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1、】旋转类几何变换W考纲要求内容根本要求略高要求较高要求全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和全等三角形的性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题自检自查必考点，基本图形人利用旋转思想构造辅助线L）共顶点旋转模型（证明根本思想“SAS”）等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影局部的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化二利用旋转思想构造辅助线(1)根据相等的边先找出被旋转的三角形(2)根据对应
2、边找出旋转角度(3)根据旋转角度画出对应的旋转的三角形三旋转变换前后具有以下性质：(1)对应线段相等，对应角相等(2)对应点位置的排列次序相同(3)任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角0./中考总分值必做题考点一旋转与最短路程叱考点说明：旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比拟重要的就是费马点问题，涉及费马点问题，视学生程度进行选择性讲解。【例1】如图，四边形ABa是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线8力上任意一点，将BM绕点8逆时针旋转60。得到8N,连接AM、CM.EN.求证：AMBENB当M点在何处时，AM+CM的值
3、最小；当M点在何处时，AA/+初0+CM的值最小，并说明理由;当AM+BM+CM的最小值为3+ll,求正方形的边长.【例2】阅读以下材料对于任意的A8C,假设三角形内或三角形上有一点P,假设24+08+PC有最小值，那么取到最小值时，点P为该三角形的费马点。假设三角形内有一个内角大于或等于120。，这个内角的顶点就是费马点假设三角形内角均小于120。，那么满足条件NAPB=NBPC=NAPC=120。时，点P既为费马点解决问题：如图，A8C中，三个内角均小于120。，分别以AB、AC为边向外作等边AAB。、CE,连接CD、BE交于点P,证明：点P为A8C的费马点。(即证明NApB=NBPe=N
4、APC=I20P)且+P8+PC=C力如图，点。为三角形内部异于点尸的一点，证明：QA+QC+QBPA+PB+PC假设NABC=30。，AB=3,BC=4,直接写出Q4+P8+PC的最小值考点二利用旋转求点的坐标考点说明：利用全等三角形的性质进行边与角的转化。【例3】正方形ABa在坐标系中的位置如下图，将正方形/W8绕。点顺时针方向旋转90。后，B点、的坐标为()A.(-2,2)B.(4,1)C.(3,1)D.(4,0)【例4】如图，在平面直角坐标系中，向AQS的顶点A的坐标为(L1),假设将AOAB绕点。逆时针旋转60。后，8点到达Zr点，那么点的坐标是考点三旋转与勾股定理才考点说明：在等边
5、三角形与正方形中，常见的一种题型，应重点掌握【例5】如图，P是等边ABC中的一个点，PA=2,PB=2瓜PC=4,那么ABC的边长是【例6】如图，在ABC中，ZACe=90o,AC=BC,P是ABC内的一点，且尸6=1,PC=2,E4=3,求NBPe的度数.【例7】如图点P是正方形ABC。内部一点，Rl=IP8=2PC=3,那么NAPB=考点四利用旋转的性质解决几何有关的计算寸考点说明：此类问题多以选择填空的形式出现，较为简单，有的时候也会再综合题中出现。【例8】如图，将AABC绕点A顺时针旋转45。得到APE,点E落在边BC上，那么N8E。=【例9】如图，将直径为4的半圆绕点A逆时针旋转60
6、。，那么阴影局部的面积为【例10如图，将AC绕点A逆时针旋转80。得到WC.假设N84C=50。，那么NCAg的度数为【例II】如图，将矩形ABC。绕点A顺时针旋转90。后，得到矩形45，。少,么Cc=【例12】把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转。角,旋转后的矩形记为矩形皿尸.在旋转过程中,如图，当点E在射线CB上时，E点坐标为当ACBO是等边三角形时，旋转角。的度数是（a为锐角时）；考点五利用旋转的性质解决几何有关的证明如图，设EF与BC交于点G,当EG=CG时，求点G的坐标：考点说明：旋转有关的几何变换是中考的热点问题，同时也是中考试题中的重难点
7、所在。【例13】E、F分别是正方形ABcD的边BC、8上的点，且NEAF=45。，AHLEF,”为垂足,求证：AH=AB.【例【4】ABC,分别以AB、BC、CA为边向形外作等边三角形ABD,等边三角形BCE,等边三角形ACF如图1,当ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论。如图2,当ABC中只有ZACB=60时，请你证明SwiC与SWiD的和等于Ssbce与SMW的和【例15如图，在ABC中，、E分别是AB、AC上的点，且DEBC,将ADE绕A点顺时针旋转一定角度，连结3。、CE,得到图，然后将3。、CE分别延长至M、N,使OM=J8。，2en=Lce,连结am、an、m
