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1、2023-2024学年北师大版选择性必修第一册用空间向量研究距离问题学案学习任务能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题.(直观想象、数学运算)必备知识情境导学探新知一赖燕i学Fi而速总【情境与问题:空间中的距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离、平行线之间的距离、点到平面的距离、与平面平行的直线到平面的距离、平行平面之间的距离、异面直线的距离等.空间两点间的距离即为以这两点为起点和终点的向量的模长.本节主要研究点到直线、点到平面、平行线之间、平行平面之间的距离，这些距离都可以通过求向量的投影长得到.知识点1点?到直线/的距离如图，直线/的单位方向向量为，
2、力是直线/上的定点，尸是直线/外一点.设前=2则向量存在直线/上的投影向量而=(au)”在RtA4R中，由勾股定理，得点夕到直线/的距离为PQ=J府广_I砌2=返2_(.“)2PQI思考点到直线的距离与两条平行直线之间的距离有什么关系？提示：在两条平行直线中的一条上取一定点，该点到另一条直线的距离即为两条平行直线的距离.知识点2点,到平面a的距离如图，已知平面a的法向量为，4是平面Q内的定点，。是平面a外一点.过点尸作平面a的垂线7,交平面a于点Q,则是直线/的方向向量，且点夕到平面。的距离就是而在直线1上的投影向量丽的长度.因此国=|万田=|等I=等。谣前自主批驰。1.已知直线/过定点力(2
3、,3,1),且方向向量为s=(0,1,1),则点尸(4,3,2)到/的距离为()A.亚B.在C.包D.2222AAP=(2,0,1),由点到直线的距离公式得i/=1P目=JS-12.已知平面a的一个法向量为=(一2,-2,1),点力(-1,3,0)在平面a内，则点P(-2,1,4)到平面a的距离为.y由题意知，P=(-1,-2,4),=(-2)2+(-2)2+1=3,APn=(l)(-2)+(-2)X(-2)+4X1=10,点尸到平面a的距离为耳F=9Inl3,关键能力,合作探究释疑难疑难问题解感学科素养形成类型1点到直线的距离【例1】如图，在棱长为1的正方体力幽A484。中，O为平面/M仍I
4、的中心，E为BC的中点，求点。到直线4的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系,则4(1,0,1),玛，1,0),41,3,因为AlE=(一1,1-1)，ae/122=常=(一“丁取6=西=(0,-,m，所以4=au=.所以点0到直线4、的距离为J2-(11)2=JPl=反思领悟用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)求直线的方向向量.(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.(3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.跟进训练1.(源自湘教版教材)已知棱长为1的正方体力岫力心G中，E,尸分别是棱笈G和G的中点，求点到直线力
5、分的距离.解如图所示，以为原点，分别以万5,DC,可为*轴、y轴、Z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则力(1,0,0),1，1)，0，1)，于是FA=(1,I,-1),尸E=G,：,)，因此屈I=乎.过点E作用的垂线交用于则而是屋在同上的投影向量.于是I而9i+V)+。X(T)Ll网心+闺+(一1)26所以点到直线的距离丽=J同2-画2=J停)2-Gy=2.IJ类型2点、直线、平面到平面的距离【例2】如图，己知正方形力仇力的边长为1,PO上平面月BCA且勿=1,E,尸分别为46,比的中点.求点到平面必尸的距离；求直线力C到平面叱的距离.思路导引(1)建系二1_凡儿C,E,F
6、，,求出，相关,句，,丽,PE,而一设平关点的坐标量的坐标面侬的法向量为一求一利用d=黑!求距离.Inl易知NC斯”:化,点力到平面际的距离即为4。到平面/F的距离一求荏一利用呼F求力到平面侬的距离.l11l解(D建立以点为坐标原点，DA,DC,而分别为X轴，y轴，Z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示.快L一4卢1则尸(0,0,1),/1(1,0,0),C(0,1,0),(1,0),1,0),所以EF=(0),PE=(1,1)，DE=(1,0).设平面物7的法向量为A=(x,y,z),则”=即廿产Epe=o,IX+-y-z=0.令x=2,则y=2,z=3,所以=(2,2,3).所以点到平面必尸
