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1、专题28：空间向量与立体几何小题限时专练（20分钟）宁可战死，不可吓死。今朝不搏，更待何时？一、单选题I.如图，平行六面体48CDA1AGA中，E为CG中点.设A8=,AD=b，AAx=c,用基底,Ac表示向量AE，则AE=（）111A.a+b+cC.ciHb+c22 .已知向量=(l,0,T),b=A.(。,-卜|B.10,3 .如图，在四面体ABeZ)中,Y-1-B.a+b+-c2D.a+b+c2=(OJJ),则4在力上的投影向量为()哼-用C.(0.-15-1)D,鸟，。，-)ZMXYffiABC,CAC,CA=CB=ADfE为AB的产为OB上靠近3的三等分点，则直线。石与C尸所成角的余
2、弦值为EA.3B.也234 .在三棱锥O-ABC中，M为。4的中点，MN=-OA+aOB-OC,贝M=()23A.TB.15 .如图，在平行六面体4BC。-AISCQ中:C.-D.-56点N在线段BC上，若C.-D.I33，AB=AD=4fAA=2四,ZBAD=60,DA=BA4l=45,AC与BO相交于点0.则。A的长为（）A.3B.2C.22D.236 .如图，若正四面体A-8C。的棱长为1,且CE=；CO,则4E48=()7 .已知不品为空间内三个不共面的向量，平面。和平面夕的法向量分别为4=q+2/+33和二一弓+2e?+%，若。尸，则2+=()A.5B.-5C.3D.-38 .已知直
3、线/过点P(L2,1)和点Q(2,2,0),则点A(LTT)到/的距离为()A.3B.23C.TD.22二、多选题9 .在菱形纸片ABa)中，E,尸分别为AO,BC的中点，0是菱形ABCD的中心，AB=2,ZABC=y,将菱形纸片ABCO沿对角线AC折成直二面角，以。为原点，OB,0C,。所在的直线分别为X轴、)，轴、Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()A. E3D.COSNEoF=410 .如图，平行六面体48CQ-A4GA的底面A8C。是菱形，且48=AA1=2,ZBAD=ZAiAB=ZAiAD=60,则下列说法正确的是（）?-yCA. AC1 = AB +AD+AAiB. AG与8
4、。所成的角大小为60。C. C1 = 26D点A到平面叱的距离为平Ai/777三、填空题11 .如图，已知二面角。一/一夕的大小为60,Aea,BwQ,C,D,ACJ.IyBDllS.AC=BD=2,8=4,则AB=.12 .如图所示，四边形ABa）为正方形，AB针为矩形，且它们所在的平面互相垂直，AB=2BE=4,M为对角线AC上的一个定点，且3AM=MC,则M到直线族的距离为.A1参考答案:1.B【分析】利用几何图形的关系，结合向量的加法运算，即可求解.1.1【详解】AE=AC+CE=A+AD+-AA=a+b+-c.22故选：B2. A【分析】根据向量在向量上的投影公式进行计算即可.【详解
5、】根据题意在力上的投影向量为，abb-1(0,1,1),八1L可双丁丁=3一/故选：A.3. D立空间直角坐标系(如图所示)，设CA = 1, 则 B(IJO), C(0,I,0), O(0,0,1),摄/。所以 DE = : CB = (IOO),所以C尸= C8 + 8F = CB + gBZ) = 1,；1).设直线DE与CF所成角的大小为,则CoSe= cos(dE,Cf) =故选：D.二器,T), BO = (TTJ),DE CF 1DECF 6【详解】以A为坐标原点，AC为轴，AO为Z轴，过A垂直于平面CAO的直线为X轴建4. D【分析】以A为坐标原点，AC为轴，AD为Z轴，过A垂
6、直于平面CAO的直线为X轴建立空间直角坐标系(如图所示)，设CA=1,求得OE=导一)，。尸二停总：)根据线线角的向量公式即可求解.【分析】根据向量的线性运算即可求解.-oa = oc+cb-oA 22【详解】设CN=冗C5(OM4+(l-)OC,所以JT=3,解得=%4a=,【分析】把OA=AAI-gA3-；Ao两边平方并展开，根据向量数量积的定义计算即可.【详解】因为QA=AA-AO=AA1_；A3_；AO,所以QA2=AA-gW-jAQ2.21.211=AA1+-AB+-AD-A,AB-AsAD+-ABAD=8+4+4-24-2-4-+-44-2222=4,则IOAl=2,即。A的长为2
