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1、面积问题一般方法：S=AEd(其中IAq为弦长，d为顶点到直线AB的距离)二:Jl+A?7(x+2)2-4xixi网/毛(直线为斜截式y=kx+m)21+HNo +时特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着X轴或者y轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在X轴或者y轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长。SAPAB=SAPQA+SAPQB=PQIlyA-Jft|=pJ(y+%)2-4乂%SAB=SAPQA+SAPQB-PQxaxb=JPQl(x1+x2)2-4x1x2例1.已知椭圆:*+方=l(b0)的离心率e满足_3缶+2=0,右顶点为A上顶点为B,点C(0,-2),过点C作一条与)，
2、轴不重合的直线/,直线/交椭圆E于P,Q两点，直线BP,8。分别交X轴于点M,M当直线/经过点4时，/的斜率为0.求椭圆E的方程；(2)证明：S5qmSMCN为定值.【详解】解：（1）由2/一3技+2=0解得e=*或e=（舍去），*a=y2c又=+。2,.a-y2b.又k入AAC(H2)a-0.,. ci /2，.,.b = 1,2椭圆E的方程为 + V=1:（2）由题知，直线/的斜率存在，设直线/的方程为 =依-2,设 P(X,y),Q(孙 力)，由，y = kx-2x2 2 1=I得（2公+1卜2.8k6O赤Tf=药=(-8)2-46(2A2+1) = 16A:2 -240八 3:.k-
3、一， 2 y1+y2=(1+2)-4 = -j,yy2 =(Ax1 - 2)(仇-2)=k2xxx2-2kx +)+4=4-2/2公+ 1VlI直线BP的方程为y = 二-+1,令y=0解得 = j,则M一,0 : 斗1-乂 U-X )/ 同理可得N卢一,0 , Uf ). C =3 X /3XM2=3石 l-y2-4(l-yl)(l-y2)4l-(y1y2)y6_32严+1=4144-2/=于1H1z2k2+2公+1SMOMSBON为定值万例2.己知椭圆C-+-4=（abO）的离心率为受，O是坐标原点，点A,B分a2b22别为椭圆C的左右顶点，A8=40.（1）求椭圆。的标准方程.（2）若P
4、是椭圆。上异于A,B的一点,直线/交椭圆C于M,N两点，AP/OM,BP/OM则AOMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由.解析：（1）由为=4,e=-=,a2解得=2近，c=2,h2=a2-c2=4,22则椭圆的方程为工+2=1；84（2）由题意可得A（-22，0），B（2&,0）,设P（X0,州），可得予+手=1,即&2+2州2=8,.k=7=.yo=2=L=-llBP+2V20-2V2XO，-8-2y022,因为APOM,BPON,则kOM-kON=kpkbp=,当直线/的斜率不存在时，设/：x=m,联立椭圆方程可得y=.F21,可得一二1,解得加=2,所以（2,近），N（2,-忘）,所以SAMNQ=3X22y2=2y/2；当直线/的斜率存在时，设直线/：y=kx+ntM(x,y),N(X2,竺),联立直线y=kx+n和+2y2=8,可得(1+2S)2+4knx+2n2-8=0,可得 X+X2=一4如1 + 2公XX2 =2-81 + 22yy= (kx+n) (kx2+n)=k2xX2+kn (x+x2) +/於，可得 =2+4F,由弦长公式可得则=标MiiN小品尸塔普整.642-8112+32=41+,l+2F点(0,0)翱百分的距离为一一一2(广?j.+F+F所以Snmn=；d|MN=2&,综上可知,ZXOMN的面积为定值2拒.