7、的距离占黑=4=9I7.n4+4+917(2)因为荏=(,i,0),所以点A到平面W的距离d,=卑F=+=绊，n/1717所以直线4C到平面发产的距离为年.反思领悟1.用向量法求点面距离的步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系.(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标.(3)求向量：求出相关向量的坐标(而，。内两不共线向量，平面。的法向量).(4)求距离d=牌.n2.线面距、面面距实质上都是点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行.跟进训练2.如图，在直三棱柱力吐中，点。为48的中点，ZABC=90a,AB=BC=2,AA1=23.证明：比平面力制；求点8到平面力阳的距离
8、.解(D证明：连接4C,交HG于点,则为4。的中点.连接庞；在欧中，利为中位线，於0EBC.因为您IZ平面/!况1,M平面纭，所以8C平面4少.(2)设/1C的中点为，在平面4CG4内过点作力C的垂线，连接做如图，以为坐标原点，分别以8,DC,诊所在的直线为X轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.则(0,0,0),2,0,0),J(0,一五,0),蜡、-y,3),G(0,2,23),所以荏=(L2,0),而=(4，y3),ACi=(Qt22,23).设平面力6吗的法向量=(x,y,z),则四=。，得及x+亨y+岳=。，不妨取尸百，则片(后后一也.EAC1=O,(22y+23z=0,故点8
9、到平面AOCi的距离为瞥I=萼=g.n22学习效果课堂评估夯基础知识检测小结问黑点评1 .已知直线/上一点力(2,3,1),直线/与平面a平行，平面a上有一点一(4,3,2)且平面a的法向量为S=(0,1,1),则直线/到平面a的距离为()AWB配J亚D.2222B因为/1(2,3,1),P(4,3,2),所以而=(2,0,1),因为/*所以/到平面a的距离即为点/到平面Q的距离.由点到平面的距离公式得d=粤=4=与故选B.ISl222 .若三棱锥?力方的三条侧棱两两垂直，且满足为=%=Q1,则点到平面力8。的距离是()A.在B.在C.立D.更6363D以尸为原点，分别以阳，PB,W所在的直线
10、为彳轴、y轴、Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则4(1,0,0),6(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面月8。的一个法向量为=(1,1,1),又耳5=(1,0,0),则点尸到平面力8。的距离d=野=l11l33 .两平行平面。，f分别经过坐标原点O和点力(2,1,1),且两平面的一个法向量=(一1,0,1),则两平面间的距离是()A.-B.C.3D.3222B两平行平面o,分别经过坐标原点。和点4(2,1,1),OA=(2t1,1),且两平面的一个法向量A=(1,0,1),两平面间的距离仁噌=U誓=f.故选B.n224.如图所示，直三棱柱力心48的侧棱44=遮，在比中，/ACB=9
11、0。，AC=BC=L则点5到平面4%的距离为.y如图所示，建立空间直角坐标系,则 4(1, 0, 0), 6(0, 1, 0), CS,0, 0), (l, 0, 3),笈(0,L近),G (0, 0, 3),F=(-1,1,-3),7C=(-1,0,-3),X=(-1,1,0).设平面48。的法向量为A=(x,y,z),则便=0,即广+y-5z=0,(.nA1C=O,I-X-3z=0.令Z=L得x=一遮，y=0,=(一3,0,1).点B到平面48C的距离=喑H=.n2f!隐国BD囹卜回顾本节知识，自主完成以下问题：1 .用空间向量求点到直线的距离的方法是什么？提示：已知直线/的单位方向向量为
12、，力是直线/上的定点，尸是直线/外一点，则点尸到直线)的距离为J-ppu)22 .用空间向量求点到平面的距离的方法是什么？提示：己知平面a的法向量为，4是平面。内的定点，户是平面a外一点,则点尸到平面a的距离是粤13 .如何用空间向量求直线和平面、平面和平面的距离？提示：先证明直线和平面平行，平面和平面平行，然后把所求距离转化为点到平面的距离,最后利用点到平面的距离公式求解.阅读材料拓展数学大视野拓宽知识层面增加学习,味异面直线间的距离设直线&6异面，向量26分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？如图1所示，过直线a上任意一点/1作6Hb,过直线6上任意一点3作输则ab,
13、=A,a,Cb=B,于是a与6,a,与6均可确定一个平面，依次记作,.由立体几何的知识可以证明：平面明均由直线a,。唯一确定，与点48的位置无关，且。.于是，异面直线46的距离就转化为平行平面,的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量，再求荏在此法向量上的投影向量的长度即可.如何求这两个平行平面的法向量呢？设A是平行平面,的一个法向量，显然有a_La,A_L因为向量a,。不共线，所以满足这个条件的所有向量都平行.也就是说，只需找到与向量a,b均垂直的向量即可.如图2所示，设点力，8分别是异面直线a,6上任意一点，向量a,b分别是直线2b的方向向量，向量是与向量a,b均垂直的向量，则异面直线a方的距离为仁|荏需.图2
