重难点07数列的通项公式(十二大题型)(解析版).docx
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1、重难点07数列的通项公式【题型归纳目录】题型1:观察法题型2,叠加法题型38叠乘法题型4:待定系数法题型5,同除以指数题型自取倒数法题型Z已知通项公式/与前项的和S“关系求通项问题题型8:周期数列题型9:前项积型题型10:因式分解型求通项题型Ih。+2=MN+网”题型12:取对数法【方法技巧与总结】类型I观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项.类型II公式法:若已知数列的前项和S与%的关系,求数列/的通项为可用公式z=ES=l)构造两式Sn-S”,(2)作差求解.用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分段式
2、;另一种是“合二为一”,即q和%合为一个表达,(要先分=1和2两种情况分别进行运算,然后验证能否统一).类型In累加法:an-an-=/(-0形如4.1=%+/()型的递推数列(其中/()是关于”的函数)可构造一%一%(-2)a1-ax=/(1)将上述叫个式子两边分别相加,可得:an=f(n-)+f(n-2)+./(2)/(1)+ap(n2)若/()是关于的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;若/()是关于的指数函数,累加后可转化为等比数列求和:若了()是关于的二次函数,累加后可分组求和;若/()是关于的分式函数,累加后可裂项求和.= (-1)= (w-2) an-2类型IV累乘法:形如4.
3、l=q5)也=/()型的递推数列(其中/()是关于的函数)可构造:将上述吗个式子两边分别相乘,可得:an=f(n-1).f(n-2)./(2)(l)a1,(n2)有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解.类型V构造数列法:形如4+LP4+4(其中P,夕均为常数且PWO)型的递推式:(1)若=时,数列”为等差数列;(2)若夕=0时,数列%为等比数列;(3)若且qw时,数列%为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种:法一:San+l+=p(an+A)展开移项整理得%+=P%+(p-l)与题设。川=MlI+夕比较系数(待定系数法)得4=Vp/O)=%+-=
4、pS+-)=4+V=p(4+-),即1%+一)构p-p-p-p-p-p-lj成以4+”为首项,以P为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出1%+/二的通项整理可P-IIp-ij得法二:由川=pan+q得a”=p*+仪2)两式相减并整理得空口=P,即。川-/构成以-qanan-为首项,以P为公比的等比数列.求出。的-%的通项再转化为类型IH(累加法)便可求出.形如a+1=pan+f(n)(p1)型的递推式:当/()为一次函数类型(即等差数列)时:法一X设+B=+4(-1)+8,通过待定系数法确定/、8的值,转化成以4+彳+B为首项,以P为公比的等比数列m+A+8,再利用等比数列的通项公式求
5、出%+痴+5的通项整理可得见.法二:当/()的公差为d时,由递推式得:an+l=pan+fn)/=pa”_+/(-1)两式相减得:a-an=p(an-an,l)+d令2-4得:=pv+d转化为类型V求出“,再用类型11I(累加法)便可求出当/()为指数函数类型(即等比数列)时:法一:设/+/()=Pkl+通过待定系数法确定4的值,转化成以q+4(l)为首项,以4n=G为公比的等比数列%+4”),再利用等比数列的通项公式求出%+之/()的通项整理可得%.法二:当/()的公比为夕时,由递推式得:An+1=pan+f(n),an=pa+f(n-两边同时乘以夕得=1+4(一1),由两式相减得。用=p(
6、“-乎*),即,XL=p,在转W%化为类型V便可求出4.法三:递推公式为%.小氏+夕(其中p,9均为常数)或a.=3+处(其中P,夕,均为常数)时,要先在原递推公式两边同时除以夕川,得:=+-,引入辅助数列帆(其中”=),得:qqqqq“X=K+再应用类型V的方法解决qq当/()为任意数列时,可用通法:在=.+/()两边同时除以P川可得到编=2+噌,令之=瓦,则加=+噌,在转化PPPPP为类型小(累加法),求出“之后得勺=P边类型VI对数变换法:形如aw+1=Pag(P0,aw0)型的递推式:在原递推式a”.=Pag两边取对数得Ig%=glg%+lgp,令:=Iga”得:+1=qbn+p化归为
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- 难点 07 数列 公式 十二大 题型 解析
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