7、,故选：B.6. C【分析】选AaAcA。为基底，然后表示AE，利用向量的数量积的公式计算即可.【详解】正四面体A-88的棱长为1,且CE=；8,所以AE4B=(AC+CE)A8=(AC+gc)A8=AC+g(AO-AC)A81 9121=-ADAB+AC-AB=11cos60o+11cos60o=.33332故选：C7. B【分析】依题意可得R/,则=根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可.【详解】因为为空间内三个不共面的向量，所以&可以作为空间内的一组基底,又平面和平面的法向量分别为G=q+e2+3e3b=-el+2e2+e3且0%,T = I 所以2f = l t = 3所以ab，则=
8、f即6+46+34=/(-4+2+463),t=-解得卜二2,所以2+=5.二一3故选：B8. C【分析】由空间向量法求点线距.【详解】由己知PA=(0,-3,-2),PQ=(1,0,-1),CMpAPQ”岸=等所以MPA,如卜噜):等,求促巨离为d=IPdSin(PA,P)=13=T,故选：C.9. ACD【分析】根据空间直角坐标系，写出对应点坐标可判定A、B、C,由空间向量的数量积公式求夹角可判定D.【详解】由题意可知：AC=2底BD=2,所以a(Olo),c(o,o),3(1,0,0),D(0,0,1)=(0,-孚皆/,0则OE=(O碧),0F=g,洌,EF=易知NEO/为钝角,所以co
9、sNEoF=-cos(0E,0F)=-ILI综上A、C、D三项正确，B项错误.故选：ACD10. ACD【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简，可判定A正确；由向量的数量积的运算公式，求得AC。=。，可判定B错误；根据向量的模的计算公式，求得IAGl=2,可判UUU定C正确；求得平面A8。的一个法向量AC,结合距离公式，可判定D正确.【详解】对于A中，由AG=Ae+CG=(a4+AO)+Ce=A4+4。+AA，所以A正确;对于B中，由A8AO=AA1A8=A4,AO=2x2cqs6()o=2,则AClBD=A+AD+AAiAD-ABj=AAD+AD2+AAlAD-A2-ADAB-A41B=2
10、22+2-22-2-2=O,所以AG与BD所成的角大小为90。，所以B错误；对于C中，ACi=(AB+AD+AA1j2=AB2+A)+412+2D2l+2D1=22+22+22+22+22+22=24,所以卜。1|=2#，所以C正确；对于D中，由B选知：AClBD,同理可得AC】LA1B,又由ABC8。=8,且AB,3。U平面A80,所以AGJ平面A/。，UUU所以AG是平面A1BD的一个法向量，因为ACA41=(aB+AO+A4,)A41=ABA4+AOA4+A4:=2+2+2?=8,IACIA1182所以点A到平面ABD的距离为d=L_Ll=_、=二9，所以D正确.ACi263故选：ACD
11、.11. 25【分析】根据题意，得到A8=AC+CD+O8,利用4=(aC+CO+OB)2,结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】因为二面角一夕的大小为60,所以4C与OB的夹角为120，又因为AB=4C+CO+OB，所以B2=(AC+CD+f)2=AC2+CD2+DB2+2ACCD+2CDZ)2DAC=4+16+4+0+0+2x22x(-g)=20,所以网=26故答案为：2石.12. 叵/L而55【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则8(0,0,0),F(4,2,0),C(0,0,4),A(4,0,0),因为3AM=MC,所以Am=Lac,4所以8/=(4,2,0),BM=BA+；AC=(4,0,0)+(-4,0,4)=(3,0,1),令 = 8M=(3,0,l),所以J=I0,T=华，则点M到直线BF的距离为F一(夕丫=QloY=华.
