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1、专题13直线与圆的方程20类题型汇总如“题型解读知识点梳理模块一：直线方程【题型1求直线方程【题型2】由两直线的平行垂直关系求参数（易错）【题型3】三角彩的三线问题【题型4】直线与已知线段相交求斜率范围【题型5】光的反射问题模块二直线与圆【题型6求Bl的方程【题型7】I的切线性质以及求切线方程【题型8】已知直线方程求弦长和已知弦长求直线方程【题型9直线与圆的位置关系【题型10】圆与BO的位置关系：公切线，公共弦【题型11直线与圆的综合问题【题型12】与基本不等式结合，乘“法求最值【题型13阿波罗尼斯BO【题型14直线与圆的双切线模型模块三：直线与圆的最值问题【题型15定点到含参直线距离最短问题
2、【题型16过定点的弦长最短【题型17】点Bl型最值【题型18直线与BI上的点距离最值【题型19由直线与圆心的距离求参数的范围【题型20）三角换元求最值知识点梳理一、直线的5种方程斜截式一般式方程l.y=kx+bh.y=k2x+b2l1:A1x+Bly+C1=O（fB?0）l22x+B2y+C2=O（2+B20）相交kkAxB2A2Bx0（当42B2O时，记为空筌）/12x2垂直kk2=-l44+BB2=O（当B20时,记为会赍=-1）平行用=%2且bbzfAB2-A2B=0（AiB2-A2B1=OB1C2-B2C10或A1C2-A2C10（当4昆C2O时，记为*=等/）A2x2O2重合kk2且
3、b=bA=A2,B=B29C=C2（0）（当友昆。?=#。时，记为今=叠=）二、两点关于某直线对称设点X(XOjO)关于直线/的对称点为8,y).x+x。=/2-.yyoX=X0(2)直线/的斜率为0时，设直线切=E,则V+外_.=t直线I的斜率存在且不为0时，设点力GO,%)关于直线/：而+为+c=0的对称点为8(,y).k.4B.ki=-l则人中+8-+C=0由此可求出8a刃.三、其它公式两点距离公式：AB=Ja-X2)2-(M%)2斜率的2个公式：k=-=tanXIf,Axa+By.Cl点到直线距离公式：d=!)-QI42+52四、阿波罗尼斯圆PAC定义：已知平面上两点A,B,则所有满足
4、IPBI=44W1的动点P的轨迹是一个以定比m:n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆*y核心题画7模块一：直线方程【题型1】求直线方程1 .(2023上广东深圳高二翠园中学校考期中)过点(3,-2)且在X轴，歹轴上截距相等的直线方程为【答案】2x+3y=0和x+y-l=0【分析】根据斜率是否为0,分两种情况，结合直线的截距式方程即可求解.【详解】当直线经过原点时，此时直线方程为2x+3y=0,且在X轴，N轴的距离均为0,符合题意,当直线在X轴，J轴均不为。时，设直线方程为+=l(W0),aa3-2将(3,-2)代入得一+=1,解得=l,故直线方程为x+y-1=0aa2 .(2023
5、上浙江嘉兴高二统考期末)已知直线/与直线4：2x-y+2=0和/2：%+-4=0的交点分别为46,若点P(2,0)是线段的中点，则直线力B的方程为.【答案】x+4y-2=0【详解】因为直线/与直线/2x-y+2=0和Qx+y-4=0的交点分别为48,设N(XI,2d+2),3氏,4-2),因为点P(2,0)是线段48的中点，由中点公式可得J；+；：_n，IZX+Z+4-XfU214f4x22X121解得再=-二，X，二一，所以直线48的斜率为*=!一=-T,332x4所以直线18的方程为y-0=-L(x-2),即x+4y-2=043 .(2023上江苏苏州高二统考期末)如图，在平面直角坐标系X
6、ay中，已知四边形048C满足IOH=MM=4,ZOAB=12O5C1OBQC/AB.(1)求直线的方程;(2)求点C的坐标.【答案】(1)Iy歹一M=O:(2)C,45).【详解】(1)由图知NO5=12(T,则直线的倾斜角为60：,直线的斜率&8=6，点44,0),所以直线45的方程为y=5(x-4),即JILy-45=0(2)因为OC/AB,则直线。的方程为y=J5x,而ICMl=Ha=4,则直线。8的倾斜角为30,斜率%邛，r-3v直线06的方程为y=3,由F3A解得x=6,y=2jj,即点8(6,2i),3x-j-43=0又BC工OB,则有直线BC斜率L=-J,因此直线BC的方程为丁
7、-26=-石(x-6),即y=-y3x+Sy3,由y=也：解得=：“，即点c（4,4J）【题型2】由两直线的平行垂直关系求参数（易错）4 .若直线x+（l+m）y2=0和直线机x+2y+4=0平行，则的值为（）2A.1B.-2C.1或一2D.3【答案】AA.B.C1【分析】由题知两直线平行，直接列出丁=WWU（儿工，与工2*0）即可求得？4O2C2【详解】直线X+（1+?）y2=O和直线mx+2y+4=O平行，1 2=w（1+加）可得C）,得2=1.m-25 .（多选）已知直线4：a+y+l=0,直线，2：工+叼+1=0,则下列命题正确的有（）A.直线4恒过点（0,1）B.直线，2的方向向量为