8、n,得到图，请解答以下问题：2假设A8=AC,请探究以下数量关系：在图中，比与CE的数量关系是;在图中，猜测AM与AN的数量关系、NMAN与NBAC的数量关系，并证明你的猜测；假设B=HAC(l),按上述操作方法，得到图，请继续探究：AM与AN的数量关系、NMAN与NBAC的数量关系，直接写出你的猜测，不必证明.【例16】：在ABC中，AB=AC,点。为BC边的中点，点F是A边上一点，点E在线段。尸的延长线上，NjME=NBZ，点M在线段尸上，ZABE=ZDBM.如图1,当NABC=45。时，求证：AE=MD;如图2,当NABC=60时，那么线段A、何之间的数量关系为在的条件下，延长BM到P,
9、使MP=,连接CP,假设45=7,4石=27,求IanZACP【例17如下图，在四边形ABCD中，AB=AD,NBAo=60,NBCZ)=120,证明：BC+DC=AC.如下图，在四边形ABa)中，AB=BC.AABC=,尸为四边形AHs内部一点,NAPD=I20，证明：PA+PD+PCBD.【例18如图I,假设&A4C和QE为等边三角形，M,N分别E&C。的中点，易证：CD=BE,MMN是等边三角形.(1)把ADE绕A点旋转到图2的位置时，8=8七是否仍然成立？假设成立请证明，假设不成立请说明理由；(2)当AZ)E绕A点旋转到图3的位置时，AMN是否还是等边三角形？假设是，请给出证明，并求出
10、当A3=2A。时，AQE与ABC及AN的面积之比；假设不是，请说明理由.【例 19 如图 1, Rt fiCRt EDF, NACB=N产=90。，NA=NE=30。. ZkEO尸绕着边 AB 的中 点。旋转，DE,。尸分别交线段AC于点M, K.(1)观察：如图2、图3,当/CO尸=0。或60。时，AM+CK”2填“”，“”或“=”).如图4,当NCQ尸=30。时，4M+CKMK只填“”或“V”).(2)猜测：如图1,当0。VNC。尸60。时，AM-VCKMK,证明你所得到的结论.如果MK2+CQ=AM2,请直接写出NSF的度数和而的值.1120在等边ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两
11、点M,N,O为ABC外一点，且ZDV=60o,NBOC=I20。，BD=CD,探究：当点M，N分别爱直线48,AC上移动时，BM，BN，MN之间的数量关系及AV的周长。与等边AABC的周长L的关系.(1)如图，当点M，N在边A8,AC上，且力M=OV时，5M,NC,MN之间的数量关系式;此时孝=(2)如图，当点M，N在边A8,AC上，且。M关。V时，猜测(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证明；如图，当点M，N分别在边48,CA的延长线上时，假设4V=,那么Q=(用x，L表示)【例21】在RtZiABC中，NACB=90。，tanNBAC=L点。在边AC上(不与A,C重合)，连结8。
12、,2尸为8。中点.假设将图1中的AAOE绕点A旋转，使得。、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示.求证：BE-DE=2CFi图1图2备图三三?筑他蚂【例22：在RtA8C中，AB=BC,在RtADE中，AD=DE,连结EC,取EC的中点M,连结力M和BM.假设点。在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索8M、力M的关系并给予证明；（2）如果将图中的ADE绕点A逆时针旋转小于45。的角，如图，那么中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.【例23】正方形中，E为对角线8。上一点，过E点作_L8。交BC于F,连接。尸，G为DF中点，连接EG,CG.求证：
13、EG=CGi将图中BE尸绕8点逆时针旋转45。，如图所示，取D尸中点G,连接EG,CG.问中的结论是否仍然成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明理由.将图中BM绕8点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）【例24】正方形中，E为对角线8。上一点，过E点作_L8。交BC于F,连接。尸，G为DF中点，连接EG,CG.求证：EG=CGi将图中BE尸绕8点逆时针旋转45。，如图所示，取D尸中点G,连接EG,CG.问中的结论是否仍然成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明理由.将图中BM绕8点旋转任意角度，如图所示，再
14、连接相应的线段，问中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？(均不要求证明)【例25】：/MAN,AC平分NMAN.(1)在图1中，假设ZMW=ZDC3=90。，证明：AB+AD=JlAC.(2)在图2中，假设ZMAN=I20o,ZDCB=60。，探究AB、AD.AC三者之间的数量关系，并给出证明；在图3中：假设ZWV=(0oa180o),ZDCB=I80-a,那么AB+AD=AC(用含。的三角函数表示,直接写出结果，不必证明)【例26】请阅读以下材料:：如图1在RWWC中，Z4C=90o,AB=AC,点、E分别为线段BC上两动点，假设NmE=45。.探究线段8。、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90。，得到ABE,连结，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决以下问题：猜测80、DE、Ee三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜测给予证明；当动点E在线段BC上，动点。运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜测并给予证明.
