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1、目录导教21导教大题2斛析几何151支线与Si152捕BJ,抛物线，双曲线基础163解析琮合小题204HJ般曲为大题21导教1导救大典1. (202204东城一模19)已知函数/(X)=三.(I)若曲线y=f(x)在点(2J(2)处的切线斜率为-1,求的值；(II)若/(x)在(L+oo)上有最大值，求的取值范围.【答案】解：(I)函数义功的定义域为(-oo,-l)U(Tj)U(I，”)tty.,.X-Cizart,.-x2+Iax1由/(x)=F得f,M=；L.jX2-I(X2-I)2则八2)=-L解得。=一15分(II)fx)=X.令g(x)=-X2+2-l(xl),(XT)当0时，2a0
2、,因此9(=-公+2奴-10恒成立,所以八幻=十20,所以/(x)在(1,+oo)上单调递减，没有最大值.当Ol时，gCr)=*+20r-lg0恒成立，所以.(X)=T212Tl时，方程-X2+A-I=O的两个根为xi=a-tJa2-1,x2=a+Ja2-1.由l得01,且ll,/(O)=-I.所以曲线在i=j=2处的切线方程为yr-=-(+当L4K+1k4k+1三一-4。j*令g(x)=ev+1-xex,m,在区间(O,+oo)上，a、=-一,则g()在区间(O,E)上是减函数.又g(l)=lO,g(2)=-e2+l2.r)与/(X)的情况如下：X(0,M)X。(,+)f,()+0/()极大
3、值所以/(x)在(0,+)上有唯一极大值点%9分(II)fM=axeae+令h(x)=ex+aax,则,(x)=qxa.若v,则(x)0,z(x)在R上是增函数.因为+(1)=e0,所以h(x)恰有一个零点.令e+a=O,得=ln(-.代入力(Xo)=0,-a+a-an(-a)=O,解得=-l.所以当。=一1时，力。)的唯一零点为0,此时/(x)无零点，符合题意.若0,此时/(x)的定义域为R.当XVlna时，(x)v,力(X)在区间(-,Ina)上是减函数：当XIn时，/(x)O,(x)在区间(Ina,+)上是增函数.所以h(x)min=(Ina)=2a-ana.又A(O)=l+izO,由题
4、意，当2z-ln40,即OVaVe?时，/(x)无零点，符合题意.综上，。的取值范围是一lU(O,e?).15分3. (202203海淀一模19)已知函数/(x)=e*(0?-x+l).(I)求曲线y=f(x)在点(OJ(O)处的切线的方程；(II)若函数/Cr)在x=0处取得极大值，求”的取值范围；(III)若函数/Cr)存在最小值，直接写出。的取值范围.【答案】解：(I)因为/。)=(加7+1把,所以7(0)=l,(x)=x(ax+2a-l)ex,所以r(0)=0,所以切线为：y=.(II),(x)=(ox+20-l)ev.(1)当=0时，f,(x)=-xex,令r(x)=0,得X=0,/
5、U)与r(x)的情况如下：X(一8,0)0(0,+)f,+0f()/此时，/(x)在X=O处取得极大值，符合题意；(2)当0时，令r()=0,Wx=O,或X=,-2.当OVaV)时,L-20J(x)与广(力的情况如下:2aX(-,0)0(*-2)1-2af,+00+fWZ/此时，/(x)在X=O处取得极大值，符合题意；当a=时，1-2=0,/(x)0,/(x)单调递增，无极大值，不符合题意;2a当)时,，一2VOj(X)与/(X)的情况如下：2aXSATi-2O)0(0,+8)M+00+f/X/此时，/(x)在X=O处取得极小值，不符合题意;(3)当0时，l-2O,函数/(x)在区间(Yo,”
6、)上单调递增，所以在区间(LE)上无极值.所以小0不合题意.当0时，令f(x)=-e+1=0,解得X=Ina当x0,函数/(x)在区间(-co,InL)上单调递增；aa当xln,时，f(x)l,解得0avJ.ae所以的取值范围是(0-).10分e(III)由题可知，g(x)=f(2-x)=2-x-ae2x,OVaVLe则g(x)=e2-*-l令g(x)=O,即优2-1=0,解得x=2+ln4.因为OJ,则Inaa-x令/(x)=0,解得X=三.3当W时，由XWa,得2-3x2-420,所以g(x)20,则g(x)在定义域(-,上是增函数.故g*)至多有一个零点，不合题意，舍去.当00时，随X变
7、化g(x)和g(x)的变化情况如下表:X(-8号)2aT(pa)a()+0一g(%)单调递增1j3afa-609单调递减2aT故g(x)在区间(9,手)上单调递增，在区间(手,幻上单调递减，当x=g时，g(x)取得最大值g(g)=若03时，g(争0，又g(O)=g()=一彳0,由零点存在性定理可得g(x)在区间(0,手)和区间(IM)上各有一个零点，所以函数g(X)恰有两个不同的零点，符合题意.综上所述，4的取值范围是(3,+oo).15分6. (202203石景山一模19)设函数/(x)=V+勿Hn(X+1)。力R).(1)若Z=-I,(i)求曲线/(x)在点(0,/(0)处的切线方程；(i
8、i)当X(l,+8)时,求证：f(x)X3.(II)若函数/(x)在区间(0,1)上存在唯一零点，求实数机的取值范围.【答案】解：(I)m=-,所以f(x)=f-ln(x+l)(i)f,(x)=2x,k=f(0)=-.x+1又/(0)=0,所以/(x)在(0,/(0)点处的切线方程为y=r4分(ii)令/(X)=f(x)-x3=炉-In(X+1)-3,w=2-L-3=-3-+2%-!=,x+1x+1x+1X(l,+8)时，F,(x)0,/(X)在(1,+8)上单调递减，所以产(X)VF(D=-ln2v,所以当xe(l,+8)时，f(x)O,/(幻在(一1,+)上单调递增，又/(0)=0,所以在
9、(0,1)上无零点，不合题意；当4一8机O即?；时2f+2x+m=O有两根xitx2(xxOBPOX.(1,),X0(,0)222此时/(x)在(苍，+8)上单调递增，又/(0)=0,所以在(0,1)上无零点，不合题意；当m=0时f(x)=x2,此时/(x)在(0,1)上无零点,不合题意；当m,-l),X,(0,+oo),此时/(x)在(0,工2)上单调递减，在($，+Oo)上单调递增，/(0)=0，所以2)o即可.解得?一二-.In2综上，若/(x)在区间(0,1)上存在唯一零点，则加(-一，0)15分In27. (202203门头沟一模19)已知/(x)=ksinx+2x.(I)当A=2时，判断函数/(x)零点的个数;(II)求证：-sin%+2xln(x+1)(x(0,);2(In)若/(x)In(X+1)在Xe(0,今恒成立,求人的最小值.【答案】解：(I)当2=2时，,(x)=2cosx+20,f(x)=2sinx+2x单调递增，/(0)=0,/(x)只有一个零点X=0；(II)设g(x)=2X-SinX-In(X+1)ng，(X)=2-cos%!0ng(x)增，xlg(x)g(O)=O.(III)解法一：当时，由(II)-sinx+2xln(x+l),恒成立.当1时，设h(x)=f(x)-In(X+1)n,(x)=2+kcosxn*(x)=-k