8、。，1），则m=-1C.若2，则卅=1D.若上2,则相=【答案】BD【分析】根据已知直线方程，逐个脸证直线过的定点、方向向量和垂直平行所需的条件.【详解】把（0,1）代入直线4的方程，等式不成立，A选项错误；直线4：x+叼+1=0的方向向量为0，1）,则直线斜率左=1=1,得1=-1,B选项正确；m直线乙方向向量为（L机），直线，2的方向向量为（肛T）,若2,则有-l=0,解得m=l,当?=1时，4与6重合，C选项错误；若J2,则有机+机=0,即m=0,D选项正确【题型3】三角形的三线问题6 .（2023上广东广州高二统考期末）（多选）&43C的三个顶点坐标为4（4,0）,3（0,3）,C（6
9、,7）,下列说法中正确的是（）A.边8C与直线3x-2y+l=0平行B.边BC上的高所在的直线的方程为3x+2y-12=0C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y-13=0D.过点4且平分力BC面积的直线与边8C相交于点0（3,5）【答案】BD【分析】由立线料率判断A,求出相应的直线方程判断BC,求出边BC中点坐标判断D.7-323【详解】直线BC的斜率为左=94=9,而直线3x-2y+l=0的斜率为二，两直线不平行，A错;6-0 3338C边上高所在直线斜率为-1,直线方程为y=-4）,即3x+2y-12=0,B正确;过C且在两坐标轴上的截距相等的Jl线不过原点时方程为x+y-
10、13=0,过原点时方程为y=二x,C错：过点力且平分AXBC面积的直线过边8C中点，坐标为（3,5）,D正确【题型4】直线与已知线段相交求斜率范围7 .（2023上广东深圳高二统考期末）己知4（2,-3）、3（2,1）,若直线/经过点尸（0,-1）,且与线段AB有交点,则/的斜率的取值范围为（）A.(),-2U2,+)B. -2,2C.(-oo,-lkjl,-o)【答案】D【分析】作出图形，数形结合可得出直线/的斜率的取值范围.【详解】过点尸作尸C_L4B,垂足为点C,如图所示：设1线/交线段4B于点M,设直线/的斜率为左，且4=三专=-1,“心=2M=1,0-22-0当点M在从点A运动到点C
11、（不包括点C）时，直线/的倾斜角逐渐增大，此时一I=ATM40；当点M在从点C运动到点8时，直线/的倾斜角逐渐增大，此时0后M18=1.综上所述，直线/的斜率的取值范围是T,8 .己知点力。,3）,6（-2,-1）.若直线/沙=（-2）+1与线段/8恒相交，则A的取值范围是（）C.(-co,-2u-,oD.-2,【答案】D【详解】由直线方程y=A(x-2)+l,令尸2,解得片1,故直线过定点(2,1),如下图：【题型5】点，直线的对称，光的反射相关问题汇总9 .直线上X+2y-1=O关于点(L-I)对称的直线的方程为()A.2x-y-5=OB.x+2y-3=OC.x+2y+3=OD.2x-y-
12、1=O【解题思路】根据直线,关于直线外一点(L-I)的对称直线互相平行可知其斜率，再取I上一点求其关于点(1,一1)的对称点，即可求出的方程.【解答过程】由题意得。/1,故设八%+2y+c=O(c-1),在I上取点力(1,0),则点A(l,0)关于点(L-1)的对称点是4(1,一2),所以1+2X(-2)+c=0,即c=3,故直线T的方程为x+2y+3=0.10 .点P(2,0)关于直线Z:x-y+3=0的对称点Q的坐标为().A.(-3,5)B.(-1,-4)C.(4,1)D.(2,3)【解题思路】利用中点和斜率来求得Q点坐标.【解答过程】设点P(2,0)关于直线，:x-y+3=0的对称点的
13、坐标为(Q,b),(60道9_,解得=5,所以点O的坐标为(-3,5).25+一011 .直线2x+3y+4=0关于y轴对称的直线方程为()A.2x+3y-4=0B.2x-3y+4=0C.2x-3y-4=0D.3x+2y-4=0【解题思路】利用对称性质可得原直线上的点关于y轴的对称点，代入对称点，即可得到答案.【解答过程】设点P(%y)是所求直线上任意一点，则P关于y轴的对称点为P(-%y),且在直线2x+3y+4=0上，代入可得-2%+3y+4=0,即2x-3y-4=0.12. 一条光线从点4(2,4)射出，倾斜角为60。，遇轴后反射，则反射光线的直线方程为()A.3xy+423=0B.-3
14、y243=0C.3x+y+4-23=0D.x+3y-2-43=0【解题思路】根据对称关系可求得反射光线斜率和所经过点4(2,-4),利用点斜式可得直线方程.【解答过程】点4(2,4)关于X轴的对称点为4(2,4),又反射光线倾斜角为18060=120,二斜率k=-5,反射光线所在直线方程为：y+4=V5(x2),即V5%+y+42/5=0.13 .唐代诗人李顽的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河诗中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为8(3,4),若将军从点4(-2,0)处出发，河岸线所在直线方程为y=%，则“将军饮马”的最短总路程为()A.5B.35C.4D.53【解题思路】求出点A关于直线y=%的对称点片的坐标，数形结合可得出“将军饮马”的最短总路程为8
