边同时乘以夕得=1+4（一1），由两式相减得。用=p（
6、“-乎*），即，XL=p,在转W%化为类型V便可求出4.法三：递推公式为%.小氏+夕（其中p,9均为常数）或a.=3+处（其中P，夕，均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以夕川，得：=+-,引入辅助数列帆（其中”=）,得:qqqqq“X=K+再应用类型V的方法解决qq当/（）为任意数列时，可用通法：在=.+/（）两边同时除以P川可得到编=2+噌，令之=瓦，则加=+噌，在转化PPPPP为类型小（累加法），求出“之后得勺=P边类型VI对数变换法：形如aw+1=Pag（P0,aw0）型的递推式：在原递推式a”.=Pag两边取对数得Ig%=glg%+lgp,令:=Iga”得:+1=qbn+p化归为
7、4.=p%+夕型，求出之后得/=10（注意：底数不一定要取10,可根据题意选择）.类型Vn倒数变换法：形如%7-%=p%M（P为常数且PWo）的递推式：两边同除于勺/“，转化为=一+P形式，anan-化归为%=P4+g型求出!的表达式，再求凡;*还有形如。川=K的递推式，也可采用取倒数方法转化成一=!+形式，化归为PA+q%+1q%P%+=pan+q型求出:的表达式,再求an-类型Vl形如.2=PaN+q*型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列%-%7的形式求解.方法为：设/+2-m+1=g%-他），比较系数得h+k=p,-hk=q，可解得、左，于是/+-是公比为力的等比数列，这样就化归为z+
8、=pa“+型.总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列,可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式.【典例例题】题型I：观察法1357例1.（2023上河南高三校联考期中）数列-而,的一个通项公式为（）a.(7)0 岁 b. (Tr 与 22C. (T)2n【答案】【解析】设该数列为叫，“=”FF二一76选项A,tf,=-p 不满足题意，故A错误;选项B,4=!，不满足题意，故B错误;6选项C,tf1=-p 不满足题意，故C错误;选项D,I3574=7,。2=-了Mq=7，%=-2，均满足题意.248Io故选：D.例2.（2023上山东青岛高二统考期
9、中）写出数列LHB的一个通项公式%=（）A.2/1 1B.In 1C.2 + lD.2 + 1【答案】B【解析】数列中，3579则其分母为2T，分子为2-1,则其通项公式为In I故选：B例3.（2023上福建龙岩高二校联考期中）数列5,2,-3,-10,-一的通项公式可能是（）B. a=6-niA.a=6-n1D.an=8-3w【答案】A【解析】对于A中，由勺=6-2,可得q=5,%=2j%=-3,%=TO,，符合题意，所以A正确;对于B中，由4=6-K可得4=5,2=-2,不符合题意，所以B错误；对于C中，由4=6-，可得=5,%=4,不符合题意，所以C错误；对于D中，由%=8-3，可得q
10、=5,%=Z%=-l,不符合题意，所以D错误.故选：A.579变式1.(2023上甘肃张掖,高二高台县第一中学校考阶段练习)数列：1,.的一个通项公式是()A.%=(T)N+)B.勺=(-1,N+)n+nIi+3/7C.an=(-ir+)AzL(WeN+)D.=(-1)N+)n+2nn+In【答案】D35791【解析】观察数列m各项，可写成：丁三，-三，一7，-7,选项D满足，选项A中，%=；,选项B1x324354x6231中，卬=：,选项C中，4=；,均不符合题意.故选：D变式2.(2022上福建漳州高二校考期中)下列不能作为数列2,0,2,0,L的通项公式的是()A.=l(-l),+lB
11、.=1-(-1)C.%=1+(-1)D.an-1-COS万【答案】C【解析】A选项：通项为勺=1+(-1)向的数列的前4项分别为4=1+(l=2,2=1+(-1/+,=0,a3=1+(-l)+l=2,4=1+(-l)4+=0,成立；B选项：an=1-Fly=1+(1)+成立；C选项：通项为4=1+(-1)”的数列的第1项分别为。产1+El)I=0，不成立；D选项：通项为q=I-cos“的数列的前4项分别为q=Hcosr=2,a2=1-cos2=0,ai=1-cos3=2,a4=1-cos4=0,成立，故选：C.变式3.(2023下江西上饶高二上饶市第一中学校考阶段练习)数列-1,3,-乙15,
12、的一个通项公式可以是()A.an=(-)n(2n-)B.%=(T)”(2-1)C.1=(-l+1(2w-l)D.%=(T严(2-1)【答案】A【解析】数列各项正、负交替，故可用（-1）来调节,X1=2i-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,.,所以通项公式为4=(-iy(2n-l),wN*故选：A.题型2：叠加法例4.（2023黑龙江哈尔滨高三哈尔滨七十三中校考期中）3已知数列q满足q=:，%/=4+一一2求应的通项.（2）数列/中，q=1,=-T（为正整数），求22勺+1【解析】因为。n%+土，所以/=-z=n +n z(w + l) n w + 1所以q=勺一勺-1-能-2+见
13、-2 - 4-3 +- 4+% =w-1 n n-2w-13_2n.131综上i二5二而4=3符合上式，故=廿因为L=备所以2位粉着一2021202220202021201920201， 22022嫁、1.：二TTTT2022例5.（2023甘肃天水统考一模）在数列4中，q=2,且勺H% + In 1+ J求数列/的通项公式.【解析】由题设= In2+ + lnj + 2 = 2 + ln 且 2,所以q=（可一%_1）+.+（生一。1）+。1=In显然q=In1+2=2满足上式,所以勺=2+ln例6.（2023全国高三专题练习）已知数列可满足可”=q+3-2（wN+）,且=1,求数列为的通项公式.【解析】因为%+=%+3/-2,所以。.一。时1=3-5(w2),.,%-=l,所以即+（w2）（累加）,37又q=l,所以二2-+3(2),2237因为当=1时，一F1+3=1=fl,2257所以=2一,+3(wN+).2 2变式4.(2023全国高三专题练习)若在数列%中，=1,an=an+n2t求通项。2%=1,、3-a2=22,【解析】由-=(+/,得：勺一%
